基灵向量场

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定义 · 7.7 基灵向量场与共形基灵向量场

设 $(M,g)$ 为黎曼流形，$X\in \mathfrak{X}(M)$。若一个位移 $\epsilon X$（其中 $\epsilon$ 为无穷小量）生成一个等距变换，则称向量场 $X$ 为基灵向量场。在此位移下，点 $p\in M$ 的坐标 $x^{\mu }$ 变为 $x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(p)$，见(5.42)。若 $f:x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }$ 是等距变换，则它满足 (7.96b)，

$$\frac{\partial \left(x^{\kappa }+\epsilon X^{\kappa }\right)}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \left(x^{\lambda }+\epsilon X^{\lambda }\right)}{\partial x^{\nu }}{g}_{\kappa \lambda }(x+\epsilon X)=g_{\mu \nu }(x).$$

英文原文

Let $(M,g)$ be a Riemannian manifold and $X\in \mathfrak{X}(M)$ . If a displacement $\epsilon X$ , $\epsilon$ being infinitesimal, generates an isometry, the vector field $X$ is called a Killing vector field. The coordinates $x^{\mu }$ of a point $p\in M$ change to $x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(p)$ under this displacement, see (5.42). If $f:x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }$ is an isometry, it satisfies (7.96b),

$$\frac{\partial \left(x^{\kappa }+\epsilon X^{\kappa }\right)}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \left(x^{\lambda }+\epsilon X^{\lambda }\right)}{\partial x^{\nu }}{g}_{\kappa \lambda }(x+\epsilon X)=g_{\mu \nu }(x).$$

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