Schwartz 第 13 章：量子电动力学 · 机器入库陈述

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自旋-统计定理

回指 · 根据自旋-统计定理，旋量的产生和湮灭算符必须反对易。

概念：自旋–统计定理

原文（OCR，未逐页核实）

The creation and annihilation operators for spinors must anticommute by the spin-statistics theorem:

PDF 文件页：118；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^2+i\bar{\psi }D\psi -m\bar{\psi }\psi ,\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

其中 $D_{\mu }\psi ={\partial }_{\mu }\psi +ie{A}_{\mu }\psi$。我们还引入了量子化的狄拉克场：

$$\psi (x)=\sum _s\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_p}}\left(a_p^s{u}_p^s{e}^{-ipx}+b_p^{s†}{v}_p^s{e}^{ipx}\right),\text{\hspace{1em}(13.2)}$$ $$\bar{\psi }(x)=\sum _s\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_p}}\left(b_p^s{\bar{v}}_p^s{e}^{-ipx}+a_p^{s†}{\bar{v}}_p^s{e}^{ipx}\right).\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

根据自旋-统计定理，旋量的产生和湮灭算符必须反对易：

$$\left\{a_p^{s†},a_q^{s^{\prime }†}\right\}=\left\{a_p^s,a_q^{s^{\prime }}\right\}=\left\{b_p^{s†},b_q^{s^{\prime }†}\right\}=\left\{b_p^s,b_q^{s^{\prime }}\right\}=0\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

以及

$$\left\{a_p^s,a_q^{s^{\prime }†}\right\}=\left\{b_p^s,b_q^{s^{\prime }†}\right\}={\delta }_{s{s}^{\prime }}(2\pi {)}^3{\delta }^3(p-q).\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

对于每个动量 $p^{\mu }$，旋量的一个基可以写为

后文使用：自旋-统计定理。

QED 费曼规则

引入 · QED 的费曼规则可以像标量 QED 中那样直接从拉格朗日量读出；唯一的微妙之处是时间排序中反对易旋量可能带来额外负号。

概念：QED 费曼规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The Feynman rules for QED can be read directly from the Lagrangian just as in scalar QED. The only subtlety is possible extra minus signs coming from anticommuting spinors within the time ordering.

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0014；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

QED 的费曼规则可以像标量 QED 中那样直接从拉格朗日量读出。唯一的微妙之处是，在时间排序中，反对易旋量可能带来额外的负号。我们先写下费曼规则，然后推导补充的负号规则。

后文使用：QED 相互作用顶点。

光子传播子

引入 · 光子传播子用波浪线表示；在费曼规范 $\xi =1$ 下，其形式由式 (13.10) 给出。

概念：光子传播子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A photon propagator is represented with a squiggly line:

Unless we are explicitly checking gauge invariance, we will usually work in Feynman gauge,  $\xi = 1$ , where the propagator is

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0014；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

光子传播子用波浪线表示：

$$\sim \dots \dots \dots \dots \cdots =\frac{-i}{p^2+i\epsilon }\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}\right].\text{\hspace{1em}(13.10)}$$

除非我们明确检验规范不变性，我们通常会在费曼规范 $\xi =1$ 下工作，此时传播子为

$$\sim \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \text{\hspace{1em}(13.11)}$$

旋量传播子是一条带箭头的实线：

$$⟶=\frac{i(/p+m)}{p^2-m^2+i\epsilon }.\text{\hspace{1em}(13.12)}$$

箭头对粒子指向右，对反粒子指向左。对于内线，箭头指向动量流动的方向。

后文使用：光子 μ 指标缩并。

旋量传播子

引入 · 旋量传播子是一条带箭头的实线；箭头对粒子指向右，对反粒子指向左，对于内线则指向动量流动的方向。

概念：旋量传播子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A spinor propagator is a solid line with an arrow:

The arrow points to the right for particles and to the left for antiparticles. For internal lines, the arrow points with momentum flow.

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0014；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

光子传播子用波浪线表示：

$$\sim \dots \dots \dots \dots \cdots =\frac{-i}{p^2+i\epsilon }\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{p_{\mu }{p}_{\nu }}{p^2}\right].\text{\hspace{1em}(13.10)}$$

除非我们明确检验规范不变性，我们通常会在费曼规范 $\xi =1$ 下工作，此时传播子为

$$\sim \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \text{\hspace{1em}(13.11)}$$

旋量传播子是一条带箭头的实线：

$$⟶=\frac{i(/p+m)}{p^2-m^2+i\epsilon }.\text{\hspace{1em}(13.12)}$$

箭头对粒子指向右，对反粒子指向左。对于内线，箭头指向动量流动的方向。

后文使用：γ 矩阵夹在旋量之间。

外光子线的偏振矢量

引入 · 外光子线获得偏振矢量：入射光子对应 ${ϵ}_{\mu }(p)$，出射光子对应 ${ϵ}_{\mu }^{\star }(p)$。

概念：外光子线的偏振矢量（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

External photon lines get polarization vectors:

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0026；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

外光子线获得偏振矢量：

$$\sim \dots \dots \cdots ◯={ϵ}_{\mu }(p)(\text{i n c o m i n g}),\text{\hspace{1em}(13.13)}$$ $$◯={ϵ}_{\mu }^{\star }(p)(\text{o u t g o i n g}).\text{\hspace{1em}(13.14)}$$

这里圆点表示图表的其余部分。

后文使用：光子 μ 指标缩并。

外费米子线的旋量

引入 · 外费米子线获得旋量，电子用 $u$ 旋量，正电子用 $v$ 旋量。

概念：外费米子线的旋量（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

External fermion lines get spinors, with  $u$  spinors for electrons and  $v$  spinors for positrons.

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0026；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

外费米子线获得旋量，其中电子用 $u$ 旋量，正电子用 $v$ 旋量。

后文使用：外旋量的壳上条件。

外旋量的壳上条件

限定 · 外旋量是壳上的，这是由 LSZ 所强制的；因此对外旋量可以使用运动方程。

概念：外费米子线的旋量（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

External spinors are on-shell (they are forced to be on-shell by LSZ). So, for external spinors we can use the equations of motion:

PDF 文件页：119；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0035；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$⟶◯=u^s(p),\text{\hspace{1em}(13.15)}$$ $$◯={\bar{u}}^s(p),\text{\hspace{1em}(13.16)}$$ $$={\bar{v}}^s(p),\text{\hspace{1em}(13.17)}$$ $$=v^s(p).\text{\hspace{1em}(13.18)}$$

外旋量是壳上的（它们被 LSZ 强制为壳上的）。因此，对于外旋量，我们可以使用运动方程：

$$(p/-m)u^s(p)={\bar{u}}^s(p)(p/-m)=0,\text{\hspace{1em}(13.19)}$$ $$(/p+m)v^s(p)={\bar{v}}^s(p)(/p+m)=0,\text{\hspace{1em}(13.20)}$$

这将简化许多计算。

使用前文：外费米子线的旋量。模型判断为使用；原文：for external spinors we can use the equations of motion

QED 相互作用顶点

推导 · 展开拉格朗日量后，相互作用项为 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$；由于没有动量因子，费曼规则对任意入射或出射场组合都相同，与标量 QED 不同。

概念：QED 费曼规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

we see that the interaction is  $\mathcal{L}_{\mathrm{int}} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu}$ . Since there is no factor of momentum, the Feynman rule is the same for any combination of incoming or outgoing fields (unlike in scalar QED):

PDF 文件页：120；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0039；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

展开拉格朗日量，

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu },\text{\hspace{1em}(13.21)}$$

我们看到相互作用是 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$。由于没有动量因子，费曼规则对任意入射或出射场组合都相同（与标量 QED 不同）：

$$\frac{e^{-}\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}}{\overrightarrow{p_1}}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=-ie{\gamma }^{\mu }.\text{\hspace{1em}(13.22)}$$

${\gamma }^{\mu }$ 上的 $\mu$ 将与光子的 $\mu$ 缩并，后者要么出现在光子传播子的 $g_{\mu \nu }$ 中（如果光子是内线），要么出现在偏振矢量的 ${ϵ}_{\mu }$ 中（如果光子是外线）。

使用前文：QED 费曼规则。模型判断为细化；原文：we see that the interaction is $\mathcal{L}_{\mathrm{int}} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu}$ . Since there is no factor of momentum, the Feynman rule is the same for any combination of incoming or outgoing fields (unlike in scalar QED):

光子 μ 指标缩并

推导 · ${\gamma }^{\mu }$ 上的 $\mu$ 与光子的 $\mu$ 缩并；若光子为内线，则出现在光子传播子的 $g_{\mu \nu }$ 中；若光子为外线，则出现在偏振矢量的 ${ϵ}_{\mu }$ 中。

概念：光子 μ 指标缩并（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $\mu$  on the  $\gamma^{\mu}$  will get contracted with the  $\mu$  of the photon, which will either be in the  $g_{\mu \nu}$  of the photon propagator (if the photon is internal) or the  $\epsilon_{\mu}$  of a polarization vector (if the photon is external).

PDF 文件页：120；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0039；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

展开拉格朗日量，

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^2+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu },\text{\hspace{1em}(13.21)}$$

我们看到相互作用是 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$。由于没有动量因子，费曼规则对任意入射或出射场组合都相同（与标量 QED 不同）：

$$\frac{e^{-}\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}}{\overrightarrow{p_1}}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{p_1}\overrightarrow{p_2}=-ie{\gamma }^{\mu }.\text{\hspace{1em}(13.22)}$$

${\gamma }^{\mu }$ 上的 $\mu$ 将与光子的 $\mu$ 缩并，后者要么出现在光子传播子的 $g_{\mu \nu }$ 中（如果光子是内线），要么出现在偏振矢量的 ${ϵ}_{\mu }$ 中（如果光子是外线）。

使用前文：光子传播子。模型判断为使用；原文：the $g_{\mu \nu}$ of the photon propagator (if the photon is internal)

使用前文：外光子线的偏振矢量。模型判断为使用；原文：the $\epsilon_{\mu}$ of a polarization vector (if the photon is external)

γ 矩阵夹在旋量之间

推导 · ${\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }$ 作为矩阵总是被夹在旋量之间，例如 $\bar{u}{\gamma }^{\mu }u={\bar{u}}_{\alpha }{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }{u}_{\beta }$；带横杠的旋量总是放在左边，因为相互作用是 $\bar{\psi }{A}_{\mu }{\gamma }^{\mu }\psi$。

概念：γ 矩阵夹在旋量之间（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $\gamma^{\mu} = \gamma_{\alpha \beta}^{\mu}$  as a matrix will always get sandwiched between spinors, as in

The barred spinor always goes on the left, since the interaction is  $\bar{\psi} A_{\mu}\gamma^{\mu}\psi$ .

PDF 文件页：120；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0039；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

${\gamma }^{\mu }={\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }$ 作为矩阵总是被夹在旋量之间，如

$$\bar{u}{\gamma }^{\mu }u={\bar{u}}_{\alpha }{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }{u}_{\beta }\text{\hspace{1em}(13.23)}$$

对于 $e^{-}{e}^{-}$ 散射，或 $\bar{v}{\gamma }^{\mu }u$ 对于 $e^{+}{e}^{-}$ 湮灭，等等。带横杠的旋量总是放在左边，因为相互作用是 $\bar{\psi }{A}_{\mu }{\gamma }^{\mu }\psi$。如果两端之间有内费米子线，费米子传播子放在两端旋量之间：

$$\overrightarrow{\begin{array}{c}{p}_1\\ {ϵ}_1^{\nu }\end{array}\}}\overrightarrow{\begin{array}{c}{p}_2\\ p_3\end{array}\}}=(-ie{)}^2\bar{u}(p_3){\gamma }^{\mu }\frac{i\left(/p_2+m\right)}{p_2^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }^{\nu }u(p_1){ϵ}_{\mu }^2(q_2){ϵ}_{\nu }^1(q_1),\text{\hspace{1em}(13.24)}$$

其中光子动量为 $q_1^{\mu }=p_2^{\mu }-p_1^{\mu }$ 和 $q_2^{\mu }=p_3^{\mu }-p_2^{\mu }$。在这个例子中，三个 $\gamma$ 矩阵相乘，然后被夹在旋量之间。为了明确看出什么是矩阵、什么是矢量，我们可以加入旋量指标：

$$\bar{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }\frac{i\left(/p_2+m\right)}{p_2^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)={\bar{u}}_{\alpha }\left(p_3\right){\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{i{\left(/p_2+m\right)}_{\beta \gamma }}{p_2^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }_{\gamma \delta }^{\nu }{u}_{\delta }\left(p_1\right).\text{\hspace{1em}(13.25)}$$

如果我们把上面图示的两端连接起来，就得到一个圈：

使用前文：旋量传播子。模型判断为使用；原文：If there is an internal fermion line between the ends, the fermion propagator goes between the end spinors:

费米子圈约定

引入 · 对于费米子圈，采用与标量圈相同的约定，即圈动量沿粒子流箭头的方向；在圈中必须对虚旋量的动量积分并对其可能自旋求和，式 (13.25) 中的 $u_{\delta }{\bar{u}}_{\alpha }$ 被对所有可能自旋求和的传播子取代，因为传播子分子为 $({\psi }_2^s+m{)}_{\delta \alpha }={\sum }_s{u}_{\delta }^s{\bar{u}}_{\alpha }^s$；还必须对每个顶点处由动量守恒约束的所有可能动量积分。

概念：费米子圈约定（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For fermion loops we use the same convention as for scalar loops that the loop momentum goes in the direction of the particle-flow arrow.

In the loop, since any possible intermediate states are allowed, we must integrate over the momenta of the virtual spinors as well as sum over their possible spins.

The  $u_{\delta}\bar{u}_{\alpha}$  in Eq. (13.25) then gets replaced by a propagator that sums over all possible spins.

PDF 文件页：120；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0050；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

其中光子动量为 $q_1^{\mu }=p_2^{\mu }-p_1^{\mu }$ 和 $q_2^{\mu }=p_3^{\mu }-p_2^{\mu }$。在这个例子中，三个 $\gamma$ 矩阵相乘，然后被夹在旋量之间。为了明确看出什么是矩阵、什么是矢量，我们可以加入旋量指标：

$$\bar{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }\frac{i\left(/p_2+m\right)}{p_2^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right)={\bar{u}}_{\alpha }\left(p_3\right){\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{i{\left(/p_2+m\right)}_{\beta \gamma }}{p_2^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }_{\gamma \delta }^{\nu }{u}_{\delta }\left(p_1\right).\text{\hspace{1em}(13.25)}$$

如果我们把上面图示的两端连接起来，就得到一个圈：

$${ϵ}_1^{\nu }\sim \overrightarrow{p}{\gamma }^{\nu }\overrightarrow{p_2}{\gamma }^{\mu }\overrightarrow{p}{ϵ}_2^{\mu }.\text{\hspace{1em}(13.26)}$$

对于费米子圈，我们采用与标量圈相同的约定，即圈动量沿粒子流箭头的方向。在圈中，由于允许任何可能的中间态，我们必须对虚旋量的动量积分，同时对其可能的自旋求和。式 (13.25) 中的 $u_{\delta }{\bar{u}}_{\alpha }$ 于是被一个对所有可能自旋求和的传播子所取代。这是自动完成的，因为传播子的分子是 $({\psi }_2^s+m{)}_{\delta \alpha }={\sum }_s{u}_{\delta }^s{\bar{u}}_{\alpha }^s$。我们还必须对每个顶点处由动量守恒所约束的所有可能动量积分。因此，式 (13.26) 中的圈计算为

$$\begin{array}{l}i\mathcal{M}=-(-ie{)}^2\int \frac{d^4{p}_1}{(2\pi {)}^4}\frac{d^4{p}_2}{(2\pi {)}^4}(2\pi {)}^4{\delta }^4(p+p_2-p_1){ϵ}_{\mu }^{2\star }(p){ϵ}_{\nu }^1(p)\\ \times \left[{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{i(/p_1+m{)}_{\beta \gamma }}{p_1^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }_{\gamma \delta }^{\nu }\frac{i(/p_2+m{)}_{\delta \alpha }}{p_2^2-m^2+i\epsilon }\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.27)}$$

额外的负号来自自旋-统计，稍后将加以解释。缩并所有旋量指标，并将 $p_1^{\mu }$ 替换为 $p^{\mu }+k^{\mu }$、$p_2^{\mu }$ 替换为 $k^{\mu }$：

$$\begin{array}{l}i\mathcal{M}={ϵ}_1^{\nu }\underset{p}{\sim }\underset{k}{\sim }\underset{p}{\sim }{ϵ}_2^{\mu }\\ =e^2{ϵ}_{\mu }^{2\star }{ϵ}_{\nu }^1\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }\frac{i(/p+/k+m)}{(p+k{)}^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }^{\nu }\frac{i(/k+m)}{k^2-m^2+i\epsilon }\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(13.28)}$$

其中迹是旋量指标的迹。在 QED 中计算费曼图常常涉及取 $\gamma$ 矩阵乘积的迹。

自旋-统计定理

回指 · 额外的负号来自自旋-统计，稍后将加以解释。

概念：自旋–统计定理

原文（OCR，未逐页核实）

The extra minus sign is due to spin-statistics, as will be explained shortly.

PDF 文件页：121；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0050；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

如果我们把上面图示的两端连接起来，就得到一个圈：

$${ϵ}_1^{\nu }\sim \overrightarrow{p}{\gamma }^{\nu }\overrightarrow{p_2}{\gamma }^{\mu }\overrightarrow{p}{ϵ}_2^{\mu }.\text{\hspace{1em}(13.26)}$$

对于费米子圈，我们采用与标量圈相同的约定，即圈动量沿粒子流箭头的方向。在圈中，由于允许任何可能的中间态，我们必须对虚旋量的动量积分，同时对其可能的自旋求和。式 (13.25) 中的 $u_{\delta }{\bar{u}}_{\alpha }$ 于是被一个对所有可能自旋求和的传播子所取代。这是自动完成的，因为传播子的分子是 $({\psi }_2^s+m{)}_{\delta \alpha }={\sum }_s{u}_{\delta }^s{\bar{u}}_{\alpha }^s$。我们还必须对每个顶点处由动量守恒所约束的所有可能动量积分。因此，式 (13.26) 中的圈计算为

$$\begin{array}{l}i\mathcal{M}=-(-ie{)}^2\int \frac{d^4{p}_1}{(2\pi {)}^4}\frac{d^4{p}_2}{(2\pi {)}^4}(2\pi {)}^4{\delta }^4(p+p_2-p_1){ϵ}_{\mu }^{2\star }(p){ϵ}_{\nu }^1(p)\\ \times \left[{\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{i(/p_1+m{)}_{\beta \gamma }}{p_1^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }_{\gamma \delta }^{\nu }\frac{i(/p_2+m{)}_{\delta \alpha }}{p_2^2-m^2+i\epsilon }\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.27)}$$

额外的负号来自自旋-统计，稍后将加以解释。缩并所有旋量指标，并将 $p_1^{\mu }$ 替换为 $p^{\mu }+k^{\mu }$、$p_2^{\mu }$ 替换为 $k^{\mu }$：

$$\begin{array}{l}i\mathcal{M}={ϵ}_1^{\nu }\underset{p}{\sim }\underset{k}{\sim }\underset{p}{\sim }{ϵ}_2^{\mu }\\ =e^2{ϵ}_{\mu }^{2\star }{ϵ}_{\nu }^1\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}\mathrm{Tr}\left[{\gamma }^{\mu }\frac{i(/p+/k+m)}{(p+k{)}^2-m^2+i\epsilon }{\gamma }^{\nu }\frac{i(/k+m)}{k^2-m^2+i\epsilon }\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(13.28)}$$

其中迹是旋量指标的迹。在 QED 中计算费曼图常常涉及取 $\gamma$ 矩阵乘积的迹。

使用前文：自旋-统计定理。模型判断为回指；原文：The extra minus sign is due to spin-statistics, as will be explained shortly.

旋量矩阵相乘方向规则

引入 · 旋量矩阵总是沿与粒子流箭头相反的方向相乘，这使我们能够容易地从相应的图读出式 (13.24) 和 (13.28)。

概念：旋量矩阵相乘方向规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A useful general rule is that the spinor matrices are always multiplied together in the direction opposite to the particle-flow arrow, which allows us to read off Eqs. (13.24) and (13.28) easily from the corresponding diagrams.

PDF 文件页：121；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0050；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

一条有用的一般规则是，旋量矩阵总是沿与粒子流箭头相反的方向相乘，这使我们能够容易地从相应的图读出式 (13.24) 和 (13.28)。

Møller 散射

引入 · 考虑树级的 Møller 散射 $(e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-})$，有两个费曼图，分别对应 $t$ 道和 $u$ 道。

概念：Møller 散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Consider Møller scattering  $(e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-})$  at tree-level. There are two Feynman diagrams, for the  $t$ -channel (in Feynman gauge):

PDF 文件页：121；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0062；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

考虑树级的 Møller 散射 $(e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-})$。有两个费曼图，分别对应 $t$ 道（在费曼规范下）：

$$i{\mathcal{M}}_t=\begin{array}{l}{p}_1\\ p_2\\ ⋮\end{array}\}\begin{array}{l}{p}_3\\ p_4\\ ⋮\end{array}=\pm (-ie)\bar{u}(p_3){\gamma }^{\mu }u(p_1)\frac{-i{g}_{\mu \nu }}{{\left(p_1-p_3\right)}^2}(-ie)\bar{u}(p_4){\gamma }^{\nu }u(p_2),\text{\hspace{1em}(13.30)}$$

以及 $u$ 道：

$$i{\mathcal{M}}_u=\begin{array}{l}{p}_1\\ p_2\\ ⋮\\ p_4\end{array}=\pm (-ie)\bar{u}(p_3){\gamma }^{\mu }u(p_2)\frac{-i{g}_{\mu \nu }}{{\left(p_1-p_4\right)}^2}(-ie)\bar{u}(p_4){\gamma }^{\nu }u\left(p_1\right).\text{\hspace{1em}(13.31)}$$

问题是：每个图应该带什么符号？

后文使用：Møller 散射。

LSZ 约化定理

回指 · 根据 LSZ 约化定理，费曼图代表对格林函数傅里叶变换的贡献。

概念：LSZ 约化定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

By the LSZ reduction theorem, they represent contributions to the Fourier transform of the Green's function:

PDF 文件页：122；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0062；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

为了找出答案，回忆这些费曼图代表 $S$ 矩阵元。根据 LSZ 约化定理，它们代表对格林函数傅里叶变换的贡献：

$$G_4\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=⟨\Omega |T\left\{\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_3\right)\psi \left(x_2\right)\bar{\psi }\left(x_4\right)\right\}|\Omega ⟩,\text{\hspace{1em}(13.32)}$$

其中外传播子被移除，外旋量被加入。微扰论中该格林函数的第一个非零贡献出现在自由场展开的 $e^2$ 阶：

$$\begin{array}{l}{G}_4=(-ie{)}^2\int d^{4}x\int d^{4}y\\ \times ⟨0|T\left\{\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_3\right)\psi \left(x_2\right)\bar{\psi }\left(x_4\right)\left(\bar{\psi }(x)A(x)\psi (x)\right)\left(\bar{\psi }(y)A(y)\psi (y)\right)\right\}|0⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(13.33)}$$

其中大的 $(\dots )$ 表示内部的旋量被缩并。更明确地，我们可以写出

四点格林函数 $G_4$

引入 · 四点格林函数 $G_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=⟨\Omega |T\{\psi (x_1)\bar{\psi }(x_3)\psi (x_2)\bar{\psi }(x_4)\}|\Omega ⟩$，其微扰论第一个非零贡献在 $e^2$ 阶。

概念：四点格林函数 $G_4$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

G _ {4} \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}\right) = \langle \Omega | T \left\{\psi \left(x _ {1}\right) \bar {\psi} \left(x _ {3}\right) \psi \left(x _ {2}\right) \bar {\psi} \left(x _ {4}\right) \right\} | \Omega \rangle , \tag {13.32}

PDF 文件页：122；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0062；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

为了找出答案，回忆这些费曼图代表 $S$ 矩阵元。根据 LSZ 约化定理，它们代表对格林函数傅里叶变换的贡献：

$$G_4\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=⟨\Omega |T\left\{\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_3\right)\psi \left(x_2\right)\bar{\psi }\left(x_4\right)\right\}|\Omega ⟩,\text{\hspace{1em}(13.32)}$$

其中外传播子被移除，外旋量被加入。微扰论中该格林函数的第一个非零贡献出现在自由场展开的 $e^2$ 阶：

$$\begin{array}{l}{G}_4=(-ie{)}^2\int d^{4}x\int d^{4}y\\ \times ⟨0|T\left\{\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_3\right)\psi \left(x_2\right)\bar{\psi }\left(x_4\right)\left(\bar{\psi }(x)A(x)\psi (x)\right)\left(\bar{\psi }(y)A(y)\psi (y)\right)\right\}|0⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(13.33)}$$

其中大的 $(\dots )$ 表示内部的旋量被缩并。更明确地，我们可以写出

$$\begin{array}{l}{G}_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-ie{)}^2{\gamma }_{{\beta }_1{\beta }_2}^{\mu }{\gamma }_{{\beta }_3{\beta }_4}^{\nu }\int d^{4}x\int d^{4}y\\ \times ⟨0|T\{{\psi }_{{\alpha }_1}(x_1){\bar{\psi }}_{{\alpha }_3}(x_3){\psi }_{{\alpha }_2}(x_2){\bar{\psi }}_{{\alpha }_4}(x_4)\\ \times {\bar{\psi }}_{{\beta }_1}(x)A^{\mu }(x){\psi }_{{\beta }_2}(x){\bar{\psi }}_{{\beta }_3}(y)A^{\nu }(y){\psi }_{{\beta }_4}(y)\}|0⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.34)}$$

Møller 散射

推导 · Møller 散射的矩阵元为 $\mathcal{M}={\mathcal{M}}_t+{\mathcal{M}}_u$，其中 $t$ 道与 $u$ 道之间存在相对负号；矩阵元之和的整体符号是非物理相位，但该相对符号对 $|\mathcal{M}{|}^2$ 中的交叉项有可观测效应。

概念：Møller 散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The result is that the matrix element for Møller scattering has the form

The overall sign of the sum of the matrix elements is an unphysical phase, but the relative sign of the  $t$ - and  $u$ -channels is important for the cross term in the  $|\mathcal{M}|^2 = |\mathcal{M}_u + \mathcal{M}_t|^2$  and has observable effects.

PDF 文件页：122, 123；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0074；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于 $u$ 道，将场排序以使缩并按顺序进行，可得

$$\begin{array}{l}{G}_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-ie{)}^2{\gamma }_{{\beta }_1{\beta }_2}^{\mu }{\gamma }_{{\beta }_3{\beta }_4}^{\nu }\int d^{4}x\int d^{4}y\\ \times ⟨0|T\{A^{\mu }(x)A^{\nu }(y){\psi }_{{\alpha }_1}(x_1){\bar{\psi }}_{{\beta }_1}(x){\psi }_{{\beta }_2}(x){\bar{\psi }}_{{\alpha }_4}(x_4)\\ \times {\psi }_{{\alpha }_2}(x_2){\bar{\psi }}_{{\beta }_3}(y){\psi }_{{\beta }_4}(y){\bar{\psi }}_{{\alpha }_3}(x_3)\}|0⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(13.36)}$$

因此式 (13.31) 中的 $u$ 道图前面带有一个负号。结果是 Møller 散射的矩阵元具有如下形式

$$\begin{array}{l}\mathcal{M}={\mathcal{M}}_t+{\mathcal{M}}_u=e^2\{\frac{\left[\bar{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_1\right)\right]\left[\bar{u}\left(p_4\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_2\right)\right]}{{\left(p_1-p_3\right)}^2}\\ -\frac{\left[\bar{u}\left(p_4\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_1\right)\right]\left[\bar{u}\left(p_3\right){\gamma }^{\mu }u\left(p_2\right)\right]}{{\left(p_1-p_4\right)}^2}\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.37)}$$

记住这个相对负号的捷径就是简单地注意到 $G_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=-G_4(x_1,x_2,x_4,x_3)$。交换位于 $x_3$ 和 $x_4$ 处的全同费米子所产生的负号，正是你从费米–狄拉克统计中所预期的。矩阵元之和的整体符号是一个非物理的相位，但 $t$ 道与 $u$ 道之间的相对符号对 $|\mathcal{M}{|}^2=|{\mathcal{M}}_u+{\mathcal{M}}_t{|}^2$ 中的交叉项很重要，并具有可观测效应。

使用前文：Møller 散射。模型判断为使用；原文：A shortcut to remembering the relative minus sign is simply to note that $G_{4}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = -G_{4}(x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{3})$ .

费米子费曼规则的符号约定

引入 · 费米子的费曼规则必须补充：交换外部全同费米子时乘以 $-1$（这是通过交换两个外部全同粒子而关联的两图之间的相对负号，而 $s$ 道和 $t$ 道交换等不因全同性额外出现负号），以及每个费米子圈乘以 -1。

概念：费米子费曼规则的符号约定（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In summary, the Feynman rules for fermions must be supplemented by a factor of

-  $-1$  for interchange of external identical fermions. Diagrams such as  $s$ - and  $t$ -channel exchanges, which would be present even for non-identical particles, do not get an extra minus sign. The  $-1$  is a relative minus sign between two diagrams that are related by interchanging two external identical particles.
- -1 for each fermion loop.

PDF 文件页：123；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0074；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

总之，费米子的费曼规则必须补充以下因子：- 交换外部全同费米子时乘以 $-1$。诸如 $s$ 道和 $t$ 道交换之类的图，即使对于非全同粒子也会出现，不会获得额外的负号。这里的 $-1$ 是通过交换两个外部全同粒子而相互关联的两个图之间的相对负号。

• 每个费米子圈乘以 -1。

后文使用：费米子圈的负号因子。

γ₅ 的定义与性质

引入 · 定义 γ₅ ≡ iγ₀γ₁γ₂γ₃，它满足 γ₅² = 1 且 γ₅γ_μ = -γ_μγ₅。

概念：γ₅ 的定义与性质（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We will often also use  $\gamma_5 \equiv i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ , which satisfies

PDF 文件页：124；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0091；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

在开始 QED 计算之前，让我们推导一些关于 $\gamma$ 矩阵的有用恒等式。我们经常需要求 $\gamma$ 矩阵乘积的迹。利用迹的循环性质，这些往往可以简化：

$$\mathrm{Tr}[AB\dots C]=\mathrm{Tr}[B\dots CA].\text{\hspace{1em}(13.41)}$$

我们还经常使用 ${\gamma }_5\equiv i{\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$，它满足

$${\gamma }_5^2=1,{\gamma }_5{\gamma }_{\mu }=-{\gamma }_{\mu }{\gamma }_5.\text{\hspace{1em}(13.42)}$$

为了把旋量指标理清楚，我们有时用 $1$ 表示旋量指标上的单位元。因此，

$$\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2g^{\mu \nu }1\text{\hspace{1em}(13.43)}$$

以及

后文使用：左手与右手旋量。

缪子在 QED 中的性质

引入 · 缪子 ${\mu }^{-}$ 是一种就 QED 而言与电子全同、只是更重的粒子；因此研究涉及缪子的过程为 QED 提供了简单的检验。

概念：缪子在 QED 中的性质（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The muon,  $\mu^{-}$ , is a particle that is identical to the electron as far as QED is concerned, except heavier.

PDF 文件页：124；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0115；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

缪子，${\mu }^{-}$，是一种就 QED 而言与电子全同、只是更重的粒子。因此，研究涉及缪子的过程为 QED 提供了简单的检验。事实上，QED 中最简单的树级散射过程是 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$，我们在此处计算其树级结果，并在第 20 章计算其 1 圈结果。领头阶贡献为

$$i\mathcal{M}=\begin{array}{ccccc}{p}_1& & & & \\ & p_2& & & \end{array}$$ $$=(-ie){\bar{v}}_{\alpha }(p_2){\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }{u}_{\beta }(p_1)\frac{-i\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]}{k^2}(-ie){\bar{u}}_{\delta }(p_3){\gamma }_{\delta \iota }^{\nu }{v}_{\iota }(p_4),\text{\hspace{1em}(13.51)}$$

其中 $k^{\mu }=p_1^{\mu }+p_2^{\mu }=p_3^{\mu }+p_4^{\mu }$。这些旋量中的每一个都具有自旋，因此严格来说我们应当写作 $u_{\alpha }^{s_1}(p_1)$ 等等。惯例是将这些自旋标记隐去。由于旋量是壳上的，我们可以使用运动方程 $p_1^{\prime }u(p_1)=mu(p_1)$ 和 $\bar{v}(p_2)p_2=-m\bar{v}(p_2)$。于是，

$$\begin{array}{l}{\bar{v}}_{\alpha }(p_2){\gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }{u}_{\beta }(p_1)k^{\mu }=\bar{v}(p_2)p_1^{\prime }u(p_1)+\bar{v}(p_2)p_2^{\prime }u(p_1)\\ =m\bar{v}(p_2)u(p_1)-m\bar{v}(p_2)u(p_1)=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(13.52)}$$

自旋求和作为复数向量求和

限定 · 自旋求和是对应于外旋量的复数向量的求和，而不是对费米子场的求和；因此颠倒求和顺序不会引入负号，即 $u_{\alpha }^s{\bar{u}}_{\beta }^s={\bar{u}}_{\beta }^s{u}_{\alpha }^s$。

概念：自旋求和作为复数向量求和（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We have written each sum two ways to emphasize that these are sums over vectors of complex numbers corresponding to external spinors, not over fermion fields. Thus, no minus sign is induced from reversing the order of the sum:  $u_{\alpha}^{s}\bar{u}_{\beta}^{s} = \bar{u}_{\beta}^{s}u_{\alpha}^{s}$ .

PDF 文件页：126；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0115；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

由此最容易计算的是假设不测量自旋时的散射截面。自旋求和可以通过狄拉克迹来完成。为了看清这一点，我们将利用下式对 ${\mu }^{+}$ 的自旋求和

$$\sum _s{v}_{\alpha }^s\left(p_4\right){\bar{v}}_{\beta }^s\left(p_4\right)=\sum _s{\bar{v}}_{\beta }^s\left(p_4\right)v_{\alpha }^s\left(p_4\right)={\left(p_4^{\prime }-m_{\mu }1\right)}_{\alpha \beta },\text{\hspace{1em}(13.59)}$$

并利用下式对 ${\mu }^{-}$ 的自旋求和

$$\sum _s{u}_{\alpha }^s\left(p_3\right){\bar{u}}_{\beta }^s\left(p_3\right)=\sum _s{\bar{u}}_{\beta }^s\left(p_3\right)u_{\alpha }^s\left(p_3\right)={\left(p_3+m_{\mu }1\right)}_{\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(13.60)}$$

我们将每个求和写成了两种形式，以强调这些是对应于外旋量的复数向量的求和，而不是对费米子场的求和。因此，颠倒求和顺序不会引入负号：$u_{\alpha }^s{\bar{u}}_{\beta }^s={\bar{u}}_{\beta }^s{u}_{\alpha }^s$。

非偏振散射的自旋平均因子

推导 · 若不知道初态的偏振，多次测量将给出对每种偏振的平均，这导致初态的缩并和迹带有因子 $1/4$（入射 $e^{+}$ 和入射 $e^{-}$ 各为 $1/2$），以对无知进行平均。

概念：非偏振散射的自旋平均因子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us also assume that we do not know the polarization of the initial states. Then, if we do the measurement many times, we will get the average over each polarization. This leads to contractions and traces of the initial state, with a factor of  $\frac{1}{4}$  ( $\frac{1}{2}$  each for the incoming  $e^+$  and incoming  $e^-$ ) to average over our ignorance.

PDF 文件页：126；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0115；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

让我们还假设我们不知道初态的偏振。那么，如果我们进行多次测量，我们将得到对每种偏振的平均。这导致初态的缩并和迹，并带有一个因子 $\frac{1}{4}$（入射 $e^{+}$ 和入射 $e^{-}$ 各为 $\frac{1}{2}$），以对我们的无知进行平均。因此我们需要

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{s p i n s}}|\mathcal{M}{|}^2=\frac{e^4}{4s^2}\mathrm{Tr}\left[\left(p_1^{\prime }+m_e\right){\gamma }^{\nu }\left(p_2^{\prime }-m_e\right){\gamma }^{\mu }\right]\mathrm{Tr}\left[\left(p_3^{\prime }+m_{\mu }\right){\gamma }^{\mu }\left(p_4^{\prime }-m_{\mu }\right){\gamma }^{\nu }\right].\text{\hspace{1em}(13.62)}$$

利用迹恒等式，这些迹可以简化：

$$\begin{array}{l}\mathrm{Tr}[(p/3+m_{\mu }){\gamma }^{\alpha }(p/4-m_{\mu }){\gamma }^{\beta }]=p_3^{\rho }{p}_4^{\sigma }\mathrm{Tr}[{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\sigma }{\gamma }^{\beta }]-m_{\mu }^2\mathrm{Tr}[{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }]\\ =4\left(p_3^{\alpha }{p}_4^{\beta }+p_4^{\alpha }{p}_3^{\beta }-p_3^{\rho }{p}_4^{\rho }{g}^{\alpha \beta }\right)-4m_{\mu }^2{g}^{\alpha \beta }.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.63)}$$

所以，

卢瑟福散射公式

回指 · 经典的卢瑟福散射公式描述了电子在中心势（如原子核产生的势）中的偏转，其微分截面为 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{m_e^2{e}^4}{4p^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}}$，其中 $p$ 是入射电子动量的大小。

概念：卢瑟福散射公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $p = |\vec{p_i}| = |\vec{p_f}|$  is the magnitude of the incoming electron momentum, which is the same as the magnitude of the outgoing electron momentum for elastic scattering. Rutherford calculated this using classical mechanics to describe how an electron would get deflected in a central potential, as from an atomic nucleus.

\frac {d \sigma}{d \Omega} = \frac {m _ {e} ^ {2} e ^ {4}}{4 p ^ {4} \sin^ {4} \frac {\theta}{2}}

PDF 文件页：128；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0181；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在让我们回到很久以前考虑过的问题，即电子被库仑势散射。回顾经典的卢瑟福散射公式，

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{m_e^2{e}^4}{4p^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}},\text{\hspace{1em}(13.79)}$$

其中 $p=|\overrightarrow{p_i}|=|\overrightarrow{p_f}|$ 是入射电子动量的大小，对于弹性散射，它与出射电子动量的大小相同。卢瑟福利用经典力学计算了该式，用以描述电子在中心势（例如原子核产生的势）中如何发生偏转。我们在第 5.2 节中回顾过，卢瑟福公式可以通过玻恩近似在量子力学中重现，该近似将截面与库仑势 $V(r)=\frac{e^2}{4\pi r}$ 的傅里叶变换联系起来：

$${\left(\frac{d\sigma }{d\Omega }\right)}_{\text{B o r n}}=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}\tilde{V}(k{)}^2=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}{\left(\int d^{3}x{e}^{-i\vec{k}\cdot \vec{x}}\frac{e^2}{4\pi |\vec{x}|}\right)}^2=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}{\left(\frac{e^2}{|\vec{k}{|}^2}\right)}^2=\frac{m_e^2{e}^4}{64{\pi }^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}},\text{\hspace{1em}(13.80)}$$

其中 $\vec{k}=\overrightarrow{p_i}-\overrightarrow{p_f}$ 是满足 $|\vec{k}|=2p\sin \frac{\theta }{2}$ 的动量转移。

玻恩近似下的卢瑟福公式

回指 · 在第 5.2 节中回顾过，卢瑟福公式可以通过玻恩近似在量子力学中重现，该近似将截面与库仑势的傅里叶变换联系起来。

概念：玻恩近似下的卢瑟福公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We recalled in Section 5.2 that Rutherford's formula is reproduced in quantum mechanics through the Born

approximation, which relates the cross section to the Fourier transform of the Coulomb potential  $V(r) = \frac{e^2}{4\pi r}$ :

PDF 文件页：128, 129；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0181；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在让我们回到很久以前考虑过的问题，即电子被库仑势散射。回顾经典的卢瑟福散射公式，

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{m_e^2{e}^4}{4p^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}},\text{\hspace{1em}(13.79)}$$

其中 $p=|\overrightarrow{p_i}|=|\overrightarrow{p_f}|$ 是入射电子动量的大小，对于弹性散射，它与出射电子动量的大小相同。卢瑟福利用经典力学计算了该式，用以描述电子在中心势（例如原子核产生的势）中如何发生偏转。我们在第 5.2 节中回顾过，卢瑟福公式可以通过玻恩近似在量子力学中重现，该近似将截面与库仑势 $V(r)=\frac{e^2}{4\pi r}$ 的傅里叶变换联系起来：

$${\left(\frac{d\sigma }{d\Omega }\right)}_{\text{B o r n}}=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}\tilde{V}(k{)}^2=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}{\left(\int d^{3}x{e}^{-i\vec{k}\cdot \vec{x}}\frac{e^2}{4\pi |\vec{x}|}\right)}^2=\frac{m_e^2}{4{\pi }^2}{\left(\frac{e^2}{|\vec{k}{|}^2}\right)}^2=\frac{m_e^2{e}^4}{64{\pi }^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}},\text{\hspace{1em}(13.80)}$$

其中 $\vec{k}=\overrightarrow{p_i}-\overrightarrow{p_f}$ 是满足 $|\vec{k}|=2p\sin \frac{\theta }{2}$ 的动量转移。

场论对卢瑟福公式的重现

推导 · 从场论出发，在计算前取非相对论极限，振幅由一个 $t$ 道图给出；利用电子和质子态的非相对论归一化因子以及质心系中的运动学关系，可以重现卢瑟福公式。

概念：场论对卢瑟福公式的重现（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We also reproduced these results from field theory, taking the non-relativistic limit before doing the calculation. We found that the amplitude is given by a  $t$ -channel diagram:

where the  $2m_e^2$  and  $2m_p^2$  factors come from the non-relativistic normalization of the electron and proton states. Since  $t = (p_3 - p_1)^2 = -2p^2(1 - \cos\theta) = -4p^2\sin\frac{\theta}{2}$  and  $E_{\mathrm{CM}} = m_p$  in the center-of-mass frame, we reproduce the Rutherford formula.

PDF 文件页：129；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0181；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

我们也从场论出发重现了这些结果，即在计算之前先取非相对论极限。我们发现振幅由一个 $t$ 道图给出：

$${\left(\frac{d\sigma }{d\Omega }\right)}_{\mathrm{QFT}}=\frac{e^4}{64{\pi }^2{E}_{\mathrm{CM}}^2}\frac{(2m_e{)}^2(2m_p{)}^2}{t^2},\text{\hspace{1em}(13.81)}$$

其中 $2m_e^2$ 和 $2m_p^2$ 因子来自电子态和质子态的非相对论归一化。由于在质心系中 $t=(p_3-p_1{)}^2=-2p^2(1-\cos \theta )=-4p^2\sin \frac{\theta }{2}$ 且 $E_{\mathrm{CM}}=m_p$，我们重现了卢瑟福公式。

交叉关系

引入 · 交叉关系是一种代数技巧，通过替换动量（例如 p_2 → -p_3）将一个过程的振幅表达式用于另一个过程；尽管这种替换本身是非物理的（会产生负能动量），但可以一般性地证明交叉对称性，甚至对具有特定自旋的偏振截面也成立。

概念：交叉关系（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

It is just a trick, called a crossing relation, that lets us recycle tedious algebraic manipulations. You can prove crossing symmetries in general, even for polarized cross sections with particular spins, and there exist general crossing rules.

PDF 文件页：130；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0191；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这些改变使得 $s\to t$，或者更一般地，

$$s={\left(p_1+p_2\right)}^2\to {\left(p_1-p_3\right)}^2=t,\text{\hspace{1em}(13.87)}$$ $$t={\left(p_1-p_3\right)}^2\to {\left(p_1-p_4\right)}^2=u,\text{\hspace{1em}(13.88)}$$ $$u={\left(p_1-p_4\right)}^2\to {\left(p_1+p_2\right)}^2=s.\text{\hspace{1em}(13.89)}$$

这些替换并非物理的，因为 $p_2\to -p_3$ 会产生具有负能量的动量，而这不可能是外部粒子。这只是一个技巧，称为交叉关系，它让我们可以重复利用繁琐的代数运算。你可以一般性地证明交叉对称性，甚至对具有特定自旋的偏振截面也成立，并且存在一般的交叉规则。然而，与其推导并应用这些规则，通常更容易的做法是直接写下你想要的振幅，并通过检查来找出正确的变换。

莫特公式

引入 · 莫特公式给出了在 m_p ≫ m_e 且 E ≪ m_p 极限下电子被点状质子散射的微分截面，其极限 m_p → ∞ 存在且不依赖于质子质量。

概念：莫特公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is known as the Mott formula. Note that the limit  $m_p \to \infty$  exists: there is no dependence on the proton mass.

PDF 文件页：131；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0191；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

因此

$$\begin{array}{l}\frac{1}{4}{\sum }_{\mathrm{spins}}|\mathcal{M}{|}^2=\frac{8e^4}{t^2}\left[p_{14}{p}_{23}+p_{12}{p}_{34}-m_p^2{p}_{13}-m_e^2{p}_{24}+2m_e^2{m}_p^2\right]\\ =\frac{8e^4}{4v^4{E}^4(1-\cos \theta {)}^2}\left[E^2{m}_p^2+E^2{m}_p^2{v}^2\cos \theta +m_e^2{m}_p^2\right]\\ =\frac{2e^4{m}_p^2}{v^4{E}^2(1-\cos \theta {)}^2}\left[2-v^2(1-\cos \theta )\right]\\ =\frac{e^4{m}_p^2}{v^4{E}^2{\sin }^4\frac{\theta }{2}}\left[1-v^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.99)}$$

注意，该方程首行中的每一项都按 $m_p^2$ 缩放，最终结果也是如此，因此在式 (13.92) 中略去次领头项是合理的。由于质心系实质上就是实验室系，微分截面由 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{1}{64{\pi }^2{E}_{\mathrm{CM}}^2}|\mathcal{M}{|}^2$ 给出：

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{e^4}{64{\pi }^2{v}^2{p}^2{\sin }^4\frac{\theta }{2}}\left(1-v^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\right),E\ll m_p.\text{\hspace{1em}(13.100)}$$

这被称为莫特公式。注意极限 $m_p\to \infty$ 是存在的：结果不依赖于质子质量。对于低速情形，我们可以使用 $v\ll 1$ 和 $p\ll E\sim m_e$，因此 $v\sim \frac{p}{m_e}$。于是，

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{e^4{m}_e^2}{64{\pi }^2{p}^4{\sin }^4\frac{\theta }{2}},v\ll 1\text{a n d}E\ll m_p\text{\hspace{1em}(13.101)}$$

这就是卢瑟福公式。特别要注意，归一化因子 $m_e^2$ 正确地得出了。

康普顿散射

引入 · QED 对康普顿散射 $\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$ 给出预言；康普顿利用简单相对论运动学预言了散射光波长随角度的移动，但无法预言各角度的辐射强度。

概念：康普顿散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The next process worth studying is the QED prediction for Compton scattering,  $\gamma e^{-} \rightarrow \gamma e^{-}$ . By simple relativistic kinematics, Compton was able to predict the shift in wavelength of the scattered light as a function of angle,

but he could not predict the intensity of radiation at each angle.

PDF 文件页：132；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0238；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

下一个值得研究的过程是 QED 对康普顿散射 $\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$ 的预言。借助简单的相对论运动学，康普顿能够预言散射光波长随角度的移动，

$$\Delta \lambda =\frac{1}{m}(1-\cos \theta ),\text{\hspace{1em}(13.104)}$$

但他无法预言每个角度上的辐射强度。

后文使用：康普顿散射矩阵元模方。

后文使用：高能极限（康普顿散射）。

后文使用：康普顿波长移动公式。

经典电子半径

引入 · 经典电子半径定义为 $r_e=\frac{\alpha }{m}$，使得若电子是半径为 $r$ 的圆盘，则截面为 $\pi r^2$。

概念：经典电子半径（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $r_e$  is the classical electron radius,  $r_e = \frac{\alpha}{m}$ , defined so that if the electron were a disk of radius  $r$ , the cross section would be  $\pi r^2$ .

PDF 文件页：132；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0238；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

在经典极限下，对于软辐射在电子上的散射，J. J. Thomson 曾推导出公式

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\pi r_e^2(1+{\cos }^2\theta )=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}(1+{\cos }^2\theta ),\text{\hspace{1em}(13.105)}$$

其中 $r_e$ 是经典电子半径，$r_e=\frac{\alpha }{m}$，其定义使得：若电子是一个半径为 $r$ 的圆盘，则截面将为 $\pi r^2$。其中的 1 来自散射平面内偏振的辐射，而 ${\cos }^2\theta$ 来自平面外偏振，正如我们在第 5.3 节中对 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 所看到的那样。从 QED 出发，我们应当能够重现该公式以及相对论修正。

汤姆孙散射公式

回指 · 在经典极限下，对于软辐射在电子上的散射，J. J. Thomson 推导出了微分截面公式，其中包含来自散射平面内偏振的 1 与来自平面外偏振的 ${\cos }^2\theta$。

概念：汤姆孙散射公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In the classical limit, for scattering of soft radiation against electrons, J. J. Thomson had derived the formula

The 1 comes from radiation polarized in the plane of scattering and the  $\cos^2\theta$  from polarization out of the plane, just as we saw for  $e^+e^- \rightarrow \mu^+ \mu^-$  in Section 5.3.

PDF 文件页：132；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0238；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

在经典极限下，对于软辐射在电子上的散射，J. J. Thomson 曾推导出公式

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\pi r_e^2(1+{\cos }^2\theta )=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}(1+{\cos }^2\theta ),\text{\hspace{1em}(13.105)}$$

其中 $r_e$ 是经典电子半径，$r_e=\frac{\alpha }{m}$，其定义使得：若电子是一个半径为 $r$ 的圆盘，则截面将为 $\pi r^2$。其中的 1 来自散射平面内偏振的辐射，而 ${\cos }^2\theta$ 来自平面外偏振，正如我们在第 5.3 节中对 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 所看到的那样。从 QED 出发，我们应当能够重现该公式以及相对论修正。

高能极限（康普顿散射）

限定 · 在康普顿散射的高能极限下，可以令 $m=0$ 以简化矩阵元的计算。

概念：高能极限（康普顿散射）（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

in the high-energy limit where we can set  $m = 0$ .

PDF 文件页：134；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0263；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

回到康普顿散射过程，我们现在准备计算对自旋和偏振态求和的 $|\mathcal{M}{|}^2$。$|\mathcal{M}{|}^2$ 包含 $t$ 道和 $s$ 道图平方后的项以及它们的交叉项 $({\mathcal{M}}_t^{\star }{\mathcal{M}}_s+{\mathcal{M}}_s^{\star }{\mathcal{M}}_t)$。为了看清其中涉及的内容，我们只计算高能极限下的一项，在该极限下可以令 $m=0$。在此极限下

$${\mathcal{M}}_t=-\frac{e^2}{t}{ϵ}_{\mu }^1{ϵ}_{\nu }^{4\star }\bar{u}(p_3){\gamma }^{\mu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }^{\nu }u(p_2),\text{\hspace{1em}(13.113)}$$

因此，利用式 (13.8) 和 (13.112)，

$$\sum _{\text{s p i n s / p o l s .}}{\left|{\mathcal{M}}_t\right|}^2=\frac{e^4}{t^2}\mathrm{Tr}\left[p_3{\gamma }^{\mu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }^{\nu }{p}_2{\gamma }_{\nu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }_{\mu }\right].\text{\hspace{1em}(13.114)}$$

现在使用 ${\gamma }^{\nu }\psi {\gamma }_{\nu }=-2\psi$ 和 $q^{\mu }=p_2^{\mu }-p_4^{\mu }=p_3^{\mu }-p_1^{\mu }$ 得到

使用前文：康普顿散射。模型判断为回指；原文：Returning to the Compton scattering process, we are now ready to evaluate $|\mathcal{M}|^2$ summed over spins and polarizations.

后文使用：高能极限（康普顿散射）。

康普顿散射矩阵元模方

推导 · 康普顿散射的 $|\mathcal{M}{|}^2$ 在对自旋和偏振态求和后，包含 $t$ 道和 $s$ 道图的平方项及其交叉项 $({\mathcal{M}}_t^{\star }{\mathcal{M}}_s+{\mathcal{M}}_s^{\star }{\mathcal{M}}_t)$；在高能极限 $m=0$ 下可逐项计算。

概念：康普顿散射矩阵元模方（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Returning to the Compton scattering process, we are now ready to evaluate  $|\mathcal{M}|^2$  summed over spins and polarizations.  $|\mathcal{M}|^2$  includes terms from the  $t$ -channel and  $s$ -channel diagrams squared as well as their cross terms  $(\mathcal{M}_t^\star \mathcal{M}_s + \mathcal{M}_s^\star \mathcal{M}_t)$ . To see what is involved, let us just evaluate one piece in the high-energy limit where we can set  $m = 0$ .

PDF 文件页：134；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0263；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

回到康普顿散射过程，我们现在准备计算对自旋和偏振态求和的 $|\mathcal{M}{|}^2$。$|\mathcal{M}{|}^2$ 包含 $t$ 道和 $s$ 道图平方后的项以及它们的交叉项 $({\mathcal{M}}_t^{\star }{\mathcal{M}}_s+{\mathcal{M}}_s^{\star }{\mathcal{M}}_t)$。为了看清其中涉及的内容，我们只计算高能极限下的一项，在该极限下可以令 $m=0$。在此极限下

$${\mathcal{M}}_t=-\frac{e^2}{t}{ϵ}_{\mu }^1{ϵ}_{\nu }^{4\star }\bar{u}(p_3){\gamma }^{\mu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }^{\nu }u(p_2),\text{\hspace{1em}(13.113)}$$

因此，利用式 (13.8) 和 (13.112)，

$$\sum _{\text{s p i n s / p o l s .}}{\left|{\mathcal{M}}_t\right|}^2=\frac{e^4}{t^2}\mathrm{Tr}\left[p_3{\gamma }^{\mu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }^{\nu }{p}_2{\gamma }_{\nu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }\right){\gamma }_{\mu }\right].\text{\hspace{1em}(13.114)}$$

现在使用 ${\gamma }^{\nu }\psi {\gamma }_{\nu }=-2\psi$ 和 $q^{\mu }=p_2^{\mu }-p_4^{\mu }=p_3^{\mu }-p_1^{\mu }$ 得到

使用前文：康普顿散射。模型判断为回指；原文：Returning to the Compton scattering process, we are now ready to evaluate $|\mathcal{M}|^2$ summed over spins and polarizations.

后文使用：高能极限（康普顿散射）。

Klein-Nishina 公式

引入 · Klein-Nishina 公式描述了康普顿散射截面；在低能极限 $\omega \ll m$ 下，频移仅由动量守恒决定，与 QED 无关。

概念：Klein-Nishina 公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Klein-Nishina formula

Let us start with the low-energy limit,  $\omega \ll m$

PDF 文件页：135；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0278；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

然后，对自旋和偏振态求和/平均，我们得到

$$\begin{array}{l}\frac{1}{4}{\sum }_{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2=e^4\mathrm{Tr}\{\left(p_3^{\prime }+m\right)\left[\frac{{\gamma }^{\nu }\left(p_1^{\prime }+p_2^{\prime }+m\right){\gamma }^{\mu }}{s-m^2}+\frac{{\gamma }^{\mu }\left(p_2^{\prime }-p_4^{\prime }+m\right){\gamma }^{\nu }}{t-m^2}\right]\\ \times \left(p/2+m\right)\left[\frac{{\gamma }^{\mu }\left(p/1+p/2+m\right){\gamma }^{\nu }}{s-m^2}+\frac{{\gamma }^{\nu }\left(p/2-p/4+m\right){\gamma }^{\mu }}{t-m^2}\right]\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.118)}$$

这看起来有些繁杂，但经过一些代数运算后结果相当简单：

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}{\left|\mathcal{M}\right|}^2=2e^4\left[\frac{p_{24}}{p_{12}}+\frac{p_{12}}{p_{24}}+2m^2\left(\frac{1}{p_{12}}-\frac{1}{p_{24}}\right)+m^4{\left(\frac{1}{p_{12}}-\frac{1}{p_{24}}\right)}^2\right].\text{\hspace{1em}(13.119)}$$

13.5.3 Klein-Nishina 公式

让我们从低能极限 $\omega \ll m$ 开始，此时在实验室系中处理是合理的。那么

$$p_1=(\omega ,0,0,\omega ),p_2=(m,0,0,0),$$ $$p_4=\left({\omega }^{\prime },{\omega }^{\prime }\sin \theta ,0,{\omega }^{\prime }\cos \theta \right),p_3=p_1+p_2-p_4=\left(E^{\prime },p^{\prime }\right).\text{\hspace{1em}(13.120)}$$

注意壳上条件 $p_3^2=m^2$ 意味着

$$0=p_{12}-p_{14}-p_{24}=\omega m-\omega {\omega }^{\prime }(1-\cos \theta )-m{\omega }^{\prime },\text{\hspace{1em}(13.121)}$$

后文使用：Klein-Nishina 公式。

康普顿波长移动公式

推导 · 康普顿波长移动公式 $\Delta \lambda =\frac{1}{{\omega }^{\prime }}-\frac{1}{\omega }=\frac{1}{m}(1-\cos \theta )$ 仅来自动量守恒，不含 QED。

概念：康普顿波长移动公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

is the same as Compton's formula for the wavelength shift:

\Delta \lambda = \frac {1}{\omega^ {\prime}} - \frac {1}{\omega} = \frac {1}{m} (1 - \cos \theta)

PDF 文件页：135；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0278；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

注意壳上条件 $p_3^2=m^2$ 意味着

$$0=p_{12}-p_{14}-p_{24}=\omega m-\omega {\omega }^{\prime }(1-\cos \theta )-m{\omega }^{\prime },\text{\hspace{1em}(13.121)}$$

因此

$${\omega }^{\prime }=\frac{\omega }{1+\frac{\omega }{m}(1-\cos \theta )},\text{\hspace{1em}(13.122)}$$

这就是频移作为角度函数的公式。这个关系式中不包含 QED——它只是动量守恒，与康普顿的波长移动公式相同：

$$\Delta \lambda =\frac{1}{{\omega }^{\prime }}-\frac{1}{\omega }=\frac{1}{m}(1-\cos \theta ),\text{\hspace{1em}(13.123)}$$

但它仍然是一个非常重要的关系式！

使用前文：康普顿散射。模型判断为回指；原文：is the same as Compton's formula for the wavelength shift:

Klein-Nishina 公式

推导 · Klein-Nishina 公式由 Klein 和 Nishina 于 1929 年首次计算得出，是对 QED 最早的检验之一；其微分截面形式为 $\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}{\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }\right)}^2\left[\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right]$。

概念：Klein-Nishina 公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is the Klein-Nishina formula. It was first calculated by Klein and Nishina in 1929 and was one of the first tests of QED.

\frac {d \sigma}{d \cos \theta} = \frac {\pi \alpha^ {2}}{m ^ {2}} \left(\frac {\omega^ {\prime}}{\omega}\right) ^ {2} \left[ \frac {\omega^ {\prime}}{\omega} + \frac {\omega}{\omega^ {\prime}} - \sin^ {2} \theta \right].

PDF 文件页：136；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0289；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\begin{array}{l}\int d{\Pi }_{\mathrm{LIPS}}=\frac{1}{8\pi }\int d\cos \theta d{\omega }^{\prime }\frac{{\omega }^{\prime }}{E^{\prime }}\delta ({\omega }^{\prime }+E^{\prime }({\omega }^{\prime })-m-\omega )\\ =\frac{1}{8\pi }\int d\cos \theta \frac{{\omega }^{\prime }}{E^{\prime }}{\left(1+\frac{d{E}^{\prime }}{d{\omega }^{\prime }}\right)}^{-1}\\ =\frac{1}{8\pi }\int d\cos \theta \frac{{\omega }^{\prime }}{E^{\prime }}{\left(1+\frac{{\omega }^{\prime }-\omega \cos \theta }{E^{\prime }}\right)}^{-1}\\ =\frac{1}{8\pi }\int d\cos \theta \frac{{\left({\omega }^{\prime }\right)}^2}{\omega m},\end{array}\text{\hspace{1em}(13.130)}$$

其中 ${\omega }^{\prime }$ 现在指的是式 (13.122)，而不是积分变量。这给出

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{1}{4\omega m}\frac{1}{8\pi }\frac{{\left({\omega }^{\prime }\right)}^2}{\omega m}2e^4\left[\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right],\text{\hspace{1em}(13.131)}$$

或者更简单地，

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}{\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }\right)}^2\left[\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right].\text{\hspace{1em}(13.132)}$$

这就是 Klein-Nishina 公式。它由 Klein 和 Nishina 于 1929 年首次计算得出，是对 QED 最早的检验之一。

使用前文：Klein-Nishina 公式。模型判断为使用；原文：This is the Klein-Nishina formula. It was first calculated by Klein and Nishina in 1929 and was one of the first tests of QED.

后文使用：康普顿散射。

后文使用：Møller 散射。

后文使用：光-光散射。

汤姆孙散射截面

推导 · 在极限 $m\to \infty$ 下，Klein-Nishina 公式退化为自由电子对经典电磁辐射的汤姆孙散射截面 $\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}[1+{\cos }^2\theta ]$。

概念：汤姆孙散射截面（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is the Thomson scattering cross section for classical electromagnetic radiation by a free electron.

\frac {d \sigma}{d \cos \theta} = \frac {\pi \alpha^ {2}}{m ^ {2}} [ 1 + \cos^ {2} \theta ].

PDF 文件页：136, 137；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0289；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

利用式 (13.122) 代入 ${\omega }^{\prime }$，

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}\left[1+{\cos }^2\theta -\frac{2\omega }{m}(1+{\cos }^2\theta )(1-\cos \theta )+\mathcal{O}\left(\frac{{\omega }^2}{m^2}\right)\right].\text{\hspace{1em}(13.133)}$$

注意，在极限 $m\to \infty$ 下

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2}{m^2}[1+{\cos }^2\theta ].\text{\hspace{1em}(13.134)}$$

这是自由电子对经典电磁辐射的汤姆孙散射截面。我们已经计算出了完整的相对论修正。

后文使用：康普顿散射。

后文使用：Møller 散射。

后文使用：光-光散射。

高能极限（康普顿散射）

限定 · 在康普顿散射的高能极限 $\omega \gg m$ 下，可以分析自旋与偏振依赖性以及严格向后散射 $\theta =\pi$ 处明显奇点的起源。

概念：高能极限（康普顿散射）（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Next, consider the opposite limit,  $\omega \gg m$ . In this limit, we will be able to understand some of the physics of Compton scattering, in particular, the spin and polarization dependence and the origin of an apparent singularity for exactly backwards scattering,  $\theta = \pi$ .

PDF 文件页：137；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0313；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

接下来，考虑相反的极限 $\omega \gg m$。在此极限下，我们将能够理解康普顿散射的一些物理，特别是自旋和偏振依赖性，以及严格向后散射（$\theta =\pi$）时出现明显奇点的起源。

使用前文：康普顿散射矩阵元模方。模型判断为使用；原文：Next, consider the opposite limit, $\omega \gg m$ . In this limit, we will be able to understand some of the physics of Compton scattering, in particular, the spin and polarization dependence and the origin of an apparent singularity for exactly backwards scattering, $\theta = \pi$ .

使用前文：高能极限（康普顿散射）。模型判断为细化；原文：Next, consider the opposite limit, $\omega \gg m$ .

后文使用：高能极限（康普顿散射）。

康普顿散射矩阵元模方

推导 · 在质心系中，对偏振态求平均后的康普顿散射矩阵元模方近似为 $\frac{1}{4}{\sum }_{\text{pols.}}|\mathcal{M}{|}^2\approx 2e^4\left[\frac{p_{24}}{p_{12}}+\frac{p_{12}}{p_{24}}\right]$；在 $\omega \gg m$ 极限下进一步化为 $4e^4\left[\frac{1+\cos \theta }{4}+\frac{1}{\frac{m^2}{2{\omega }^2}+1+\cos \theta }\right]$。

概念：康普顿散射矩阵元模方（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

\frac {1}{4} \sum_ {\text {p o l s .}} | \mathcal {M} | ^ {2} \approx 2 e ^ {4} \left[ \frac {p _ {2 4}}{p _ {1 2}} + \frac {p _ {1 2}}{p _ {2 4}} \right] = 2 e ^ {4} \left[ \frac {E + \omega \cos \theta}{E + \omega} + \frac {E + \omega}{E + \omega \cos \theta} \right]. \tag {13.138}

\frac {1}{4} \sum_ {\text {p o l s .}} | \mathcal {M} | ^ {2} \approx 4 e ^ {4} \left[ \frac {1 + \cos \theta}{4} + \frac {1}{\frac {m ^ {2}}{2 \omega^ {2}} + 1 + \cos \theta} \right]. \tag {13.139}

PDF 文件页：137；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0313；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

因此

$$p_{12}=\omega (E+\omega ),\text{\hspace{1em}(13.136)}$$ $$p_{24}=\omega (E+\omega \cos \theta ),\text{\hspace{1em}(13.137)}$$

且

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\approx 2e^4\left[\frac{p_{24}}{p_{12}}+\frac{p_{12}}{p_{24}}\right]=2e^4\left[\frac{E+\omega \cos \theta }{E+\omega }+\frac{E+\omega }{E+\omega \cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.138)}$$

对于 $\omega \gg m$，$E=\sqrt{m^2+{\omega }^2}\approx \omega \left(1+\frac{m^2}{2{\omega }^2}\right)$，并且

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\approx 4e^4\left[\frac{1+\cos \theta }{4}+\frac{1}{\frac{m^2}{2{\omega }^2}+1+\cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.139)}$$

我们只保留了为截断 $\cos \theta =-1$ 处奇点所必需的 $m$ 因子。对于 $\omega \gg m$，截面为

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }\approx \frac{2\pi }{64{\pi }^2(2\omega {)}^2}\left(\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\right)\approx \frac{\pi {\alpha }^2}{2{\omega }^2}\left[\frac{1+\cos \theta }{4}+\frac{1}{\frac{m^2}{2{\omega }^2}+1+\cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.140)}$$

在 $\theta =\pi$ 附近，当 $\omega \gg m$ 时，我们看到截面变得非常大（但仍有限）。在相空间的这一区域，光子与电子相互反弹并沿来路返回。或者用更具洛伦兹不变性的语言来说，出射光子动量的方向与入射电子动量的方向相同。现在让我们试着理解 $\theta =\pi$ 处奇点的起源。

高能极限（康普顿散射）

限定 · 在高能极限 $\omega \gg m$ 下，仅保留截断 $\cos \theta =-1$ 处奇点所必需的 $m$ 因子，此时截面在 $\theta =\pi$ 附近变得非常大但仍有限。

概念：高能极限（康普顿散射）（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We have only kept the factors of  $m$  required to cut off the singularity at  $\cos \theta = -1$ . The cross section for  $\omega \gg m$  is

Near  $\theta = \pi$ , as  $\omega \gg m$ , we see that the cross section becomes very large (but still finite).

PDF 文件页：137；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0325；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

且

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\approx 2e^4\left[\frac{p_{24}}{p_{12}}+\frac{p_{12}}{p_{24}}\right]=2e^4\left[\frac{E+\omega \cos \theta }{E+\omega }+\frac{E+\omega }{E+\omega \cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.138)}$$

对于 $\omega \gg m$，$E=\sqrt{m^2+{\omega }^2}\approx \omega \left(1+\frac{m^2}{2{\omega }^2}\right)$，并且

$$\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\approx 4e^4\left[\frac{1+\cos \theta }{4}+\frac{1}{\frac{m^2}{2{\omega }^2}+1+\cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.139)}$$

我们只保留了为截断 $\cos \theta =-1$ 处奇点所必需的 $m$ 因子。对于 $\omega \gg m$，截面为

$$\frac{d\sigma }{d\cos \theta }\approx \frac{2\pi }{64{\pi }^2(2\omega {)}^2}\left(\frac{1}{4}\sum _{\text{p o l s .}}|\mathcal{M}{|}^2\right)\approx \frac{\pi {\alpha }^2}{2{\omega }^2}\left[\frac{1+\cos \theta }{4}+\frac{1}{\frac{m^2}{2{\omega }^2}+1+\cos \theta }\right].\text{\hspace{1em}(13.140)}$$

在 $\theta =\pi$ 附近，当 $\omega \gg m$ 时，我们看到截面变得非常大（但仍有限）。在相空间的这一区域，光子与电子相互反弹并沿来路返回。或者用更具洛伦兹不变性的语言来说，出射光子动量的方向与入射电子动量的方向相同。现在让我们试着理解 $\theta =\pi$ 处奇点的起源。

使用前文：高能极限（康普顿散射）。模型判断为使用；原文：The cross section for $\omega \gg m$ is

左手与右手旋量

回指 · 左手和右手旋量 ${\psi }_L$ 和 ${\psi }_R$ 分别被 $(1-{\gamma }_5)/2$ 和 $(1+{\gamma }_5)/2$ 投影算符所定义，并满足相应的投影关系。

概念：左手与右手旋量（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

the left- and right-handed spinors,  $\psi_L$  and  $\psi_R$ , satisfy

PDF 文件页：138；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0350；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

让我们通过考察螺旋度结构来进一步探索奇异的 $t\to 0$ 区域。回顾一下，左手和右手旋量 ${\psi }_L$ 和 ${\psi }_R$ 满足

$$\frac{1-{\gamma }_5}{2}{\psi }_L={\psi }_L,\frac{1+{\gamma }_5}{2}{\psi }_L=0,{\bar{\psi }}_L\frac{1+{\gamma }_5}{2}={\bar{\psi }}_L,{\bar{\psi }}_L\frac{1-{\gamma }_5}{2}=0,\text{\hspace{1em}(13.150)}$$ $$\frac{1+{\gamma }_5}{2}{\psi }_R={\psi }_R,\frac{1-{\gamma }_5}{2}{\psi }_R=0,{\bar{\psi }}_R\frac{1-{\gamma }_5}{2}={\bar{\psi }}_R,{\bar{\psi }}_R\frac{1+{\gamma }_5}{2}=0.\text{\hspace{1em}(13.151)}$$

由于

$$1=\frac{1+{\gamma }_5}{2}+\frac{1-{\gamma }_5}{2},\text{\hspace{1em}(13.152)}$$

使用前文：γ₅ 的定义与性质。模型判断为回指；原文：Recall that the left- and right-handed spinors, $\psi_L$ and $\psi_R$ , satisfy

后文使用：宇称破坏。

后文使用：矢量与轴矢量耦合。

后文使用：手征耦合。

螺旋度结构耦合规则

推导 · 一般规则是：奇数个 γ 矩阵耦合 RR 和 LL，而偶数个 γ 矩阵耦合 LR 和 RL；每个 γ 矩阵会将手征性 L 翻转为 R。

概念：螺旋度结构耦合规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

each  $\gamma$ -matrix flips  $L$  to  $R$

The general rule is that an odd number of  $\gamma$ -matrices couples  $RR$  and  $LL$  while an even number couples  $LR$  and  $RL$ .

PDF 文件页：139；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0350；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\frac{1-{\gamma }_5}{2}{\psi }_L={\psi }_L,\frac{1+{\gamma }_5}{2}{\psi }_L=0,{\bar{\psi }}_L\frac{1+{\gamma }_5}{2}={\bar{\psi }}_L,{\bar{\psi }}_L\frac{1-{\gamma }_5}{2}=0,\text{\hspace{1em}(13.150)}$$ $$\frac{1+{\gamma }_5}{2}{\psi }_R={\psi }_R,\frac{1-{\gamma }_5}{2}{\psi }_R=0,{\bar{\psi }}_R\frac{1-{\gamma }_5}{2}={\bar{\psi }}_R,{\bar{\psi }}_R\frac{1+{\gamma }_5}{2}=0.\text{\hspace{1em}(13.151)}$$

由于

$$1=\frac{1+{\gamma }_5}{2}+\frac{1-{\gamma }_5}{2},\text{\hspace{1em}(13.152)}$$

我们可以写出 $\psi ={\psi }_L+{\psi }_R$。然后利用 ${\gamma }_{\mu }(1+{\gamma }_5)=(1-{\gamma }_5){\gamma }_{\mu }$ 可以看出，每个 $\gamma$ 矩阵都会将 $L$ 翻转为 $R$。由此我们可以推导出

$$\bar{\psi }\psi ={\bar{\psi }}_L{\psi }_R+{\bar{\psi }}_R{\psi }_L,\text{\hspace{1em}(13.153)}$$ $$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ={\bar{\psi }}_L{\gamma }^{\mu }{\psi }_L+{\bar{\psi }}_R{\gamma }^{\mu }{\psi }_R,\text{\hspace{1em}(13.154)}$$ $$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\psi ={\bar{\psi }}_L{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\psi }_R+{\bar{\psi }}_R{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\psi }_L,\text{\hspace{1em}(13.155)}$$ $$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }\psi ={\bar{\psi }}_L{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\psi }_L+{\bar{\psi }}_R{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }{\psi }_R,\text{\hspace{1em}(13.156)}$$

等等。一般规则是：奇数个 $\gamma$ 矩阵耦合 $RR$ 和 $LL$，而偶数个则耦合 $LR$ 和 $RL$。

QED中的螺旋度守恒

诠释 · 该相互作用是螺旋度守恒的，因此旋量应同为右手或同为左手；这与QED的一般性质一致，即在无质量电子极限下左手态与右手态完全解耦。

概念：螺旋度

原文（OCR，未逐页核实）

which is helicity conserving. So,  $u(p_2)$  and  $\bar{u}(p_3)$  should be either both right-handed or both left-handed. This is consistent with a general property of QED, that in the limit of a massless electron, the left- and right-handed states completely decouple.

PDF 文件页：139；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

特别地，我们的相互作用 ${\mathcal{M}}_t$ 包含三个 $\gamma$ 矩阵，因此它耦合 $RR$ 和 $LL$。于是，

$${\mathcal{M}}_t=-\frac{e^2}{\omega \varphi }\left[{\bar{u}}_L\left(p_3\right){ϵ}_1/k{ϵ}_4^{\ast }{u}_L\left(p_2\right)+{\bar{u}}_R\left(p_3\right){ϵ}_1/k{ϵ}_4^{\ast }{u}_R\left(p_2\right)\right],\text{\hspace{1em}(13.157)}$$

这是螺旋度守恒的。所以，$u(p_2)$ 和 $\bar{u}(p_3)$ 应当要么都是右手的，要么都是左手的。这与 QED 的一个一般性质一致：在无质量电子极限下，左手态与右手态完全解耦。

无质量极限下的电子偏振态

回指 · 回顾了无质量极限下电子偏振态（旋量）的显式形式。

概念：无质量极限下的电子偏振态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now recall our explicit electron polarizations in the massless limit:

PDF 文件页：139；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在回顾我们在无质量极限下电子偏振态的显式形式：

$$u_R=\sqrt{2E}\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),u_L=\sqrt{2E}\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(13.158)}$$

对于光子，我们需要使用螺旋度本征态：

$${ϵ}_R^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,i,0),{ϵ}_L^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-i,0).\text{\hspace{1em}(13.159)}$$

注意

光子螺旋度本征态

引入 · 对于光子，需要使用螺旋度本征态。

概念：光子螺旋度本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For the photons, we need to use the helicity eigenstates:

PDF 文件页：139；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在回顾我们在无质量极限下电子偏振态的显式形式：

$$u_R=\sqrt{2E}\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),u_L=\sqrt{2E}\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(13.158)}$$

对于光子，我们需要使用螺旋度本征态：

$${ϵ}_R^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,i,0),{ϵ}_L^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-i,0).\text{\hspace{1em}(13.159)}$$

注意

$$\sqrt{2}{ϵ}_R=-{\gamma }_1-i{\gamma }_2=\left(\begin{array}{cccc}& & 0& -2\\ & & 0& 0\\ 0& 2& & \\ 0& 0& & \end{array}\right),\sqrt{2}{ϵ}_L=-{\gamma }_1+i{\gamma }_2=\left(\begin{array}{cccc}& & 0& 0\\ & & -2& 0\\ 0& 0& & \\ 2& 0& & \end{array}\right),\text{\hspace{1em}(13.160)}$$

为了看出“左”与“右”的约定被一致地使用，很容易验证 $\frac{\vec{S}\cdot \vec{p}}{E}{ϵ}_L=-{ϵ}_L$ 以及 $\frac{\vec{S}\cdot \vec{p}}{E}{u}_L=-\frac{1}{2}{u}_L$，只需分别在式 (10.117) 和 (10.113) 中使用 $p^{\mu }=(E,0,0,p_z)$ 以及 $S_z=S_{12}$ 或 $S_z=V_{12}$。

康普顿散射

回指 · 康普顿散射由美国物理学家 Arthur Holly Compton 于 1923 年观测到，其微分散射公式由 Klein 和 Nishina 于 1929 年计算得出，是从 QED 得到的最早结果之一，对使人确信狄拉克方程的正确性至关重要。

概念：康普顿散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

-  $\gamma e^{-} \rightarrow \gamma e^{-}$ : Compton scattering. Observed in 1923 by American physicist Arthur Holly Compton [Compton, 1923]. The differential scattering formula was calculated by Oskar Klein and Yoshio Nishina in 1929 [Klein and Nishina, 1929]. This was one of the first results obtained from QED, and was crucial in convincing us of the correctness of Dirac's equation.

PDF 文件页：140；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0373；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

仅考虑涉及电子、正电子、缪子、反缪子和光子的 $2\to 2$ 散射，QED 中就有相当多历史上重要的过程。一些例子是- $\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$：康普顿散射。由美国物理学家 Arthur Holly Compton 于 1923 年观测到 [Compton, 1923]。微分散射公式由 Oskar Klein 和 Yoshio Nishina 于 1929 年计算得出 [Klein and Nishina, 1929]。这是从 QED 得到的最早结果之一，并且对于使我们确信狄拉克方程的正确性至关重要。在此之前，人们所知道的只有经典的汤姆孙散射公式，而该公式在 20 世纪 20 年代初就已与实验不符。Klein-Nishina 公式与 20 世纪 20 年代末可获得的实验完美吻合。然而，在更高能量下，大约在 $2\mathrm{MeV}$ 以上时，它看起来是错误的。直到多年以后才表明，这一偏差是由于 $e^{-}{e}^{+}$ 对的产生（其中正电子与其他某个电子湮灭）以及轫致辐射造成的。

• $e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$：Møller 散射。由丹麦物理学家 Christian Møller 首次在超相对论情形下计算得出 [Møller, 1932]。在非相对论情形下，它被称为库仑散射或卢瑟福散射。Møller 是基于一些猜测和自洽性要求来计算截面的，并未使用 QED。不久之后，Bethe 和 Fermi 就在 QED 中计算了该截面 [Bethe and Fermi, 1932]。Møller 散射直到 1950 年才由加拿大物理学家 Lorne Albert Page 测量得到 [Page, 1950]。这部分是因为在人们理解重正化并能够测量辐射修正之前，研究人员并不认为它有趣。
• $e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$：Bhabha 散射。由印度物理学家 Homi Jehengir Bhabha 于 1936 年首次计算 [Bhabha, 1936]。正电子直到 1932 年才被发现，因此过了一段时间才能在实验室中测量 Bhabha 预言的微分截面。然而，$e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$ 的总截面从 20 世纪 30 年代起对宇宙线物理学就很重要。
• $\gamma \gamma \to \gamma \gamma$：光-光散射。1933 年，德国物理学家 Otto Halpern 意识到 QED 预言光可以被光散射 [Halpern, 1933]。在 QED 中，该过程没有树级贡献。第一个贡献来自单圈的一个箱图。Heisenberg 和他的学生 Hans Euler 与 Bernhard Kockel [Euler and Kockel, 1935; Euler and Heisenberg, 1936] 证明了该箱图是有限的。他们用一个现在称为 Euler-Heisenberg 拉格朗日量的有效拉格朗日量来表达该结果（见第 33 章）。光-光散射直到 1997 年才被观测到 [Akhmadaliev et al., 1998]。在超越箱图时，Euler 和 Heisenberg 在圈图中遇到了发散，从而得出结论：“QED 必须被视为是暂定的”[Schweber, 1994, p. 119]。

使用前文：Klein-Nishina 公式。模型判断为回指；原文：The Klein-Nishina formula agreed perfectly with available experiments in the late 1920s.

使用前文：汤姆孙散射截面。模型判断为回指；原文：Before this, all that was known was the classical Thomson scattering formula, which was already in disagreement with experiment by the early 1920s.

Møller 散射

回指 · Møller 散射由丹麦物理学家 Christian Møller 首次在超相对论情形下计算得出，基于猜测和自洽性要求而非 QED；不久后 Bethe 和 Fermi 在 QED 中计算了该截面，但该散射直到 1950 年才被测量。

概念：Møller 散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

-  $e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-}$  : Møller scattering. First calculated in the ultra-relativistic regime by Danish physicist Christian Møller [Møller, 1932]. In the non-relativistic regime it is called Coulomb scattering or Rutherford scattering. Møller calculated the cross section based on some guesses and consistency requirements, not using QED. The cross section was calculated in QED soon after by Bethe and Fermi [Bethe and Fermi, 1932]. Møller scattering was not measured until 1950 by Canadian physicist Lorne Albert Page [Page, 1950].

PDF 文件页：140；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0373；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

仅考虑涉及电子、正电子、缪子、反缪子和光子的 $2\to 2$ 散射，QED 中就有相当多历史上重要的过程。一些例子是- $\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$：康普顿散射。由美国物理学家 Arthur Holly Compton 于 1923 年观测到 [Compton, 1923]。微分散射公式由 Oskar Klein 和 Yoshio Nishina 于 1929 年计算得出 [Klein and Nishina, 1929]。这是从 QED 得到的最早结果之一，并且对于使我们确信狄拉克方程的正确性至关重要。在此之前，人们所知道的只有经典的汤姆孙散射公式，而该公式在 20 世纪 20 年代初就已与实验不符。Klein-Nishina 公式与 20 世纪 20 年代末可获得的实验完美吻合。然而，在更高能量下，大约在 $2\mathrm{MeV}$ 以上时，它看起来是错误的。直到多年以后才表明，这一偏差是由于 $e^{-}{e}^{+}$ 对的产生（其中正电子与其他某个电子湮灭）以及轫致辐射造成的。

• $e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$：Møller 散射。由丹麦物理学家 Christian Møller 首次在超相对论情形下计算得出 [Møller, 1932]。在非相对论情形下，它被称为库仑散射或卢瑟福散射。Møller 是基于一些猜测和自洽性要求来计算截面的，并未使用 QED。不久之后，Bethe 和 Fermi 就在 QED 中计算了该截面 [Bethe and Fermi, 1932]。Møller 散射直到 1950 年才由加拿大物理学家 Lorne Albert Page 测量得到 [Page, 1950]。这部分是因为在人们理解重正化并能够测量辐射修正之前，研究人员并不认为它有趣。
• $e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$：Bhabha 散射。由印度物理学家 Homi Jehengir Bhabha 于 1936 年首次计算 [Bhabha, 1936]。正电子直到 1932 年才被发现，因此过了一段时间才能在实验室中测量 Bhabha 预言的微分截面。然而，$e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$ 的总截面从 20 世纪 30 年代起对宇宙线物理学就很重要。
• $\gamma \gamma \to \gamma \gamma$：光-光散射。1933 年，德国物理学家 Otto Halpern 意识到 QED 预言光可以被光散射 [Halpern, 1933]。在 QED 中，该过程没有树级贡献。第一个贡献来自单圈的一个箱图。Heisenberg 和他的学生 Hans Euler 与 Bernhard Kockel [Euler and Kockel, 1935; Euler and Heisenberg, 1936] 证明了该箱图是有限的。他们用一个现在称为 Euler-Heisenberg 拉格朗日量的有效拉格朗日量来表达该结果（见第 33 章）。光-光散射直到 1997 年才被观测到 [Akhmadaliev et al., 1998]。在超越箱图时，Euler 和 Heisenberg 在圈图中遇到了发散，从而得出结论：“QED 必须被视为是暂定的”[Schweber, 1994, p. 119]。

使用前文：Klein-Nishina 公式。模型判断为回指；原文：The Klein-Nishina formula agreed perfectly with available experiments in the late 1920s.

使用前文：汤姆孙散射截面。模型判断为回指；原文：Before this, all that was known was the classical Thomson scattering formula, which was already in disagreement with experiment by the early 1920s.

光-光散射

引入 · 光-光散射在 QED 中没有树级贡献，第一个贡献来自单圈的箱图；Heisenberg 及其学生证明该箱图是有限的，并用 Euler-Heisenberg 拉格朗日量表达结果；该散射直到 1997 年才被观测到。

概念：光-光散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

-  $\gamma \gamma \rightarrow \gamma \gamma$ : Light-by-light scattering. In 1933, German physicist Otto Halpern realized that QED predicted that light could scatter off light [Halpern, 1933]. There is no tree-level contribution to this process in QED. The first contribution comes from a box

diagram at 1-loop. Heisenberg and his students Hans Euler and Bernhard Kockel [Euler and Kockel, 1935; Euler and Heisenberg, 1936] were able to show that this box diagram was finite. They expressed the result in terms of an effective Lagrangian now known as the Euler-Heisenberg Lagrangian (see Chapter 33). Light-by-light scattering was not observed until 1997 [Akhmadaliev et al., 1998].

PDF 文件页：140, 141；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0373；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

仅考虑涉及电子、正电子、缪子、反缪子和光子的 $2\to 2$ 散射，QED 中就有相当多历史上重要的过程。一些例子是- $\gamma e^{-}\to \gamma e^{-}$：康普顿散射。由美国物理学家 Arthur Holly Compton 于 1923 年观测到 [Compton, 1923]。微分散射公式由 Oskar Klein 和 Yoshio Nishina 于 1929 年计算得出 [Klein and Nishina, 1929]。这是从 QED 得到的最早结果之一，并且对于使我们确信狄拉克方程的正确性至关重要。在此之前，人们所知道的只有经典的汤姆孙散射公式，而该公式在 20 世纪 20 年代初就已与实验不符。Klein-Nishina 公式与 20 世纪 20 年代末可获得的实验完美吻合。然而，在更高能量下，大约在 $2\mathrm{MeV}$ 以上时，它看起来是错误的。直到多年以后才表明，这一偏差是由于 $e^{-}{e}^{+}$ 对的产生（其中正电子与其他某个电子湮灭）以及轫致辐射造成的。

• $e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$：Møller 散射。由丹麦物理学家 Christian Møller 首次在超相对论情形下计算得出 [Møller, 1932]。在非相对论情形下，它被称为库仑散射或卢瑟福散射。Møller 是基于一些猜测和自洽性要求来计算截面的，并未使用 QED。不久之后，Bethe 和 Fermi 就在 QED 中计算了该截面 [Bethe and Fermi, 1932]。Møller 散射直到 1950 年才由加拿大物理学家 Lorne Albert Page 测量得到 [Page, 1950]。这部分是因为在人们理解重正化并能够测量辐射修正之前，研究人员并不认为它有趣。
• $e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$：Bhabha 散射。由印度物理学家 Homi Jehengir Bhabha 于 1936 年首次计算 [Bhabha, 1936]。正电子直到 1932 年才被发现，因此过了一段时间才能在实验室中测量 Bhabha 预言的微分截面。然而，$e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$ 的总截面从 20 世纪 30 年代起对宇宙线物理学就很重要。
• $\gamma \gamma \to \gamma \gamma$：光-光散射。1933 年，德国物理学家 Otto Halpern 意识到 QED 预言光可以被光散射 [Halpern, 1933]。在 QED 中，该过程没有树级贡献。第一个贡献来自单圈的一个箱图。Heisenberg 和他的学生 Hans Euler 与 Bernhard Kockel [Euler and Kockel, 1935; Euler and Heisenberg, 1936] 证明了该箱图是有限的。他们用一个现在称为 Euler-Heisenberg 拉格朗日量的有效拉格朗日量来表达该结果（见第 33 章）。光-光散射直到 1997 年才被观测到 [Akhmadaliev et al., 1998]。在超越箱图时，Euler 和 Heisenberg 在圈图中遇到了发散，从而得出结论：“QED 必须被视为是暂定的”[Schweber, 1994, p. 119]。

使用前文：Klein-Nishina 公式。模型判断为回指；原文：The Klein-Nishina formula agreed perfectly with available experiments in the late 1920s.

使用前文：汤姆孙散射截面。模型判断为回指；原文：Before this, all that was known was the classical Thomson scattering formula, which was already in disagreement with experiment by the early 1920s.

Møller 散射

回指 · Møller 散射是 QED 中的树级过程，因涉及全同粒子而尤为有趣；要求计算其自旋平均微分截面，并在非相对论极限和超相对论极限下进行化简。

概念：Møller 散射（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Of the tree-level processes in QED, Møller scattering  $(e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-})$  is especially interesting because it involves identical particles.

Calculate the spin-averaged differential cross section for Møller scattering,  $e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-}$ .

PDF 文件页：142；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0383；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

13.1 在 QED 的树级过程中，Møller 散射 $(e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-})$ 尤为有趣，因为它涉及全同粒子。

(a) 计算 Møller 散射 $e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$ 的自旋平均微分截面。用 $s,t,u$ 和 $m_e$ 表示你的答案。 (b) 证明在非相对论极限下，你得到的结果与我们在习题 7.3 中通过自旋守恒论证所猜测的一致：

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{m_e^4{\alpha }^2}{E_{\mathrm{CM}}^2{p}^4}\left(\frac{1+3{\cos }^2\theta }{{\sin }^4\theta }\right),p^2={\left(\frac{E_{\mathrm{CM}}}{2}\right)}^2-m_e^2.\text{\hspace{1em}(13.162)}$$

(c) 在超相对论极限 $(m_e\to 0)$ 下简化 Møller 散射公式。[提示：你应该得到与 $(3+{\cos }^2\theta {)}^2$ 成正比的结果。]

粒子衰变率公式

回指 · 粒子衰变率由一般公式给出，包含初态能量因子、矩阵元模方、各末态粒子的相空间测度以及四动量守恒的 δ 函数。

概念：粒子衰变率公式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Recall that the decay rate is given by the general formula

d \Gamma = \frac {1}{2 E _ {1}} | \mathcal {M} | ^ {2} \frac {d ^ {3} p _ {2}}{(2 \pi) ^ {3}} \frac {1}{2 E _ {2}} \dots \frac {d ^ {3} p _ {n}}{(2 \pi) ^ {3}} \frac {1}{2 E _ {n}} (2 \pi) ^ {4} \delta^ {4} \left(p _ {1} - p _ {2} - \dots - p _ {n}\right).

PDF 文件页：142；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0388；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

13.2 推导式 (13.103)。使用习题 5.1 中导出的靶静止系中的散射公式可能会有所帮助。 13.3 粒子衰变。回顾一下，衰变率由一般公式给出

$$d\Gamma =\frac{1}{2E_1}|\mathcal{M}{|}^2\frac{d^3{p}_2}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{2E_2}\dots \frac{d^3{p}_n}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{2E_n}(2\pi {)}^4{\delta }^4\left(p_1-p_2-\cdots -p_n\right).\text{\hspace{1em}(13.163)}$$

(a) 计算 $1\to 2$ 衰变的相空间积分。证明总速率为

$$\Gamma (\varphi \to e^{+}+e^{-})=\frac{\sqrt{1-4x^2}}{8\pi m_{\varphi }}|\mathcal{M}{|}^2,x=\frac{m_e}{m_{\varphi }}.\text{\hspace{1em}(13.164)}$$

(b) 对于质量为 $m_{\varphi }$ 的粒子 $\varphi$ 衰变为质量为 $m_e$ 的 $e^{+}{e}^{-}$，计算 $\Gamma$，若

1. $\varphi$ 是标量，相互作用为 $g_S\varphi \bar{\psi }\psi$；2. $\varphi$ 是赝标量，相互作用为 $i{g}_P\varphi \bar{\psi }{\gamma }_5\psi$；
2. $\varphi$ 是矢量，相互作用为 $g_V{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$；
3. $\varphi$ 是轴矢量，相互作用为 $i{g}_A{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\psi$；

后文使用：1→2 衰变总速率。

1→2 衰变总速率

推导 · 通过计算 1→2 衰变的相空间积分，得到总衰变速率的表达式，其中包含运动学因子 sqrt(1-4x^2) 与矩阵元模方。

概念：1→2 衰变总速率（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Evaluate the phase-space integrals for  $1 \to 2$  decays. Show that the total rate is

\Gamma (\phi \rightarrow e ^ {+} + e ^ {-}) = \frac {\sqrt {1 - 4 x ^ {2}}}{8 \pi m _ {\phi}} | \mathcal {M} | ^ {2}, \quad x = \frac {m _ {e}}{m _ {\phi}}.

PDF 文件页：142；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0388；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

13.2 推导式 (13.103)。使用习题 5.1 中导出的靶静止系中的散射公式可能会有所帮助。 13.3 粒子衰变。回顾一下，衰变率由一般公式给出

$$d\Gamma =\frac{1}{2E_1}|\mathcal{M}{|}^2\frac{d^3{p}_2}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{2E_2}\dots \frac{d^3{p}_n}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{2E_n}(2\pi {)}^4{\delta }^4\left(p_1-p_2-\cdots -p_n\right).\text{\hspace{1em}(13.163)}$$

(a) 计算 $1\to 2$ 衰变的相空间积分。证明总速率为

$$\Gamma (\varphi \to e^{+}+e^{-})=\frac{\sqrt{1-4x^2}}{8\pi m_{\varphi }}|\mathcal{M}{|}^2,x=\frac{m_e}{m_{\varphi }}.\text{\hspace{1em}(13.164)}$$

(b) 对于质量为 $m_{\varphi }$ 的粒子 $\varphi$ 衰变为质量为 $m_e$ 的 $e^{+}{e}^{-}$，计算 $\Gamma$，若

1. $\varphi$ 是标量，相互作用为 $g_S\varphi \bar{\psi }\psi$；2. $\varphi$ 是赝标量，相互作用为 $i{g}_P\varphi \bar{\psi }{\gamma }_5\psi$；
2. $\varphi$ 是矢量，相互作用为 $g_V{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$；
3. $\varphi$ 是轴矢量，相互作用为 $i{g}_A{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\psi$；(c) 突发新闻！一项对撞机实验报告发现了新粒子的证据，该粒子仅衰变为轻子 $(\tau ,\mu$ 和 $e)$，其质量约为 4 GeV。大约有 $25\%$ 的概率它衰变为 ${\tau }^{+}{\tau }^{-}$。这个粒子可能具有什么自旋和宇称？

使用前文：粒子衰变率公式。模型判断为使用；原文：Evaluate the phase-space integrals for $1 \to 2$ decays.

新粒子自旋与宇称

诠释 · 一个质量约 4 GeV、仅衰变为轻子且约 25% 概率衰变为 τ⁺τ⁻ 的新粒子，要求其可能的自旋和宇称。

概念：新粒子自旋与宇称（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A collider experiment reports evidence of a new particle that decays only to leptons  $(\tau, \mu$  and  $e)$  whose mass is around 4 GeV. About  $25\%$  of the time it decays to  $\tau^{+}\tau^{-}$ . What spin and parity might this particle have?

PDF 文件页：142；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0388；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

(a) 计算 $1\to 2$ 衰变的相空间积分。证明总速率为

$$\Gamma (\varphi \to e^{+}+e^{-})=\frac{\sqrt{1-4x^2}}{8\pi m_{\varphi }}|\mathcal{M}{|}^2,x=\frac{m_e}{m_{\varphi }}.\text{\hspace{1em}(13.164)}$$

(b) 对于质量为 $m_{\varphi }$ 的粒子 $\varphi$ 衰变为质量为 $m_e$ 的 $e^{+}{e}^{-}$，计算 $\Gamma$，若

1. $\varphi$ 是标量，相互作用为 $g_S\varphi \bar{\psi }\psi$；2. $\varphi$ 是赝标量，相互作用为 $i{g}_P\varphi \bar{\psi }{\gamma }_5\psi$；
2. $\varphi$ 是矢量，相互作用为 $g_V{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$；
3. $\varphi$ 是轴矢量，相互作用为 $i{g}_A{\varphi }_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\psi$；(c) 突发新闻！一项对撞机实验报告发现了新粒子的证据，该粒子仅衰变为轻子 $(\tau ,\mu$ 和 $e)$，其质量约为 4 GeV。大约有 $25\%$ 的概率它衰变为 ${\tau }^{+}{\tau }^{-}$。这个粒子可能具有什么自旋和宇称？

费米子圈的负号因子

回指 · 习题要求证明在费曼规则中，每个费米子圈总是带来一个 -1 因子。

概念：费米子费曼规则的符号约定（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Show that you always get a factor of  $-1$  in the Feynman rules for each fermionic loop.

PDF 文件页：142；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0395；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

13.4 证明在费曼规则中，每个费米子圈总是带来一个 $-1$ 因子。 13.5 考虑 QED 中 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 的如下费曼图：(a) 在微扰论的同一阶，有多少个图有贡献？

使用前文：费米子费曼规则的符号约定。模型判断为回指；原文：Show that you always get a factor of $-1$ in the Feynman rules for each fermionic loop.

QED 振幅的规范不变性

引入 · 对于给定的 QED 过程图，需找出使其总和满足规范不变性（即独立于规范固定参数 $\xi$）所需添加的最小额外图集合，并显式验证之。

概念：QED 振幅的规范不变性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

What is the minimal set of diagrams you need to add to this one for the sum to be gauge invariant (independent of  $\xi$ )?

PDF 文件页：143；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0395；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

图 13.2(b) 为了使总和是规范不变的（独立于 $\xi$），你需要在此图基础上添加的最小图集合是什么？ (c) 显式证明 (b) 部分中各图之和是规范不变的。

手征耦合

引入 · 若 $Z$ 玻色子仅与左手场相互作用，则称其具有手征耦合；特定的 $g_V$ 与 $g_A$ 取值选择等价于这种手征耦合。

概念：手征耦合（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Show that this choice is equivalent to the  $Z$  boson having chiral couplings: it only interacts with left-handed fields.

PDF 文件页：143；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0405；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

(a) 在低能下，$e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 散射的总截面 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 随能量增长，而 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 的总截面则不然。证明这与中微子散射由大质量矢量玻色子 $Z$ 所传递相一致。推导这两个过程中 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 应如何依赖于 $E_{\mathrm{CM}}$。 (b) 将中微子置于狄拉克旋量 ${\psi }_{\nu }$ 中。对于 $\nu$ 与新的大质量规范玻色子，我们可以写出两种可能的耦合：$g_V{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\psi }_{\nu }+g_A{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\gamma }^5{\psi }_{\nu }$。它们分别称为矢量耦合和轴矢量耦合。假设 $Z$ 与电子的耦合方式同其与中微子的耦合方式相同。计算 $e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 作为 $g_V$ 和 $g_A$ 函数的完整角依赖（可以忽略质量）。 (c) $g_V$ 和 $g_A$ 取何值可重现图 13.2？证明这一选择等价于 $Z$ 玻色子具有手征耦合：它只与左手场相互作用。论证这是宇称破坏的证据，其中宇称算符 $P$ 是镜中的反射：$\vec{x}\to -\vec{x}$。 (d) 观察宇称破坏的一种更简单途径是 $\beta$ 衰变。该过程由带电规范玻色子 $W^{\pm }$ 传递，它们与 $Z$ 被“统一”在一起。假设它们具有与 $Z$ 相同的手征耦合，画出一个图来说明从 ${\mathrm{C}}^{60}\to {\mathrm{Ni}}^{59}+e^{-}+\bar{\nu }$ 中出来的电子总是左手的，且与钴核的自旋无关。在反钴衰变 ${\overline{\mathrm{C}}}^{60}\to {\overline{\mathrm{Ni}}}^{59}+e^{+}+\nu$ 中，正电子会具有何种手性？ (e) 如果你正在通过电话（即仅用光）与外星人交谈，告诉他们如何利用核 $\beta$ 衰变来区分顺时针与逆时针。为此，你需要弄清楚如何将 ${\psi }_L$ 中的 $L$ 与现实世界中的“左”联系起来。

使用前文：左手与右手旋量。模型判断为回指；原文：Place the neutrino in a Dirac spinor $\psi_{\nu}$ .

矢量与轴矢量耦合

引入 · 对于中微子与大质量规范玻色子 $Z$ 的相互作用，可以写出矢量耦合 $g_V{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\psi }_{\nu }$ 和轴矢量耦合 $g_A{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\gamma }^5{\psi }_{\nu }$ 两种形式。

概念：矢量与轴矢量耦合（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

There are two possible couplings we could write down for the  $\nu$  to the new massive gauge boson:  $g_V \bar{\psi}_{\nu} \not\bar{Z} \psi_{\nu} + g_A \bar{\psi}_{\nu} \not\bar{Z} \gamma^5 \psi_{\nu}$ . These are called vector and axial-vector couplings, respectively.

PDF 文件页：143；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0405；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

(a) 在低能下，$e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 散射的总截面 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 随能量增长，而 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 的总截面则不然。证明这与中微子散射由大质量矢量玻色子 $Z$ 所传递相一致。推导这两个过程中 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 应如何依赖于 $E_{\mathrm{CM}}$。 (b) 将中微子置于狄拉克旋量 ${\psi }_{\nu }$ 中。对于 $\nu$ 与新的大质量规范玻色子，我们可以写出两种可能的耦合：$g_V{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\psi }_{\nu }+g_A{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\gamma }^5{\psi }_{\nu }$。它们分别称为矢量耦合和轴矢量耦合。假设 $Z$ 与电子的耦合方式同其与中微子的耦合方式相同。计算 $e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 作为 $g_V$ 和 $g_A$ 函数的完整角依赖（可以忽略质量）。 (c) $g_V$ 和 $g_A$ 取何值可重现图 13.2？证明这一选择等价于 $Z$ 玻色子具有手征耦合：它只与左手场相互作用。论证这是宇称破坏的证据，其中宇称算符 $P$ 是镜中的反射：$\vec{x}\to -\vec{x}$。 (d) 观察宇称破坏的一种更简单途径是 $\beta$ 衰变。该过程由带电规范玻色子 $W^{\pm }$ 传递，它们与 $Z$ 被“统一”在一起。假设它们具有与 $Z$ 相同的手征耦合，画出一个图来说明从 ${\mathrm{C}}^{60}\to {\mathrm{Ni}}^{59}+e^{-}+\bar{\nu }$ 中出来的电子总是左手的，且与钴核的自旋无关。在反钴衰变 ${\overline{\mathrm{C}}}^{60}\to {\overline{\mathrm{Ni}}}^{59}+e^{+}+\nu$ 中，正电子会具有何种手性？ (e) 如果你正在通过电话（即仅用光）与外星人交谈，告诉他们如何利用核 $\beta$ 衰变来区分顺时针与逆时针。为此，你需要弄清楚如何将 ${\psi }_L$ 中的 $L$ 与现实世界中的“左”联系起来。

使用前文：左手与右手旋量。模型判断为回指；原文：Place the neutrino in a Dirac spinor $\psi_{\nu}$ .

宇称破坏

引入 · 作者指出 $e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 的角分布与 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 不同，并且当 $Z$ 玻色子仅与左手场相互作用时，这等价于宇称破坏，其中宇称算符 $P$ 对应空间反射 $\vec{x}\to -\vec{x}$；$\beta$ 衰变也提供了宇称破坏的证据。

概念：宇称破坏（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

13.6 Parity violation.

Argue that this is evidence of parity violation, where the parity operator  $P$  is reflection in a mirror:  $\vec{x} \rightarrow -\vec{x}$ .

PDF 文件页：143；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-13:u0405；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

13.6 宇称破坏。我们计算得出 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 具有 $1+{\cos }^2\theta$ 的角依赖（见式 (13.78)），其中 $\theta$ 是 $e^{-}$ 与 ${\mu }^{-}$ 方向之间的夹角。这与实验相符，如图 13.2 左侧的模拟数据所示。散射为缪子中微子的过程 $e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 的角分布则非常不同，如图 13.2 右侧所示，此时 $\theta$ 是 $e^{-}$ 与 ${\nu }_{\mu }$ 方向之间的夹角。

(a) 在低能下，$e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 散射的总截面 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 随能量增长，而 $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 的总截面则不然。证明这与中微子散射由大质量矢量玻色子 $Z$ 所传递相一致。推导这两个过程中 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$ 应如何依赖于 $E_{\mathrm{CM}}$。 (b) 将中微子置于狄拉克旋量 ${\psi }_{\nu }$ 中。对于 $\nu$ 与新的大质量规范玻色子，我们可以写出两种可能的耦合：$g_V{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\psi }_{\nu }+g_A{\bar{\psi }}_{\nu }/\bar{Z}{\gamma }^5{\psi }_{\nu }$。它们分别称为矢量耦合和轴矢量耦合。假设 $Z$ 与电子的耦合方式同其与中微子的耦合方式相同。计算 $e^{+}{e}^{-}\to {\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$ 作为 $g_V$ 和 $g_A$ 函数的完整角依赖（可以忽略质量）。 (c) $g_V$ 和 $g_A$ 取何值可重现图 13.2？证明这一选择等价于 $Z$ 玻色子具有手征耦合：它只与左手场相互作用。论证这是宇称破坏的证据，其中宇称算符 $P$ 是镜中的反射：$\vec{x}\to -\vec{x}$。 (d) 观察宇称破坏的一种更简单途径是 $\beta$ 衰变。该过程由带电规范玻色子 $W^{\pm }$ 传递，它们与 $Z$ 被“统一”在一起。假设它们具有与 $Z$ 相同的手征耦合，画出一个图来说明从 ${\mathrm{C}}^{60}\to {\mathrm{Ni}}^{59}+e^{-}+\bar{\nu }$ 中出来的电子总是左手的，且与钴核的自旋无关。在反钴衰变 ${\overline{\mathrm{C}}}^{60}\to {\overline{\mathrm{Ni}}}^{59}+e^{+}+\nu$ 中，正电子会具有何种手性？ (e) 如果你正在通过电话（即仅用光）与外星人交谈，告诉他们如何利用核 $\beta$ 衰变来区分顺时针与逆时针。为此，你需要弄清楚如何将 ${\psi }_L$ 中的 $L$ 与现实世界中的“左”联系起来。

使用前文：左手与右手旋量。模型判断为回指；原文：Place the neutrino in a Dirac spinor $\psi_{\nu}$ .

未能定位的关系（40）

• 使用 · 自旋–统计定理：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · QED 费曼规则（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 光子传播子（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 旋量传播子（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 外光子线的偏振矢量（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 外费米子线的旋量（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 费米子圈约定（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 旋量矩阵相乘方向规则（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · Møller 散射（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · LSZ 约化定理（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 四点格林函数 $G_4$（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · γ₅ 的定义与性质（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 缪子在 QED 中的性质（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 外费米子线的旋量（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 卢瑟福散射公式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 玻恩近似下的卢瑟福公式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 玻恩近似下的卢瑟福公式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 场论对卢瑟福公式的重现（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 交叉关系（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 莫特公式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 卢瑟福散射公式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 康普顿散射（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 汤姆孙散射公式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 康普顿散射矩阵元模方（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 康普顿散射矩阵元模方（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 高能极限（康普顿散射）（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 高能极限（康普顿散射）（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · Klein-Nishina 公式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 汤姆孙散射截面（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 康普顿散射矩阵元模方（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 螺旋度结构耦合规则（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 螺旋度：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 无质量极限下的电子偏振态（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 1→2 衰变总速率（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 宇称破坏（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 宇称破坏（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 宇称破坏（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 手征耦合（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 手征耦合（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 手征耦合（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述