5.2 复内积空间

English

我们现在考虑一个复向量空间 $V$，它首先可能是无限维的。向量仍将用小写罗马字母表示，例如 $u$ 和 $v$，但复标量将用希腊字母表示，例如字母表前部的 $\alpha$、$\beta ,\dots$。词语 内积(inner product)，或 标量积(scalar product)，在复向量空间上

$V$ 将保留给一个映射 $V\times V\to \mathbb{C}$，该映射为每一对向量 $u$、$v\in V:$ 指定一个复标量 $⟨u\mid v⟩$，满足

(IP1) $⟨u\mid v⟩=\overline{⟨v\mid u⟩}$

(IP2) 对所有复数 $⟨u\mid \alpha v+\beta w⟩=\alpha ⟨u\mid v⟩+\beta ⟨u\mid w⟩$ 成立 $\alpha ,\beta$

(IP3) $⟨u|u⟩\ge 0$ 与 $⟨u\mid u⟩=0⟺u=0$

条件 (IP1) 蕴含 $⟨u\mid u⟩$ 总是实数，这是 (IP3) 能够有意义的一个必要条件。由 (IP1) 和 (IP2)

$$\begin{array}{rl}& ⟨\alpha v+\beta w|u⟩=\overline{⟨u|\alpha v+\beta w⟩}\\ & =\overline{\alpha ⟨u|v⟩+\beta ⟨u|w⟩}\\ & \\ & =\overline{\alpha }\overline{⟨u|v⟩}+\overline{\beta }\overline{⟨w|v⟩},\\ & \end{array}$$

从而

$$⟨\alpha v+\beta w|u⟩=\overline{\alpha }⟨v|u⟩+\overline{\beta }⟨w|u⟩.\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

这一性质通常被表述为：内积关于第一个自变量是反线性(antilinear)的。

带有内积的复向量空间将简称为 内积空间(inner product space)。如果 $V$ 是有限维的，则常称为有限维 希尔伯特空间(Hilbert space)，但对于无限维空间，希尔伯特空间这一术语仅适用于该空间是完备的情形（见第 13 章）。

数学家更常采用记号 $(u,v)$ 来代替我们的角括号记号，并要求第一个变量具有线性、第二个变量具有反线性。我们的约定遵循物理学家中最流行的做法，其起源是狄拉克在量子力学中使用的“左矢”和“右矢”术语（见第 14 章）。

例 5.4

关于 ${\mathbb{C}}^n$ 集合

$$⟨({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)|({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)⟩=\sum _{i=1}^n\overline{{\alpha }_i}{\beta }_i.$$

条件(IP1)–(IP3)容易验证。我们将直接看到，这是有限维内积空间的典型范例。每个有限维内积空间都有一个基，使得内积取这种形式。

例 5.5

若复值函数 $\phi :[0,1]\to \mathbb{C}$ 的实部与虚部均连续，则称该函数 $\phi (x)=f(x)+ig(x)$ 为连续的。设 $\mathcal{C}[0,1]$ 为实数区间 [0, 1] 上连续复值函数的集合，并定义内积

$$⟨\phi |\psi ⟩={\int }_0^1\overline{\phi (x)}\psi (x)dx.$$

条件(IP1)与(IP2)易于证明，但为了证明(IP3)，必须证明

$${\int }_0^1|f(x){|}^2+|g(x){|}^2\mathrm{d}x=0⟹f(x)=g(x)=0,\forall x\in [0,1].$$

若对某个 $0\le a\le 1$ 有 $f(a)\ne 0$，则由连续性，存在一个区间 $[a-ϵ,a]$ 或一个区间 $[a,a+ϵ]$，在其上 $\begin{array}{r}|f(x)|>\frac{1}{2}|f(a)|\end{array}$。于是

$${\int }_0^1|\phi (x){|}^{2}dx>\frac{1}{2}ϵ|f(a){|}^2+{\int }_0^1|g(x){|}^{2}dx>0.$$

因此，对于所有 $x\in [0,1]$，均有 $f(x)=0$。$g(x)=0$ 的证明本质上完全相同。

例 5.6

实直线上的一个复值函数 $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{C},$ 称为 平方可积(square integrable)，如果 $|\phi {|}^2$ 在 $R$ 的任意闭区间上都是可积函数，并且 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x){|}^2$ $\mathrm{d}x$ $<\infty$。实直线上平方可积复值函数的集合 $L^2(\mathbb{R})$ 是一个复向量空间，因为若 $\alpha$ 是复常数，且 $\phi$ 与 $\psi$ 是任意一对平方可积函数，则

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x)+\alpha \psi (x){|}^{2}dx\le {\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x){|}^{2}dx+|\alpha {|}^2{\int }_{-\infty }^{\infty }|\psi (x){|}^{2}dx<\infty .$$

在 $L^2(\mathbb{R})$ 上定义内积

$$⟨\phi |\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{\phi (x)}\psi (x)dx.$$

这对任意一对平方可积函数 $\phi$ 和 $\psi$ 都是良定义的，因为经过一些代数运算后，我们发现

$$\overline{\phi }\psi =\frac{1}{2}(|\phi +\psi {|}^2-i|\phi +i\psi {|}^2-(1-i)(|\phi {|}^2+|\psi {|}^2)).$$

因此，左端的积分等于右端各项积分之和，而其中每一项积分均已证明存在

性质 (IP1) 与 (IP2) 的验证是平凡的，但按照例 5.5 中给出的思路对 (IP3) 的证明在这里并不充分，因为我们并未对 $L^2(\mathbb{R})$ 中的函数规定连续性。例如，由 $f(x)=0$ 对所有 $x\ne 0$ 和 $f(0)=1$ 定义的函数 $f(x)$ 是一个正的非零函数，其积分为零。补救办法是将任意两个具有性质 $\begin{array}{r}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(x)-g(x){|}^2\mathrm{d}x=0\end{array}$ 的实函数 $f$ 与 $g$ 视为等同。这样的一对函数将被称为 几乎处处相等(equal almost everywhere)，而 $L^2(\mathbb{R})$ 必须被解释为由复值函数的等价类组成，这些函数的实部与虚部几乎处处相等。更完整的讨论将在第 13 章例 13.4 中给出。

随文练习

证明关系 $f\equiv g⟺{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(x)-g(x){|}^2\mathrm{d}x=0$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 上的等价关系。

向量的范数

内积空间中向量 $u$ 的 范数(norm)，记作 $\Vert u\Vert$，定义为非负实数

$$\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u|u⟩}\ge 0.\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

由 (IP2) 和式 (5.10) 立即推出

$$\Vert \alpha u\Vert =|\alpha |\Vert u\Vert .\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

定理 5.4 · 柯西–施瓦茨不等式 (Cauchy–Schwarz inequality)

（柯西–施瓦茨 不等式）对于内积空间中的任意一对向量 $u$、$v$

$$|⟨u|v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert .\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

证明

由 (IP3)、(IP2) 及式 (5.10)，我们对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$ 有

$$\begin{array}{l}0\le ⟨u+\lambda v|u+\lambda v⟩\\ =⟨u|u⟩+\lambda ⟨u|v⟩+\overline{\lambda }⟨v|u⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨v|v⟩.\end{array}$$

代入特定值

$$\lambda =-\frac{⟨v|u⟩}{⟨v|v⟩}$$

给出不等式

$$\begin{array}{l}0\le ⟨u|u⟩-\frac{⟨v|u⟩⟨u|v⟩}{⟨v|v⟩}-\frac{\overline{⟨v|u⟩}⟨v|u⟩}{⟨v|v⟩}+\frac{|⟨v|u⟩{|}^2}{⟨v|v⟩}\\ =⟨u|u⟩-\frac{|⟨v|u⟩{|}^2}{⟨v|v⟩}.\end{array}$$

因此，由(IP1)可得，

$$|⟨u|v⟩{|}^2=|⟨v|u⟩{|}^2\ge ⟨u|u⟩⟨v|v⟩$$

而所需结果由式 (5.11) 对该不等式两边取平方根得到。

推论 5.5 · 柯西–施瓦茨不等式的等号条件 (Equality in the Cauchy–Schwarz inequality)

只有当$u$与$v$彼此成比例时，式（5.13）中的等号才能成立，

$$|⟨u|v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert ⟺u=\alpha v,\text{ for some }\alpha \in \mathbb{C}.$$

证明

若 $u=\alpha v$，则由式 (5.11) 和式 (5.12) 可得

$$|⟨u|v⟩|=|⟨\alpha v|v⟩|=|\alpha |⟨v|v⟩=\Vert \alpha v\Vert \Vert v\Vert =\Vert u\Vert \Vert v\Vert .$$

反之，$\mathrm{if}|⟨u|v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert$ 则，

$$|⟨u|v⟩{|}^2=\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2$$

并将引理 5.4 证明中的步骤反转，把不等式替换为等式，即得

$$⟨u+\lambda v|u+\lambda v⟩=0\text{ where }\lambda =-\frac{⟨v|u⟩}{⟨v|v⟩}.$$

由(IP3)我们得出$u=-\lambda v$，并且该逻辑命题随$\alpha =-\lambda$成立。

定理 5.6 · 三角不等式 (Triangle inequality)

（三角不等式）对于内积空间中的任意一对向量 $u$ 和 $v$，

$$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert .\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

证明

$$\begin{array}{l}(\Vert u+v\Vert {)}^2=⟨u+v|u+v⟩\\ =⟨u|u⟩+⟨v|v⟩+⟨v|u⟩+⟨u|v⟩\\ =\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(⟨u|v⟩)\\ \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2|⟨u|v⟩|\\ \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert \text{ by Eq. (5.13) }\\ =(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2.\end{array}$$

对式 (5.14) 的三角不等式取平方根即得。

正交基

设 $V$ 为具有基 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 的有限维内积空间。定义内积关于此基的分量为

$$h_{ij}=⟨e_i|e_j⟩=\overline{⟨e_j|e_i⟩}=\overline{h_{ji}}.\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

分量矩阵 $\mathsf{H}=[h_{ij}]$ 显然是厄米的，

$$\mathsf{H}={\mathsf{H}}^{†}\text{ where }{\mathsf{H}}^{†}={\overline{\mathsf{H}}}^T.$$

在基变换式 (5.3) 下，我们有

$$⟨e_i|e_j⟩=\overline{A_i^k}⟨e_k^{\prime }|e_m^{\prime }⟩A_j^m$$

而内积的分量按如下方式变换

$$h_{ij}=\overline{A_i^k}{h}_{km}^{\prime }{A}_j^m.\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

可以用同样的论证将带撇分量表示为不带撇分量的表达式，

$$h_{ij}^{\prime }=⟨e_i^{\prime }|e_j^{\prime }⟩={\overline{A^{\prime k}}}_i{h}_{km}{A}_j^{\prime m}.\text{\hspace{1em}(5.17)}$$

这些方程有矩阵等价形式，

$$\mathsf{H}={\mathsf{A}}^{†}{\mathsf{H}}^{\prime }\mathsf{A},{\mathsf{H}}^{\prime }={\mathsf{A}}^{\prime †}\mathsf{H}{\mathsf{A}}^{\prime },\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

其中 ${\mathsf{A}}^{\prime }={\mathsf{A}}^{-1}$

随文练习

证明矩阵 $H$ 的厄米性在变换式 (5.18) 下保持不变。

若两个向量 $u$ 与 $v$ 满足 $⟨u|v⟩=0$ ，则称它们是正交的。若基 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 中的向量均具有单位范数，并且两两正交，则称该基为标准正交基

其他，

$$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }i=j,\\ 0& \text{ if }i\ne j.\end{array}$$

等价地，若内积关于基的分量矩阵为单位矩阵，则该基是正交归一的，$\mathsf{H}=\mathsf{I}$

从任意基 $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ 出发，总可以通过称为 施密特正交归一化(Schmidt orthonormalization) 的过程构造一组标准正交基，该过程与例 5.2 中概述的欧氏内积的格拉姆–施密特过程密切相关。其步骤依次为：

1. 集合 $f_1=u_1,\mathrm{then}{e}_1=\frac{f_1}{\Vert f_1\Vert }.$

2. 集合 $f_2=u_2-⟨e_1|u_2⟩e_1$，它正交于 $e_1$，因为

$$⟨e_1\mid f_2⟩=⟨e_1\mid u_2⟩-⟨e_1\mid u_2⟩\Vert e_1\Vert =0.$$

通过设置$e_2=f_2/\Vert f_2\Vert$来规范化$f_2$

3. 集合 $f_3=u_3-⟨e_1|u_3⟩e_1-⟨e_2|u_3⟩e_2$，它与 $e_1$ 和 $e_2$ 均正交。将其归一化以得到 $e_3=\frac{f_3}{\parallel f_3\parallel }$

4. 按此方式继续，直到

$$f_n=u_n-\sum _{i=1}^{n-1}⟨e_i\mid u_n⟩e_i\text{ and }{e}_n=\frac{f_n}{\Vert f_n\Vert }.$$

由于每个向量 $e_i$ 都是单位向量，并且与所有由先前步骤定义的 $j<i$ 的 $e_j$ 正交，它们构成一个正交归一集合。容易看出，$V$ 的任意向量 $v=v^i{u}_i$ 都是 $e_i$ 的线性组合，因为每个 $u_j$ 都是 $e_1,\dots ,e_j$ 的线性组合。因此，由定理 3.3，向量 $\{e_i\}$ 构成一个基，因为它们张成 $V$ 且其数目为 $n$。

相对于标准正交基，任意一对向量 $u=u^i{e}_i$ 与 $v=v^j{e}_j$ 的内积由下式给出

$$⟨u|v⟩=⟨u^i{e}_i|v^j{e}_j⟩=\overline{u^i}{v}^j⟨e_i|e_j⟩=\overline{u^i}{v}^j{\delta }_{ij}.$$

因此

$$⟨u\mid v⟩\sum _{i=1}^n\overline{u^i}{v}^i=\overline{u^1}{v}^1+\overline{u^2}{v}^2+\cdots +\overline{u^n}{v}^n,$$

这等价于在例5.4中定义在${\mathbb{C}}^n$上的标准内积。

例 5.7

设一个内积在基 $u_1,u_2,u_3;$ 中具有以下分量

$$h_{11}=⟨u_1|u_1⟩=1h_{12}=⟨u_1|u_2⟩=0h_{13}=⟨u_1|u_3⟩=\frac{1}{2}(1+i)$$ $$h_{21}=⟨u_2|u_1⟩=0h_{22}=⟨u_2|u_2⟩=2h_{23}=⟨u_2|u_3⟩=0$$ $$h_{31}=⟨u_3|u_1⟩=\frac{1}{2}(1-i)h_{32}=⟨u_3|u_2⟩=0h_{33}=⟨u_3|u_3⟩=1.$$

在继续之前，重要的是要认识到这个内积确实满足正定条件 (IP3)。例如，如果我们给定 $h_{13}=\overline{h_{31}}=1+i$，情况就不会如此，因为那时向量 $v=u_1-\frac{1-i}{\sqrt{2}}{u}_3$ 将具有负范数 $⟨v|v⟩=2(1-\sqrt{2})<0$。

在上述内积中，首先令$e_1=f_1=u_1$。下一个向量是

$$f_2=u_2-⟨e_1|u_2⟩e_1=u_2,e_2=\frac{u_2}{\Vert u_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}{u}_2.$$

最后一步是设置

$$f_3=u_3-⟨e_1|u_3⟩e_1-⟨e_2|u_3⟩e_2=u_3-\frac{1}{2}(1+i)u_1$$

其范数平方为

$$\begin{array}{c}(\Vert f_3\Vert {)}^2=⟨u_3|u_3⟩-\frac{1}{2}(1-i)⟨u_1|u_3⟩-\frac{1}{2}(1+i)⟨u_3|u_1⟩+\frac{1}{4}(1-i)(1+i)⟨u_1|u_1⟩\\ =1-\frac{1}{4}(1-i)(1+i)-\frac{1}{4}(1+i)(1-i)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

因此$e_3=f_3/\Vert f_3\Vert =\sqrt{2}(u_3-(1+i)u_1)$构成了标准正交基。

施密特正交归一化过程实际上提供了一种证明正定性的好方法，因为如果内积不满足 (IP3)，该过程会在某一阶段中断，产生一个范数非正的向量。

随文练习

尝试对上述内积进行施密特正交归一化，并按 $h_{13}=\overline{h_{31}}=1+i$ 进行更改，然后观察它如何失效！

酉变换

内积空间上的线性算符 $U:V\to V$ 若保持内积不变，则称为 酉算符(unitary operator)，

$$⟨Uu|Uv⟩=⟨u|v⟩,\forall u,v\in V.\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

酉算符显然保持任意向量 $v$ 的范数，

$$\Vert Uv\Vert =\sqrt{⟨Uv|Uv⟩}=\sqrt{⟨v|v⟩}=\Vert v\Vert .$$

事实上可以证明，线性算符 $U$ 是酉算符当且仅当它保持范数（见习题 5.7）。

一个酉算符$U$将任意标准正交基$\{e_i\}$变换为另一个标准正交基$e_i^{\prime }=U{e}_i$，因为

$$⟨e_i^{\prime }|e_j^{\prime }⟩=⟨U{e}_i|U{e}_j⟩=⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(5.20)}$$

集合$\{e_1^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }\}$线性无关，因此构成一组基，因为若${\alpha }^i{e}_i^{\prime }=0$则$⟨e_j^{\prime }|{\alpha }^i{e}_i^{\prime }⟩={\alpha }^j=0$。映射$U$是满射，因为每个向量$u=u^{\prime i}{e}_i^{\prime }=U(u^{\prime i}{e}_i)$；并且是单射，因为$Uv=0\Rightarrow v^i{e}_i^{\prime }=0\Rightarrow v=v^i{e}_i=0$。因此每个酉算符$U$都是可逆的。

相对于标准正交基 $\{e_i\}$，由 $U{e}_i=U_i^k{e}_k$ 定义的线性变换 $U$ 的分量构成一个酉矩阵 $\mathsf{U}=[U_i^k]$：

$$\begin{array}{c}{\delta }_{ij}=⟨U{e}_i|U{e}_j⟩=\overline{U_i^k}{U}_j^m⟨e_k|e_m⟩\\ =\overline{U_i^k}{U}_j^m{\delta }_{km}={\sum }_{k=1}^n\overline{U_i^k}{U}_j^k,\end{array}$$

或用矩阵表示，

$$\mathsf{I}={\mathsf{U}}^{†}\mathsf{U}.$$

若 $\left\{e_i\right\}$ 与 $\{e_j^{\prime }\}$ 是任意一对标准正交基，则由 $e_i^{\prime }=U{e}_i$ 定义的线性算符 $U$ 是酉算符，因为对任意一对向量 $u=u^i{e}_i$ 与 $v=v^j{e}_j$

$$\begin{array}{rl}⟨Uu|Uv⟩& =\overline{u^i}{v}^j⟨e_i^{\prime }|e_j^{\prime }⟩\\ & =\overline{u^i}{v}^j{\delta }_{ij}\\ & =\overline{u^i}{v}^j⟨e_i|e_j⟩=⟨u|v⟩.\end{array}$$

因此，所有正交基都通过酉变换唯一地相互联系。

在第 3.6 节的语境中，这是主动观点，其中向量通过酉变换在内积空间中“物理地”移动。在相关的被动观点中，基变换由式 (5.3) 给出——被变换的是向量的分量，而不是向量本身。如果两个基都是正交归一的，则由式 (5.16) 给出的内积的分量为 $h_{ij}=h_{ij}^{\prime }={\delta }_{ij}$，而在式 (5.18) 中令 $A_i^k=U_i^k$ 意味着矩阵 $\mathsf{U}=[U_i^k]$ 是酉矩阵，

$$\mathsf{I}=\mathsf{H}={\mathsf{U}}^{†}{\mathsf{H}}^{\prime }\mathsf{U}={\mathsf{U}}^{†}\mathsf{IU}={\mathsf{U}}^{†}\mathsf{U}.$$

因此，从主动观点和被动观点来看，正交基之间通过酉矩阵相联系。

习题

习题 5.6

证明由内积定义的范数满足平行四边形法则

$$\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2=2\Vert u{\Vert }^2+2\Vert v{\Vert }^2.$$

习题 5.7

在内积空间上证明

$$4⟨u|v⟩=\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2-i\Vert u+iv{\Vert }^2+i\Vert u-iv{\Vert }^2.$$

因此证明线性变换 $U:V\to V$ 是酉变换当且仅当它保持范数，

$$⟨Uu|Uv⟩=⟨u|v⟩,\forall u,v\in V⟺\Vert Uv\Vert =\Vert v\Vert ,\forall v\in V.$$

习题 5.8

证明复内积空间中的一对向量 $u$ 与 $v$ 正交，当且仅当

$${\Vert \alpha u+\beta v\Vert }^2={\Vert \alpha u\Vert }^2+{\Vert \beta v\Vert }^2,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{C}.$$

在复内积空间中找出一对非正交向量 $u$ 和 $v$，使得 $\Vert u+v{\Vert }^2=$ $\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$

习题 5.9

证明该公式

$$⟨\mathsf{A}|\mathsf{B}⟩=\mathrm{tr}({\mathsf{BA}}^{†})$$

定义了 $m\times n$ 复矩阵 $M(m,n)$ 的向量空间上的一个内积

(a) 计算 $\Vert {\mathsf{I}}_n\Vert$，其中 ${\mathsf{I}}_n$ 是 $n\times n$ 单位矩阵。

(b) 与 ${\mathsf{I}}_n?$ 正交的矩阵具有什么特征？

(c) 证明所有酉 $n\times n$ 矩阵 $U$ 关于此内积具有相同的范数。

习题 5.10

设 $S$ 与 $T$ 为复内积空间，并设 $U:S\to T$ 为线性映射，使得 $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$。证明

$$⟨Ux\mid Uy⟩=⟨x\mid y⟩\text{ for all }x,y\in S.$$

习题 5.11

设 $V$ 为一个复向量空间，其上带有一个“不定内积(indefinite inner product)”，其定义为满足 (IP1)、(IP2)，但将 (IP3) 替换为非奇异性条件的内积

(IP3’) 对所有 $v\in V$ 均有 $⟨u|v⟩=0$，蕴含 $u=0$

(a) 证明对于这样的不定内积，可以证明与定理 5.2 和 5.3 类似的结果。

(b) 若对角线上有 $p$ 个元素等于 $+1$，且有 $q$ 个元素等于 $-1$，求标准正交基之间的变换群 $U(p,q)$ 的定义关系。

习题 5.12

若 $V$ 是内积空间， 一个算符$K:V\to V$称为自伴算符(self-adjoint operator)，如果

$$⟨u|Kv⟩=⟨Ku|v⟩$$

对任意一对向量 $u$、$v\in V$。设 $\{e_i\}$ 为任意基，具有 $⟨e_i\mid e_j⟩=h_{ij}$，并令 $K{e}_k=$ $K_k^j{e}_j$。证明：若 $\mathsf{H}=[h_{ij}]$ 且 $\mathsf{K}=[K_j^k]$，则

$$\mathsf{HK}={\mathsf{K}}^{†}\mathsf{H}=(\mathsf{HK}{)}^{†}.$$

若 $\left\{e_i\right\}$ 是一组标准正交基，证明 $K$ 是埃尔米特矩阵。