李群最简单的例子是平面的旋转群，其元素由单个参数即旋转角来参数化。将这样的群元素与复平面中的单位向量等同起来是有用的。该群于是记作，因为这样的复数可以被视为1乘1的酉矩阵。我们将在本章中看到第1章所描述的一般图景如何在这个简单情形中实现。状态空间将是群的酉表示，并且我们将看到任何这样的表示都分解为一系列一维表示之和。这些一维表示将由一个整数来刻画，而这样的整数是我们将称为的自伴算符的特征值，该算符是量子理论的一个可观测量。
记号 的一个动机是，这是物理学中电荷的惯用记号，而这也是物理学中出现 群的地方之一。作用于物理系统的 群的例子包括：
- 量子粒子可以由复值“波函数”描述（见第10章），而 通过函数值的逐点相位变换作用于这样的波函数。这一现象可用于理解粒子如何与电磁场相互作用，在这种情况下， 算符的特征值的物理解释将是该状态的电荷。我们将在第45章详细讨论这一点。
- 如果在三维空间中选择一个特定方向，那么绕该轴的旋转群可以等同于群 。 的特征值将具有物理解释，即所选方向上角动量的量子版本。这样的特征值不是连续的，而是整数的，这一事实表明量子角动量的行为与经典角动量截然不同。
当我们研究谐振子（第 22 章）时，将会发现它具有 对称性（位置-动量平面中的旋转），并且在这种情况下哈密顿算符是算符 的倍数。这意味着哈密顿算符的特征值（即系统的能量）将是某个固定值的整数倍。当用量子域描述多粒子系统时，会发现每个动量模式对应一个谐振子，于是该模式的 计数具有该动量的粒子数。
我们有时会将算符称为“荷”算符，赋予该术语比具体电荷例子更为一般的含义。表示在数学中也无处不在，其中算符的整数特征值常被称为“权”。
从非常真实的意义上说，“量子力学”中“量子”一词的由来，恰恰是因为 群作用于态空间所起的作用。这样的作用意味着存在可观测量，它们通过算符 的整数特征值来刻画状态，而正是可观测量的这种“量子化”促成了该学科的名称。
概念索引
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