41.1 洛伦兹群的表示

41.1 洛伦兹群的表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 对偶空间 · 复内积 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 对偶表示 · 复化

在$SU(2)$情形下，我们找到了维数为$n+1$的不可约酉表示$({\pi }_n,V^n)$，其中$n=0,1,2,\dots$。这些表示也可以用$\begin{array}{r}s=\frac{n}{2}\end{array}$来标记，称为该表示的“自旋”，从现在起我们将采用这种标记。这些表示可以显式地实现为两个复变量$z_1,z_2$中次数为$n=2s$的齐次多项式。对于$Spin(4)=SU(2)\times SU(2)$的情形，不可约表示将是张量积

$$V^{s_1}\otimes V^{s_2}$$

在$SU(2)$的不可约表示中，第一个$SU(2)$作用在第一个因子上，第二个作用在第二个因子上。情形$s_1=s_2=0$是平凡表示，$s_1=$ $\begin{array}{r}\frac{1}{2},s_2=0\end{array}$是$Spin(4)$在${\mathbf{C}}^2,s_1=0,s_2=$ $\frac{1}{2}$上的半旋量表示之一，4是另一个，而$s_1=s_2=\frac{1}{2}$是四维（复化）向量上的表示。

现在转向 $Spin(3,1)=SL(2,\mathbf{C})$，人们可以使用与 $SU(2)$ 情形中相同的、利用齐次多项式的构造，得到维数为 $2s+1$ 的不可约表示，其中 $s=0,\frac{1}{2},1,\dots$。与用 $SU(2)$ 作用于 $z_1,z_2$ 不同，这里用 $SL(2,\mathbf{C})$ 作用，然后像之前一样使用其在 $z_1$ 和 $z_2$ 的多项式上的诱导作用。这给出了 $SL(2,\mathbf{C})$ 的表示 $({\pi }_s,V^s)$。不过，这些表示的不同之处在于：

• 它们不是酉的（平凡表示的情形除外）。例如，对于 ${\mathbf{C}}^2$ 上的定义表示 $V^{\frac{1}{2}}$，厄米内积

$$⟨\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\psi }{\varphi }\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)⟩=(\overline{\psi }\overline{\varphi })\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)=\overline{\psi }{\psi }^{\prime }+\overline{\varphi }{\varphi }^{\prime }$$

在$SU(2)$变换$\Omega$下不变，因为

$$⟨\Omega \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\psi }{\varphi }\right),\Omega \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)⟩=\left(\begin{array}{cc}\overline{\psi }& \overline{\varphi }\end{array}\right){\Omega }^{†}\cdot \Omega \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)$$

而由幺正性可知${\Omega }^{†}\Omega =1$。对于$\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$，这不再成立

$SL(2,\mathbf{C})$ 的表示 $V^{\frac{1}{2}}$ 确实具有一个非退化双线性形式，我们将其记作 $ϵ,$

$$ϵ\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\psi }{\varphi }\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}\psi & \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }^{\prime }}{{\varphi }^{\prime }}\right)=\psi {\varphi }^{\prime }-\varphi {\psi }^{\prime }$$

它在 $SL(2,\mathbf{C})$ 对 $V^{\frac{1}{2}}$ 的作用下不变，并可用于识别该表示及其对偶。这是第 16.1.1 节所研究的 ${\mathbf{R}}^2$ 上辛形式的复化，而那里表明它是 $SL(2,\mathbf{R})$ 不变的同一计算，在这里表明其复版本是 $SL(2,\mathbf{C})$ 不变的。

• 在 $SU(2)$ 表示的情形下，将表示矩阵取为 $\pi (g)$ 而非 $\pi (g)$ 所得到的复共轭表示，等价于原表示（即同一个表示，只是基的选择不同，因此矩阵相差一个共轭）。对于自旋 $\frac{1}{2}$ 表示，为看出这一点，注意 $SU(2)$ 矩阵具有如下形式

$$\Omega =\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)$$

并且有

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\overline{\alpha }& \overline{\beta }\\ -\beta & \alpha \end{array}\right)$$

所以矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

是联系该表示与其复共轭的基变换矩阵。

对于$SL(2,\mathbf{C})$而言，这一点不再成立。用一个固定矩阵进行共轭不会改变该矩阵的特征值集合，而且这两个特征值不一定是复共轭的（与$SU(2))$的情形不同）。因此，这样的共轭无法将所有$SL(2,\mathbf{C})$矩阵变为它们的复共轭，因为一般而言，（复）共轭会改变特征值集合。

不可约有限维 SU(2) 表示的分类已在第 8 章中通过考虑其李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 完成，将其复化以得到升算符和降算符，而这个复化是 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$。如果考察该论证，就会发现它大多也适用于不可约有限维 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 表示。不过有一个区别：现在将正权翻转为负权（这对应于李代数表示矩阵的符号改变，或李群表示矩阵的共轭）不再把人们带到等价的表示。结果表明，要得到所有不可约表示，必须同时取我们已经知道的那些表示及其复共轭。可以证明（我们在此不证明），每种类型的不可约表示各取一个的张量积仍然是不可约的，并且 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 的有限维不可约表示的完整列表由下式给出：

定理（有限维 ${ \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbf { C } )

$表示的分类）。${ \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbf { C } )$的不可约表示由$( s _ { 1 } , s _ { 2 } )$标记，其中$s _ { j } = 0 , { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } , 1 ,$ 这些表示由张量积表示给出

$$\left({\pi }_{s_1}\otimes {\overline{\pi }}_{s_2},V^{s_1}\otimes V^{s_2}\right)$$

其中 $({\pi }_s,V^s)$ 是维数为 $2s+1$ 的不可约表示，而 $({\overline{\pi }}_s,V^s)$ 是它的复共轭。这样的表示具有维数 $(2s_1+1)(2s_2+1)$

所有这些表示也都是群 $SL(2,\mathbf{C})$ 的表示，并且对该群有相同的分类定理，尽管我们不打算尝试证明这一点。我们也不打算一般地研究这些表示，而是将注意力限制在最具物理意义的情形，即

$(0,0)$：$C$ 上的平凡表示，也称为“自旋 $0^{†}$ 或标量表示。

$\left(\frac{1}{2},0\right)$：这些被称为左手（原因我们稍后会看到）“外尔旋量”。在这种情况下，我们常将表示空间${\mathbf{C}}^2$记作$S_L$，并将其中的元素写作${\psi }_L$

$(0,\frac{1}{2})$：这些被称为右手外尔旋量。在这种情况下，我们常将表示空间${\mathbf{C}}^2$记作$S_R$，并将其中的元素写作${\psi }_R$

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$：这被称为“向量”表示，因为它是我们先前看到的 $SL(2,\mathbf{C})$ 作为时空向量的 $SO(3,1)$ 变换的作用的复化。它既是 $SO(3,1)$ 的表示，也是 $SL(2,\mathbf{C})$ 的表示。

$(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})$：这个可约的四维复表示被称为“狄拉克旋量”上的表示。

可以像张量分析中处理切向量及其对偶向量那样，以类似方式操作这些Weyl旋量表示$\left(\frac{1}{2},0\right)$和$(0,\frac{1}{2})$。正如在该形式体系中那样，可以通过上指标与下指标来区分表示空间与其对偶空间，在此情形下使用的不是度量，而是$SL(2,\mathbf{C})$不变双线性形式$ϵ$来升降指标。对于复共轭与对偶，需要跟踪${\bar{\mathbf{C}}}^2$上的四类不可约$SL(2,\mathbf{C})$表示：

$S_L:$：这是$SL(2,\mathbf{C})$在${\mathbf{C}}^2$上的标准定义表示，其中$\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$通过下式作用于${\psi }_L\in S_L$：

$${\psi }_L\to \Omega {\psi }_L$$

此类事物的标准指标记法称为“van der Waerden 记法”。它使用取值 1、2 的下指标 $A$ 来标记相对于 $S_L$ 的一组基的分量，如下

$${\psi }_L=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1}{{\psi }_2}\right)={\psi }_A$$

并且在这种记号下，Ω 通过以下方式作用

$${\psi }_A\to {\Omega }_A^B{\psi }_B$$

例如，元素

$$\Omega =e^{-i\frac{\theta }{2}{\sigma }_3}$$

对应于绕$z$轴旋转角度$\theta$的$SO(3)$旋转，其作用于$S_L$的方式为

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1}{{\psi }_2}\right)\to e^{-i\frac{\theta }{2}{\sigma }_3}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1}{{\psi }_2}\right)$$

$S_L^{\ast }$：这是定义表示的对偶表示，其中$\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$通过下式作用于${\psi }_L^{\ast }\in S_L^{\ast }$：

$${\psi }_L^{\ast }\to ({\Omega }^{-1}{)}^T{\psi }_L^{\ast }$$

这是表示的一般性质：给定任意有限维表示 $(\pi (g),V)$，通过用矩阵 ${\overline{(\pi (g{)}^{-1})}}^T$ 作用在 $V^{\ast }$ 上，$V$ 与其对偶 $V^{\ast }$ 之间的配对保持不变，并且这些矩阵给出一个表示 $((\pi (g{)}^{-1}{)}^T,V^{\ast })$。在 van der Waerden 记法中，人们使用上指标并写作

$${\psi }^A\to (({\Omega }^{-1}{)}^T{)}_B^A{\psi }^B$$

将对偶空间的元素写成行向量，我们上面关于一个特定 Ω 的例子通过以下方式作用

$$\left(\begin{array}{cc}{\psi }^1& {\psi }^2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\psi }^1& {\psi }^2\end{array}\right)e^{i\frac{\theta }{2}{\sigma }_3}$$

注意，双线性形式$ϵ$给出了$S_L$与$S_L^{\ast }$之间的表示同构，用指标记号写为

$${\psi }^A={ϵ}^{AB}{\psi }_B$$

其中

$${ϵ}^{AB}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

$S_R:$ 这是 $S_L$ 的复共轭表示，其中 $\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$ 通过下式作用在 ${\psi }_R\in S_R$ 上

$${\psi }_R\to \overline{\Omega }{\psi }_R$$

范德瓦尔登记号对这些使用一组单独的点指标，将其写作

$${\psi }_{\dot{A}}\to {\overline{\Omega }}_{\dot{A}}^{\dot{B}}{\psi }_{\dot{B}}$$

物理学家中另一种常见记号是在$\psi$上加一横，表示该向量属于此表示，但我们将把这种记号保留给复共轭。对应于绕$z$轴旋转的Ω作用为

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_{\dot{1}}}{{\psi }_{\dot{2}}}\right)\to e^{i\frac{\theta }{2}{\sigma }_3}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_{\dot{1}}}{{\psi }_{\dot{2}}}\right)$$

• $S_R^{\ast }i$：这是 $S_R$ 的对偶表示，其中 $\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$ 通过下式作用于 ${\psi }_R^{\ast }\in S_R^{\ast }$：

$${\psi }_R^{\ast }\to ({\overline{\Omega }}^{-1}{)}^T{\psi }_R^{\ast }$$

而指标记号使用带点的上指标

$${\psi }^{\dot{A}}\to (({\overline{\Omega }}^{-1}{)}^T{)}_{\dot{B}}^{\dot{A}}{\psi }^{\dot{B}}$$

我们的标准示例 a Ω 通过以下方式作用

$$\left(\begin{array}{cc}{\psi }^{\dot{1}}& {\psi }^{\dot{2}}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\psi }^{\dot{1}}& {\psi }^{\dot{2}}\end{array}\right)e^{-i\frac{\theta }{2}{\sigma }_3}$$

$ϵ$的另一份副本

$${ϵ}^{\dot{A}\dot{B}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

给出了 $S_R$ 与 $S_R^{\ast }$ 作为表示的态射，通过

$${\psi }^{\dot{A}}={ϵ}^{\dot{A}\dot{B}}{\psi }_{\dot{B}}$$

限制到 $SL(2,\mathbf{C})$ 的 $SU(2)$ 子群时，所有这些表示都是酉的，并且等价。作为 $SL(2,\mathbf{C})$ 表示，它们不是酉的，而且虽然这些表示与其对偶表示等价，但 $S_L$ 与 $S_R$ 不等价（因为正如我们已经看到的，不能通过矩阵共轭对 $SL(2,\mathbf{C})$ 矩阵取复共轭）。

对于 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 表示的情形，为了明确看出 $S_L\otimes S_R$ 与向量之间的同构，回忆我们可以将闵可夫斯基空间与 2 乘 2 自伴矩阵等同起来。$\Omega \in SL(2,\mathbf{C})$ 通过下式作用

$$\left(\begin{array}{cc}{x}_0+x_3& x_1-i{x}_2\\ x_1+i{x}_2& x_0-x_3\end{array}\right)\to \Omega \left(\begin{array}{cc}{x}_0+x_3& x_1-i{x}_2\\ x_1+i{x}_2& x_0-x_3\end{array}\right){\Omega }^{†}$$

我们可以将这样的矩阵视为从 $S_R^{\ast }$ 到 $S_L$ 的线性映射（因此同构于张量积 $S_L\otimes (S_R^{\ast }{)}^{\ast }=S_L\otimes S_R.$，见第 9 章）。

本章首页 · 下一节：41.2 狄拉克 \gamma 矩阵与 Clif(3, 1) · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 435、436、437、438、439、440、441、442、443

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：1713050bc9b4dcf69cc30304c3aaa7d1d0dc152c2a2971715af1bed97ed5b744

译稿产物 SHA-256：ef9701b2bd58368460d70e96f5379ad522bcef8949310df1d1487d4d464eb1c6

机翻模型：deepseek-v4.1-flash