海森堡不确定性 (Heisenberg uncertainty)

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定理（海森堡不确定性）

$\frac{⟨ ψ ∣ Q ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \frac{⟨ ψ ∣ P ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \geq \frac{1}{4}$

证明

对于任意实数 $λ$ ，有

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ \geq 0

但是，利用 $Q$ 和 $P,$ 的自伴性以及关系 $[Q, P] = i$ ，有

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + iλ ⟨ ψ ∣ QP ψ ⟩ - iλ ⟨ ψ ∣ P Q ψ ⟩ + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + λ (- ⟨ ψ ∣ ψ ⟩) + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

对于所有 $λ$ ，这将是非负的，如果

⟨ ψ ∣ ψ ⟩^{2} \leq 4 ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

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Theorem (Heisenberg uncertainty)

$\frac{⟨ ψ ∣ Q ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \frac{⟨ ψ ∣ P ^{2} ∣ ψ ⟩}{⟨ ψ ∣ ψ ⟩} \geq \frac{1}{4}$

Proof

For any real $λ$ one has

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ \geq 0

but, using self-adjointness of $Q$ and $P,$ as well as the relation $[Q, P] = i$ one has

⟨(Q + iλ P) ψ ∣ (Q + iλ P) ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + iλ ⟨ ψ ∣ QP ψ ⟩ - iλ ⟨ ψ ∣ P Q ψ ⟩ + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩ = λ^{2} ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ + λ (- ⟨ ψ ∣ ψ ⟩) + ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

This will be non-negative for all $λ$ if

⟨ ψ ∣ ψ ⟩^{2} \leq 4 ⟨ ψ ∣ P^{2} ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ Q^{2} ψ ⟩

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