4.3 线性常微分方程

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虽然不存在求解一般微分方程的方法，但常系数线性常微分方程组可以借助若尔当标准形完全求解。这类方程组可写成以下形式

$$\dot{\mathbf{x}}\equiv \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathsf{Ax},\text{\hspace{1em}(4.27)}$$

其中 $\mathbf{x}(t)$ 是一个 $n\times 1$ 列向量，而 $A$ 是一个 $n\times n$ 实常数矩阵。最初最好将其视为关于复变量 $x$ 的方程，尽管我们可能只寻求实解。以下讨论的更多细节，以及其在非线性微分方程中的应用，可在 [4, 5] 中找到。

尝试用指数形式求解方程 (4.27)

$$\mathbf{x}(t)={\mathrm{e}}^{\mathsf{A}t}{\mathbf{x}}_0,\text{\hspace{1em}(4.28)}$$

其中 ${\mathbf{X}}_0$ 是任意常向量，而 矩阵指数(matrix exponential) 由收敛级数定义

$$e^S=I+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\dots \text{\hspace{1em}(4.29)}$$

若 $S$ 与 $T$ 是两个可交换矩阵，$\mathsf{ST}=\mathsf{TS}$，则正如对于实标量或复标量一样，由此可得 ${\mathrm{e}}^{\mathsf{ST}}={\mathrm{e}}^{\mathsf{S}}{\mathrm{e}}^{\mathsf{T}}$

由式 (4.28) 给出的解在 $t=0$ 处的初值显然是 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$。若 $P$ 是任意可逆 $n\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{y}=\mathsf{P}\mathbf{x}$ 满足该微分方程

$$\dot{\mathbf{y}}={\mathsf{A}}^{\prime }\mathbf{y}\text{ where }{\mathsf{A}}^{\prime }={\mathsf{PAP}}^{-1},$$

并由此得到解

$$\mathbf{y}={\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}^{\prime }t}{\mathbf{y}}_0\text{where}{\mathbf{y}}_0={\mathsf{Px}}_0.$$

若选取 $P$ 使得 ${\mathsf{A}}^{\prime }$ 具有 若尔当 标准形

$${\mathsf{A}}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1\mathsf{I}+{\mathsf{N}}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_m\mathsf{I}+{\mathsf{N}}_{m{r}_m}\end{array}\right)$$

其中 ${\mathsf{N}}_{ij}$ 是幂零矩阵，那么，由于对每个 $i,j,$，${\lambda }_i\mathsf{I}$ 与 $N_{ij}$ 可交换，指数项具有形式

$${\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}^{\prime }t}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t}{\mathrm{e}}^{{\mathsf{N}}_{11}t}& & \\ & \ddots & \\ & & {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{m}t}{\mathrm{e}}^{{\mathsf{N}}_{mrm}t}\end{array}\right).$$

若 $N$ 是阶为 $k\times k$ 的 若尔当 矩阵，且如式 (4.25) 那样在上对角线上全为 1，则 ${\mathsf{N}}^2$ 在向外一条对角线上全为 1，而 $N$ 的每一次相继的幂都将这条由 1 构成的对角线再推远一位，直到 ${\mathsf{N}}^k$ 完全消失为止，

$${\mathsf{N}}^2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 0& 0& 1& \dots \\ & & & \ddots & \\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right),\dots ,{\mathsf{N}}^{k-1}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\\ & & & \ddots & \\ & & & \dots & 0\end{array}\right),{\mathsf{N}}^k=\mathsf{O}.$$

因此

$${\mathrm{e}}^{\mathsf{N}t}=\left(\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{t^2}{2}& \dots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\ 0& 1& t& \dots & \\ & & & \ddots & \\ 0& 0& & \dots & 1\end{array}\right),$$

而解式 (4.28) 可表示为形如

$${\mathbf{x}}_r(t)={\mathbf{w}}_r(t){\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}\text{\hspace{1em}(4.30)}$$

其中

$${\mathbf{w}}_r(t)=\frac{t^{r-1}}{(r-1)!}{\mathbf{h}}_1+\frac{t^{r-2}}{(r-2)!}{\mathbf{h}}_2+\cdots +t{\mathbf{h}}_{r-1}+{\mathbf{h}}_r.\text{\hspace{1em}(4.31)}$$

若 $A$ 为实矩阵，则矩阵 $P$ 与 ${\mathsf{A}}^{\prime }$ 一般为复矩阵，但给定实初值 ${\mathbf{X}}_0$ 时，在 $t=0$ 处取这些值的解为

$$\mathbf{x}={\mathsf{P}}^{-1}\mathbf{y}={\mathsf{P}}^{-1}{\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}^{\prime }t}\mathsf{P}{\mathbf{x}}_0,$$

根据常微分方程的存在唯一性定理，该量必然为实。或者，当 $A$ 为实矩阵时，任意复解 $\mathbf{x}(t)$ 的实部和虚部都是线性微分方程 Eq. (4.27) 的解，它们可由恒等式分离

$${\mathrm{e}}^{\lambda t}=\cos \lambda t+i\sin \lambda t.$$

二维自治系统

考虑具有常系数的平面（二维）系统式 (4.27) 的特殊情形，称为 自治系统(autonomous system)，

$$\dot{\mathbf{x}}=\mathsf{A}\mathbf{x}\text{ where }\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1}{x_2}\right).$$

矩阵 $A$ 与向量 $x$ 均假定为实。临界点(critical point) ${\mathbf{X}}_0$ 指方程 (4.27) 的任意常值解 $\mathbf{X}={\mathbf{X}}_0$。自治系统的分析可细分为名目繁多的情况与子情况。我们考虑矩阵 $A$ 非奇异的情形，此时唯一的临界点为 ${\mathbf{x}}_0=0$。两个特征值 ${\lambda }_1$ 与 ${\lambda }_2$ 均为 $\ne 0$，于是出现以下各种可能。

(1) $|{\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 且两个特征值均为实数。此时，特征向量 ${\mathbf{h}}_1$ 与 ${\mathbf{h}}_2$ 构成 ${\mathbb{R}}^2$ 的一组基，通解为

$$\mathbf{x}=c_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{h}}_1+c_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{h}}_2.$$

(1a) 若 ${\lambda }_2<{\lambda }_1<0$，则该临界点称为 稳定结点(stable node)。

(1b) 若 ${\lambda }_2>{\lambda }_1>0$，则该临界点称为 不稳定结点(unstable node)。

(1c) 若 ${\lambda }_2<0<{\lambda }_1$，则该临界点称为 鞍点(saddle point)。

这三种情形如图 4.1 所示，此时向量空间各轴的基已变换为沿向量 ${\mathbf{h}}_i$ 方向。

图 4.1 (a) 稳定结点，(b) 不稳定结点，(c) 鞍点

(2) ${\lambda }_1=\lambda ,{\lambda }_2=\overline{\lambda }$，其中 $\lambda$ 为复数。由于 $A$ 是实矩阵，因此特征向量彼此复共轭，

$$\mathbf{Ah}=\lambda \mathbf{h}\Rightarrow \mathbf{A}\overline{\mathbf{h}}=\overline{\lambda }\mathbf{h},$$

而任意实数解为

$$\mathbf{x}=c{\mathrm{e}}^{\lambda t}\mathbf{h}+\overline{c}{\mathrm{e}}^{\overline{\lambda }t}\overline{\mathbf{h}}.$$

若我们令

$$\mathbf{h}=\frac{1}{2}({\mathbf{h}}_1-i{\mathbf{h}}_2),\lambda =\mu +i\nu ,c=R{e}^{i\alpha }$$

其中 ${\mathbf{h}}_1,{\mathbf{h}}_2,\mu ,\nu ,R>0$ 和 $\alpha$ 均为实数量，则解 $x$ 具有形式

$$\mathbf{x}=R{\mathrm{e}}^{\mu t}\left(\cos (\nu t+\alpha ){\mathbf{h}}_1+\sin (\nu t+\alpha ){\mathbf{h}}_2\right).$$

(2a) $\mu <0:$ 这是一条当 $t\to \infty$ 时趋近于临界点 $\mathbf{x}=0$ 的对数螺线，称为 稳定焦点(stable focus)。

(2b) $\mu >0;$ 其解仍为对数螺线，但由临界点 $\mathbf{x}=0$ 出发，当 $t\to -\infty ,$ 时，称为 不稳定焦点(unstable focus)。

(2c) $\mu =0;$ 相对于基 ${\mathbf{h}}_1,{\mathbf{h}}_2$，其解为围绕原点的一族圆。

当使用原始基 ${\mathbf{e}}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$ 时，解是一组椭圆，而临界点称为 涡点(vortex point)。

这些解如图 4.2 所示。

图 4.2 (a) 稳定焦点，(b) 不稳定焦点，(c) 涡点

习题

习题 4.5

验证当 ${\dot{\mathbf{x}}}_r=\mathsf{A}{\mathbf{x}}_r(t)$ 成立时，式 (4.30)、式 (4.31) 是其解。

$$\begin{array}{c}{\mathbf{Ah}}_1={\lambda }_i{\mathbf{h}}_1\\ {\mathbf{Ah}}_2={\lambda }_i{\mathbf{h}}_2+{\mathbf{h}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{Ah}}_r={\lambda }_i{\mathbf{h}}_r+{\mathbf{h}}_{r-1}\end{array}$$

其中 ${\lambda }_i$ 是 $A$ 的一个特征值。

习题 4.6

讨论二维自治系统余下的情形：(a) ${\lambda }_1={\lambda }_2=$ $\lambda \ne 0$ 以及 (i) 两个不同的特征向量 ${\mathbf{h}}_1$ 和 ${\mathbf{h}}_2,$ ，(ii) 只有一个特征向量 ${\mathbf{h}}_1;(\mathbf{b})$ $A$ 一个奇异矩阵。画出所有情形下的解的草图。

习题 4.7

对具有常系数的所有三维线性微分方程自治系统进行分类。