第五章 · 内积空间

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在矩阵论中，通常称一个矩阵若等于其转置，即 ${\mathsf{S}}^T=\mathsf{S}$ ，则为对称矩阵。然而，除非在向量空间上附加某种额外结构，这一概念并不能有意义地迁移到向量空间上线性算符的矩阵。例如，设 $S$ : $V\to V$ 为一个算符，其矩阵 $\mathsf{S}=[S_j^i]$ 关于某一特定基是对称的。在基变换 $e_i=A_i^j{e}_j^{\prime }$ 下，变换后的矩阵为 ${\mathsf{S}}^{\prime }=\mathsf{AS}{\mathsf{A}}^{-1}$ ，而对于转置矩阵

因此，一般地有 ${\mathsf{S}}^{\prime T}\ne {\mathsf{S}}^{\prime }$。我们对这一结论不应感到意外，因为正如第 4 章开头所评论的，分量方程 $S_j^i=S_i^j$ 违反了 3.6 节的指标约定。

随文练习

证明 $S^{\prime }$ 是对称的，当且仅当 $S$ 与 ${\mathsf{A}}^T\mathsf{A}$ 可交换。

$${\mathsf{SA}}^T\mathsf{A}={\mathsf{A}}^T\mathsf{AS}.$$

因此，“对称算符”这一概念在一般基变换下并非不变，但在正交基变换下是不变的，${\mathsf{A}}^T={\mathsf{A}}^{-1}$

若 $V$ 是复向量空间，那么谈论算符 $H:V\to V$ 是“厄米的”同样没有意义，如果它关于某个基 $\{e_i\}$ 的矩阵 $H$ 是厄米的，$\mathsf{H}={\mathsf{H}}^{†}$

随文练习

证明厄米性质一般不是基不变的，但在幺正变换下保持不变，$e_i=U_i^j{e}_j^{\prime }$，其中 ${\mathsf{U}}^{-1}={\mathsf{U}}^{†}$

在本章中我们将看到，对称矩阵与埃尔米特矩阵在向量空间理论中扮演着不同的角色，它们表示的是内积而非算符 [1–3]。表示内积的矩阵最好将两个指标都写在右下角，$\mathsf{G}={\mathsf{G}}^T=[g_{ij}]$ 与 $\mathsf{H}={\mathsf{H}}^{†}=[h_{ij}]$。此时，对称性要求 $g_{ji}=g_{ij}$ 与埃尔米特性要求 $h_{ji}=\overline{h_{ij}}$ 便与指标约定不相冲突。

本章目录

• 5.1 实内积空间
• 5.2 复内积空间
• 5.3 有限群的表示