7.6 等距变换与共形变换

7.6.1 等距变换

定义 7.4 等距变换

设 $(M,g)$ 为一个（伪）黎曼流形。若微分同胚 $f:M\to M$ 保持度量不变，则称它为等距变换(isometry)，即

$$f^{\ast }{g}_{f(p)}=g_p\text{\hspace{1em}(7.96a)}$$

也就是，对 $X,Y\in T_{p}M$，有 $g_{f(p)}(f_{\ast }X,f_{\ast }Y)=g_p(X,Y)$

写成坐标分量，条件 (7.96a) 成为

$$\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^{\nu }}{g}_{\alpha \beta }(f(p))=g_{\mu \nu }(p)\text{\hspace{1em}(7.96b)}$$

其中 $x$ 与 $y$ 分别是 $p$ 与 $f(p)$ 的坐标。恒等映射、等距变换的复合以及等距变换的逆都是等距变换；所有这些等距变换构成一个群。由于等距变换保持向量的长度，特别地保持无穷小位移向量的长度，因此可以把它看作刚体运动。例如，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，欧几里得群 $E^n$，即映射 $f:x\mapsto Ax+T$（$A\in \mathrm{SO}(n)$，$T\in {\mathbb{R}}^n$）的集合，就是等距变换群。

7.6.2 共形变换

定义 7.5 共形变换

设 $(M,g)$ 为一个（伪）黎曼流形。若微分同胚 $f:M\to M$ 在相差一个标度因子的意义下保持度量不变，则称它为共形变换(conformal transformation)，即

$$f^{\ast }{g}_{f(p)}={\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_p\sigma \in \mathcal{F}(M)\text{\hspace{1em}(7.97a)}$$

也就是说，对 $X,Y\in T_{p}M$ 有 $g_{f(p)}(f_X,f_Y)={\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_p(X,Y)$。

写成分量形式，条件 (7.97a) 即为

$$\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^{\nu }}{g}_{\alpha \beta }(f(p))={\mathrm{e}}^{2\sigma (p)}{g}_{\mu \nu }(p).\text{\hspace{1em}(7.97b)}$$

$M$ 上全体共形变换构成一个群，称为共形群(conformal group)，记作 $\mathrm{Conf}(M)$。下面定义两个向量 $X=X^{\mu }{\partial }_{\mu }$、$Y=Y^{\mu }{\partial }_{\mu }\in T_{p}M$ 之间的夹角 $\theta$：

$$\cos \theta =\frac{g_p(X,Y)}{\sqrt{g_p(X,X)g_p(Y,Y)}}=\frac{g_{\mu \nu }{X}^{\mu }{Y}^{\nu }}{\sqrt{g_{\zeta \eta }{X}^{\zeta }{X}^{\eta }{g}_{\kappa \lambda }{Y}^{\kappa }{Y}^{\lambda }}}.\text{\hspace{1em}(7.98)}$$

若 $f$ 是共形变换，则 $f_{\ast }X$ 与 $f_{\ast }Y$ 之间的夹角 ${\theta }^{\prime }$ 由下式给出

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_{\mu \nu }{X}^{\mu }{Y}^{\nu }}{\sqrt{{\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_{\zeta \eta }{X}^{\zeta }{X}^{\eta }\cdot {\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_{\kappa \lambda }{Y}^{\kappa }{Y}^{\lambda }}}=\cos \theta$$

因此 $f$ 保持夹角不变。换言之，$f$ 只改变尺度，而不改变形状。

与共形变换相关的一个概念是外尔重标度。设 $g$ 与 $\bar{g}$ 是流形 $M$ 上的两个度量。若 $\bar{g}$ 与 $g$ 共形相关，即

$${\bar{g}}_p={\mathrm{e}}^{2\sigma (p)}{g}_p.\text{\hspace{1em}(7.99)}$$

显然，这是 $M$ 上全体度量之间的一个等价关系，其等价类称为共形结构(conformal structure)。变换 $g\to {\mathrm{e}}^{2\sigma }g$ 称为外尔重标度(Weyl rescaling)。$M$ 上全体外尔重标度构成一个群，记作 $\mathrm{Weyl}(M)$。

例 7.8

设 $w=f(z)$ 是定义在复平面 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数。[若把 $C^{\infty }$ 函数看作 $z=x+\mathrm{i}y$ 与 $\bar{z}=x-\mathrm{i}y$ 的函数，则当 ${\partial }_{\bar{z}}f(z,\bar{z})=0$ 时它是全纯的。] 我们把相应变量的实部与虚部分别记作 $z=x+\mathrm{i}y$ 与 $w=u+\mathrm{i}v$。映射 $f:(x,y)\mapsto (u,v)$ 是共形的，因为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{u}^2+\mathrm{d}{v}^2& ={\left(\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y\right)}^2\\ & =\left[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2\right](\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2)\end{array}\text{\hspace{1em}(7.100)}$$

其中用到了柯西-黎曼关系

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

练习 7.15

设 $f:M\to M$ 是洛伦兹流形 $(M,g)$ 上的共形变换。证明 $f_{\ast }:T_{p}M\to T_{f(p)}M$ 保持局部的光锥结构，即

$$f_{\ast }:\{\begin{array}{ccc}\text{类时向量}& \mapsto & \text{类时向量}\\ \text{零向量}& \mapsto & \text{零向量}\\ \text{类空向量}& \mapsto & \text{类空向量。}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.101)}$$

设 $\bar{g}$ 是 $M$ 上的一个度量，它与 $g$ 共形相关，即 $\bar{g}={\mathrm{e}}^{2\sigma (p)}g$。我们来计算 $\bar{g}$ 的黎曼张量。我们当然可以把 $\bar{g}$ 直接代入定义式式 (7.42)。不过，我们采用 Nomizu (1981) 给出的优雅的无坐标推导。设 $K$ 为关于 $\bar{g}$ 的协变导数 $\bar{\nabla }$ 与关于 $g$ 的协变导数 $\nabla$ 之差，

$$K(X,Y)\equiv {\bar{\nabla }}_{X}Y-{\nabla }_{X}Y.\text{\hspace{1em}(7.102)}$$

命题 7.1

设 $U$ 是与一次形式 $\mathrm{d}\sigma$ 相对应的向量场，即 $Z[\sigma ]=⟨\mathrm{d}\sigma ,Z⟩=g(U,Z)$。则

$$K(X,Y)=X[\sigma ]Y+Y[\sigma ]X-g(X,Y)U.\text{\hspace{1em}(7.103)}$$

证明

由无挠条件可得 $K(X,Y)=K(Y,X)$。又因 ${\bar{\nabla }}_X\bar{g}={\nabla }_{X}g=0$，故有

$$X[\bar{g}(Y,Z)]={\bar{\nabla }}_X[\bar{g}(Y,Z)]=\bar{g}({\bar{\nabla }}_X,Z)+\bar{g}(Y,{\bar{\nabla }}_{X}Z)$$

同时也有

$$\begin{array}{rl}X[\bar{g}(Y,Z)]& ={\nabla }_X[{\mathrm{e}}^{2\sigma }g(Y,Z)]\\ & =2X[\sigma ]{\mathrm{e}}^{2\sigma }g(Y,Z)+{\mathrm{e}}^{2\sigma }[g({\nabla }_X,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)].\end{array}$$

将这两个表达式相减，得到

$$g(K(X,Y),Z)+g(Y,K(X,Z))=2X[\sigma ]g(Y,Z).\text{\hspace{1em}(7.104a)}$$

对 $(X,Y,Z)$ 作轮换可得

$$\begin{array}{rl}& g(K(Y,X),Z)+g(X,K(Y,Z))=2Y[\sigma ]g(X,Z)(7.104b)\\ & g(K(Z,X),Y)+g(X,K(Z,Y))=2Z[\sigma ]g(X,Y).(7.104c)\end{array}$$

将 (7.104a) + (7.104b) − (7.104c) 组合起来，得到

$$g(K(X,Y),Z)=X[\sigma ]g(Y,Z)+Y[\sigma ]g(X,Z)-Z[\sigma ]g(X,Y).\text{\hspace{1em}(7.105)}$$

最后一项可改写为

$$Z[\sigma ]g(X,Y)=g(U,Z)g(X,Y)=g(g(Y,X)U,Z).$$

将其代入(7.105)，便得

$$g(K(X,Y)-X[\sigma ]Y-Y[\sigma ]X+g(X,Y)U,Z)=0.$$

由于这对任意 $Z$ 都成立，故有(7.103)。

$K$ 的分量表达式为

$$\begin{array}{rl}K\left(e_{\mu },e_v\right)& ={\bar{\nabla }}_{\mu }{e}_v-{\nabla }_{\mu }{e}_v=\left({\bar{\Gamma }}_{\mu v}^{\lambda }-{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }\right)e_{\lambda }\\ & =e_{\mu }[\sigma ]e_v+e_v[\sigma ]e_{\mu }-g\left(e_{\mu },e_v\right)g^{\kappa \lambda }{\partial }_{\kappa }\sigma e_{\lambda }\end{array}$$

由此容易看出

$${\bar{\Gamma }}_{\mu v}^{\lambda }={\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }+{\delta }_v^{\lambda }{\partial }_{\mu }\sigma +{\delta }_{\mu }^{\lambda }{\partial }_v\sigma -g_{\mu v}{g}^{\kappa \lambda }{\partial }_{\kappa }\sigma .\text{\hspace{1em}(7.106)}$$

为求黎曼曲率张量，我们从其定义出发，

$$\begin{array}{rl}& \bar{R}(X,Y)Z={\bar{\nabla }}_X{\bar{\nabla }}_{Y}Z-{\bar{\nabla }}_Y{\bar{\nabla }}_{X}Z-{\bar{\nabla }}_{[X,Y]}Z\\ & ={\bar{\nabla }}_X[{\nabla }_{Y}Z+K(Y,Z)]-{\bar{\nabla }}_Y[{\nabla }_{X}Z+K(X,Z)]\\ & -\left\{{\nabla }_{[X,Y]}Z+K([X,Y],Z)\right\}\\ & ={\nabla }_X\left\{{\nabla }_{Y}Z+K(Y,Z)\right\}+K(X,{\nabla }_{Y}Z+K(Y,Z))\\ & -{\nabla }_Y\left\{{\nabla }_{X}Z+K(X,Z)\right\}-K(Y,{\nabla }_{X}Z+K(X,Z))\\ & -\left\{{\nabla }_{[X,Y]}Z+K([X,Y],Z)\right\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.107)}$$

经过一番直接但繁琐的计算，我们得到

$$\begin{array}{rl}& \bar{R}(X,Y)Z=R(X,Y)Z+⟨{\nabla }_X\mathrm{d}\sigma ,Z⟩Y-⟨{\nabla }_Y\mathrm{d}\sigma ,Z⟩X\\ & -g(Y,Z){\nabla }_{X}U+Y[\sigma ]Z[\sigma ]X\\ & -g(Y,Z)U[\sigma ]X+X[\sigma ]g(Y,Z)U\\ & +g(X,Z){\nabla }_{Y}U-X[\sigma ]Z[\sigma ]Y\\ & +g(X,Z)U[\sigma ]Y-Y[\sigma ]g(X,Z)U.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.108)}$$

我们定义一个 $(1,1)$ 型张量场 $B$，使其满足

$$BX\equiv -X[\sigma ]U+{\nabla }_{X}U+\frac{1}{2}U[\sigma ]X.\text{\hspace{1em}(7.109)}$$

由于 $g({\nabla }_{Y}U,Z)=⟨{\nabla }_Y\mathrm{d}\sigma ,Z⟩$（练习 7.8(c)），(7.108) 化为

$$\begin{array}{rl}& \bar{R}(X,Y)Z=R(X,Y)Z-[g(Y,Z)BX-g(BX,Z)Y\\ & +g(BY,Z)X-g(X,Z)BY].\end{array}\text{\hspace{1em}(7.110)}$$

写成分量形式即为

$${\bar{R}}_{\lambda \mu v}^{\kappa }=R_{\lambda \mu v}^{\kappa }-g_{v\lambda }{B}_{\mu }^{\kappa }+g_{\xi \lambda }{B}_{\mu }^{\xi }{\delta }_v^{\kappa }-g_{\xi \lambda }{B}_v^{\xi }{\delta }_{\mu }^{\kappa }+g_{\mu \lambda }{B}_v^{\kappa }\text{\hspace{1em}(7.111)}$$

其中张量 $B$ 的分量为

$$\begin{array}{rl}{B}_{\mu }^{\kappa }& =-{\partial }_{\mu }\sigma U^{\kappa }+({\nabla }_{\mu }U{)}^{\kappa }+\frac{1}{2}U[\sigma ]{\delta }_{\mu }^{\kappa }\\ & =-{\partial }_{\mu }\sigma g^{\kappa \lambda }{\partial }_{\lambda }\sigma +g^{\kappa \lambda }\left({\partial }_{\mu }{\partial }_{\lambda }\sigma -{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\xi }{\partial }_{\xi }\sigma \right)+\frac{1}{2}{g}^{\lambda \xi }{\partial }_{\lambda }\sigma {\partial }_{\xi }\sigma {\delta }_{\mu }^{\kappa }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.112)}$$

注意 $B_{\mu \nu }\equiv g_{\nu \lambda }{B}_{\mu }^{\lambda }=B_{\nu \mu }$

对(7.111)中的指标进行缩并，得到

$${\overline{Ric}}_{\mu \nu }=Ri{c}_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }{B}_{\lambda }^{\lambda }-(m-2)B_{\nu \mu }\text{\hspace{1em}(7.113)}$$

$${\mathrm{e}}^{2\sigma }\bar{\mathcal{R}}=\mathcal{R}-2(m-1)B_{\lambda }^{\lambda }\text{\hspace{1em}(7.114a)}$$

其中 $m=\dim M$。式 (7.114a) 也可写成

$${\bar{g}}_{\mu \nu }\bar{\mathcal{R}}=[\mathcal{R}-2(m-1)B_{\lambda }^{\lambda }]g_{\mu \nu }.\text{\hspace{1em}(7.114b)}$$

若在 ${\bar{R}}_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }$ 中消去 $g_{\mu \nu }{B}_{\lambda }^{\lambda }$ 与 $B_{\mu \nu }$，改用 $\overline{Ric}$ 与 $\bar{\mathcal{R}}$ 表示，并把带横线与不带横线的项分开，我们便得到一个与 $\sigma$ 无关的组合，

$$\begin{array}{rl}& C_{\kappa \lambda \mu \nu }=R_{\kappa \lambda \mu \nu }+\frac{1}{m-2}\left(Ri{c}_{\kappa \mu }{g}_{\lambda \nu }-Ri{c}_{\lambda \mu }{g}_{\kappa \nu }+Ri{c}_{\lambda \nu }{g}_{\kappa \mu }-Ri{c}_{\kappa \nu }{g}_{\lambda \mu }\right)\\ & +\frac{\mathcal{R}}{(m-2)(m-1)}\left(g_{\kappa \mu }{g}_{\lambda \nu }-g_{\kappa \nu }{g}_{\lambda \mu }\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7.115)}$$

其中 $m\ge 4$（$m=3$ 的情形见练习 7.2）。张量 $C$ 称为外尔张量(Weyl tensor)。读者应验证 $C_{\kappa \lambda \mu \nu }={\bar{C}}_{\kappa \lambda \mu \nu }$。

若（伪）黎曼流形 $(M,g)$ 的每一点 $p$ 都存在一个包含 $p$ 的坐标卡 $(U,\phi )$，使得在该坐标卡中 $g_{\mu \nu }={\mathrm{e}}^{2\sigma }{\delta }_{\mu \nu }$，则称 $(M,g)$ 为共形平坦(conformally flat)的。由于平坦度量的外尔张量为零，共形平坦度量的外尔张量也为零。若 $\dim M\ge 4$，则 $C=0$ 是共形平坦的充要条件（外尔–舒滕）。若 $\dim M=3$，外尔张量恒为零，见练习 7.2。若 $\dim M=2$，则 $M$ 总是共形平坦的，见下一个例子。

例 7.9

任意二维黎曼流形 $(M,g)$ 都是共形平坦的。设 $(x,y)$ 为原来的局部坐标，在该坐标下度量取形式

$$\mathrm{d}{s}^2=g_{xx}\mathrm{d}{x}^2+2g_{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+g_{yy}\mathrm{d}{y}^2.\text{\hspace{1em}(7.116)}$$

令 $g\equiv g_{xx}{g}_{yy}-g_{xy}^2$，并把 (7.116) 写成

$$\mathrm{d}{s}^2=\left(\sqrt{g_{xx}}\mathrm{d}x+\frac{g_{xy}+\mathrm{i}\sqrt{g}}{\sqrt{g_{xx}}}\mathrm{d}y\right)\left(\sqrt{g_{yy}}\mathrm{d}x+\frac{g_{xy}-\mathrm{i}\sqrt{g}}{\sqrt{g_{xx}}}\mathrm{d}y\right).$$

由微分方程理论，存在积分因子 $\lambda (x,y)={\lambda }_1(x,y)+\mathrm{i}{\lambda }_2(x,y)$，使得

$$\lambda \left(\sqrt{g_{xx}}dx+\frac{g_{xy}+i\sqrt{g}}{\sqrt{g_{xx}}}dy\right)=du+idv\text{\hspace{1em}(7.117a)}$$

$$\bar{\lambda }\left(\sqrt{g_{yy}}dx+\frac{g_{xy}-i\sqrt{g}}{\sqrt{g_{xx}}}dy\right)=du-idv.\text{\hspace{1em}(7.117b)}$$

于是 ${\mathrm{ds}}^2=({\mathrm{du}}^2+{\mathrm{dv}}^2)/|\lambda {|}^2$；再令 $|\lambda {|}^{-2}={\mathrm{e}}^{2\sigma }$，便得到所需的坐标系。坐标 $(u,v)$ 称为等温坐标(isothermal coordinates)。[注：若把曲线 $u=a$ 视为等温曲线，则 $v=a$ 对应于热流线。]

例如，取 ${\mathrm{ds}}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$ 为 $S^2$ 的标准度量。注意到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\log \left|\tan \frac{\theta }{2}\right|=\frac{1}{\sin \theta }$$

可知由 $u=\log |\tan \frac{1}{2}\theta |$ 与 $v=\varphi$ 定义的 $f:(\theta ,\varphi )\mapsto (u,v)$ 给出共形平坦的度量。事实上，

$$\mathrm{d}{s}^2={\sin }^2\theta \left(\frac{\mathrm{d}{\theta }^2}{{\sin }^2\theta }+\mathrm{d}{\varphi }^2\right)={\sin }^2\theta (\mathrm{d}{u}^2+\mathrm{d}{v}^2).$$

若 $(M,g)$ 是洛伦兹流形，则存在积分因子 $\lambda (x,y)$ 与 $\mu (x,y)$，使得

$$\lambda \left(\sqrt{g_{xx}}dx+\frac{g_{xy}+\sqrt{-g}}{\sqrt{g_{xx}}}dy\right)=du+dv\text{\hspace{1em}(7.118a)}$$

$$\mu \left(\sqrt{g_{xx}}\mathrm{d}x+\frac{g_{xy}-\sqrt{-g}}{\sqrt{g_{xx}}}\mathrm{d}y\right)=\mathrm{d}u-\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(7.118b)}$$

在坐标 $(u,v)$ 下，度量取形式 ${\mathrm{ds}}^2={\lambda }^{-1}{\mu }^{-1}({\mathrm{du}}^2-{\mathrm{dv}}^2)$。乘积 $\lambda \mu$ 或正定或负定，于是可令 $1/|\lambda \mu |={\mathrm{e}}^{2\sigma }$，得到形式

$$\mathrm{d}{s}^2=\pm {\mathrm{e}}^{2\sigma }(\mathrm{d}{u}^2-\mathrm{d}{v}^2).\text{\hspace{1em}(7.119)}$$

练习 7.16

设 $(M,g)$ 为二维洛伦兹流形，其度量为 $g=-\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t+t^2\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x$（即米尔恩宇宙）。利用变换 $|t|\mapsto {\mathfrak{e}}^{\eta }$ 证明 $g$ 是共形平坦的。事实上，再作 $(\eta ,x)\mapsto (u={\mathrm{e}}^{\eta }\sinh x,v={\mathrm{e}}^{\eta }\cosh x)$ 还可将其进一步化简。所得的度量是什么？

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：90c9ed9ff5f5b68aad6ce1a44070c9b5fa73d796b5204088efd687809d108b63