舒尔引理 / Schur’s lemma

英文原文

Woit §2.1: a finite-dimensional complex irreducible representation has only scalar commuting endomorphisms; Woit explicitly notes the real-field limitation.

原文定理陈述摘录

Theorem (Schur’s lemma). If a complex representation $(π, V)$ is irreducible, then the only linear maps $M : V \to V$ commuting with all the $π (g)$ are $λ 1$ , multiplication by a scalar $λ \in C$ .

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：英文原文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 33；印刷页 16

处理记录：PDF 文字层提取；MinerU OCR；AI 辅助转录对照

核对状态：AI 辅助转录核对，未作人工审阅或数学审稿

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

英文原文

原文证明摘录

Proof. Assume that $M$ commutes with all the $π (g)$ . We want to show that $(π, V)$ irreducible implies $M = λ 1$ . Since we are working over the field $C$ (this doesn’t work for $R$ ), we can always solve the eigenvalue equation
$det (M - λ 1) = 0$
to find the eigenvalues $λ$ of $M$ . The eigenspaces
$V_{λ} = {v \in V : M v = λ v}$
are non-zero vector subspaces of $V$ and can also be described as $ker (M - λ 1)$ the kernel of the operator $M - λ 1$ . Since this operator and all the $π (g)$ commute, we have
$v \in ker (M - λ 1) ⟹ π (g) v \in ker (M - λ 1)$
so $ker (M - λ 1) \subset V$ is a representation of $G$ . If $V$ is irreducible, we must have either $ker (M - λ 1) = V$ or $ker (M - λ 1) = 0$ . Since $λ$ is an eigenvalue, $ker (M - λ 1) \neq = 0$ , so $ker (M - λ 1) = V$ and thus $M = λ 1$ as a linear operator on $V$ . □

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：英文原文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 33；印刷页 16

处理记录：PDF 文字层提取；MinerU OCR；AI 辅助转录对照

核对状态：AI 辅助转录核对，未作人工审阅或数学审稿

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

中文译文

Woit §2.1：有限维复不可约表示中，与表示像交换的自同态只能是标量；作者明确指出实数域限制。

译文摘录

定理（舒尔引理）。若复表示 $(π, V)$ 不可约，则与所有 $π (g)$ 交换的线性映射 $M : V \to V$ 只有 $λ 1$ ，即乘以标量 $λ \in C$ 。

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 33；印刷页 16

处理记录：machine-translation/deepseek-v4.1-flash

核对状态：机器译稿 · 待校对

中文译文

译文摘录

证明。假设 $M$ 与所有 $π (g)$ 交换。我们要证明 $(π, V)$ 不可约蕴含 $M = λ 1$ 。由于我们是在域 $C$ 上工作（这对 $R$ 不成立），我们总能求解特征值方程
$det (M - λ 1) = 0$
求 $M$ 的特征值 $λ$ 。特征子空间
$V_{λ} = {v \in V : M v = λ v}$
是 $V$ 的非零向量子空间，也可以描述为 $ker (M - λ 1)$ ，即算符 $M - λ 1$ 的核。由于这个算符与所有 $π (g)$ 对易，我们有
$v \in ker (M - λ 1) ⟹ π (g) v \in ker (M - λ 1)$
因此 $ker (M - λ 1) \subset V$ 是 $G$ 的一个表示。如果 $V$ 是不可约的，则我们必须有 $ker (M - λ 1) = V$ 或 $ker (M - λ 1) = 0$ 。由于 $λ$ 是一个特征值， $ker (M - λ 1) \neq = 0$ ，所以 $ker (M - λ 1) = V$ ，从而作为 $V$ 上的线性算符有 $M = λ 1$ 。□

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 33；印刷页 16

处理记录：machine-translation/deepseek-v4.1-flash

核对状态：机器译稿 · 待校对

数学物理阅读

书架

舒尔引理 / Schur’s lemma

Woit · §2.1 Some representation theory

英文原文

英文原文

中文译文

中文译文

Szekeres · §4.4 群表示论初步

英文原文

中文译文

关系图谱