第四章 · 线性算符与矩阵

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给定有限维向量空间 $V$ 的一个基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ ，我们回忆第 3.5 节中，线性算符 $T : V \to V$ 关于此基的分量矩阵 $T = [T_{j}^{i}]$ 由式 (3.6) 定义为：

T e_{j} = T_{j}^{i} e_{i}, (4.1)

而在基变换下，

e_{i} = A_{i}^{j} e_{j}^{'}, e_{i}^{'} = A_{i}^{' k} e_{k}, (4.2)

其中

A_{j}^{' k} A_{i}^{j} = δ_{i}^{k}, A_{k}^{i} A_{j}^{' k} = δ_{j}^{i}, (4.3)

任意线性算符 $T$ 的分量按如下方式变换

T_{i}^{' j} = A_{m}^{j} T_{k}^{m} A_{i}^{' k} . (4.4)

矩阵 $A = [A_{i}^{j}]$ 与 $A^{'} = [A^{'}_{i}^{k}]$ 互为逆元， $A^{'} = A^{- 1}$ ，而式 (4.4) 可用矩阵记号写成相似变换

T^{'} = ATA^{- 1} . (4.5)

本章的主要任务是寻找一个基，使得任意给定的线性算符都具有一种标准的表示，称为若尔当标准形。这种表示由该算符唯一确定，并概括了它的全部本质性质。4.2 节中给出的证明相当技术化，初读时可以跳过。然而，理解该节末尾所总结的它的形式还是值得的，因为它在数学物理中有着频繁的应用。关于线性算符和矩阵的一般性良好参考文献为 [1–3]，而关于若尔当标准形的详细讨论可见于 [4]。

重要的是要认识到，我们处理的是自由向量空间上的线性算符。这一概念将在第6章中严格定义，但本质上它意味着这些向量空间上未被赋予任何进一步的结构。诸如“对称”、“厄米”和“酉”等许多在矩阵理论中经常出现的概念，在自由向量空间中并无立足之地。例如，要求 $T$ 为对称矩阵，用分量写出来就是 $T_{j}^{i} = T_{i}^{j}$ ，这是一个看起来别扭的关系，违反了 3.6 节中给出的规则。在第5章中，我们将为“对称变换”和“厄米变换”之类的概念找到恰当的背景。

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概念索引

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第四章 · 线性算符与矩阵

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概念索引

4.1 特征子空间与特征方程

4.2 若尔当标准形

4.3 线性常微分方程

4.4 群表示论初步

4.4 群表示论初步

4.2 若尔当标准形

4.3 线性常微分方程

4.1 特征子空间与特征方程