$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ 有限维表示的分类 (Classification of finite-dimensional $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ representations)

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Woit · 2025-10-20

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定理 · $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 有限维表示的分类

不可约表示由 $(s_1,s_2)$ 标记，其中 $s_j=0,\frac{1}{2},1,\dots$。它们由张量积表示给出：

$${\pi }_{s_1}\otimes {\overline{\pi }}_{s_2},V^{s_1}\otimes V^{s_2}.$$

其中 $({\pi }_s,V^s)$ 是维数为 $2s+1$ 的不可约表示，$({\overline{\pi }}_s,V^s)$ 是其复共轭表示。因此这类表示的维数为 $(2s_1+1)(2s_2+1)$。

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Theorem · Classification of finite-dimensional $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ representations

The irreducible representations are labeled by $(s_1,s_2)$, where each $s_j=0,\frac{1}{2},1,\dots$. They are the tensor-product representations

$${\pi }_{s_1}\otimes {\overline{\pi }}_{s_2},V^{s_1}\otimes V^{s_2}.$$

Here $({\pi }_s,V^s)$ is the irreducible representation of dimension $2s+1$, and $({\overline{\pi }}_s,V^s)$ is its complex conjugate. The dimension is $(2s_1+1)(2s_2+1)$.

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