7.7 基灵向量场与共形基灵向量场

7.7.1 基灵向量场

设 $(M,g)$ 为黎曼流形，$X\in \mathfrak{X}(M)$。若一个位移 $\epsilon X$（其中 $\epsilon$ 为无穷小量）生成一个等距变换，则称向量场 $X$ 为基灵向量场。在此位移下，点 $p\in M$ 的坐标 $x^{\mu }$ 变为 $x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(p)$，见(5.42)。若 $f:x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }$ 是等距变换，则它满足 (7.96b)，

$$\frac{\partial \left(x^{\kappa }+\epsilon X^{\kappa }\right)}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \left(x^{\lambda }+\epsilon X^{\lambda }\right)}{\partial x^{\nu }}{g}_{\kappa \lambda }(x+\epsilon X)=g_{\mu \nu }(x).$$

经过简单计算可知，$g_{\mu \nu }$ 与 $X^{\mu }$ 满足基灵方程

$$X^{\xi }{\partial }_{\xi }{g}_{\mu v}+{\partial }_{\mu }{X}^{\kappa }{g}_{\kappa v}+{\partial }_v{X}^{\lambda }{g}_{\mu \lambda }=0.\text{\hspace{1em}(7.120a)}$$

由李导数的定义，这可以写成紧凑的形式

$${\left({\mathcal{L}}_{X}g\right)}_{\mu v}=0.\text{\hspace{1em}(7.120b)}$$

设 ${\varphi }_t:M\to M$ 是生成基灵向量场 $X$ 的单参数变换群。于是式 (7.120b) 表明，沿 ${\varphi }_t$ 移动时局部几何不发生改变。在这个意义上，基灵向量场表示流形的对称性方向。

若一组基灵向量场中有一个可以表示为其余向量场的常系数线性相关(dependent)组合，则称这组基灵向量场线性相关。因此，基灵向量场的个数可能多于流形的维数。[独立对称性的个数与 $\dim M$ 没有直接关系；但最大个数与之有关，见例 7.10。]

练习 7.17

设 $\nabla$ 为列维-奇维塔联络。证明基灵方程可写成

$$({\nabla }_{\mu }X{)}_v+({\nabla }_{v}X{)}_{\mu }={\partial }_{\mu }{X}_v+{\partial }_v{X}_{\mu }-2{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }{X}_{\lambda }=0.\text{\hspace{1em}(7.121)}$$

练习 7.18

求 $({\mathbb{R}}^2,\delta )$ 的三个基灵向量场。证明其中两个对应于平移，而第三个对应于旋转；参见下一个例子。

例 7.10

我们来求出闵可夫斯基仿射时空 $({\mathbb{R}}^4,\eta )$ 的基灵向量场，该时空的所有列维-奇维塔联络系数都为零。于是基灵方程化为

$${\partial }_{\mu }{X}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }=0.\text{\hspace{1em}(7.122)}$$

容易看出，$X_{\mu }$ 至多是 $x$ 的一阶量。常值解

$$X_{(i)}^{\mu }={\delta }_i^{\mu }(0\le i\le 3)\text{\hspace{1em}(7.123a)}$$

对应于时空平移。其次，设 $X_{\mu }=a_{\mu \nu }{x}^{\mu }$，其中 $a_{\mu \nu }$ 为常数。由式 (7.122)可知，$a_{\mu \nu }$ 关于 $\mu \leftrightarrow \nu$ 是反对称的。由于 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$，这种形式的独立解共有六个，其中三个

$$X_{(j)0}=0X_{(j)m}={\epsilon }_{jmn}{x}^n(1\le j,m,n\le 3)\text{\hspace{1em}(7.123b)}$$

对应于绕 $x^j$ 轴的空间旋转，而其余的

$$X_{(k)0}=x^k{X}_{(k)m}=-{\delta }_{km}{x}^0(1\le k,m\le 3)\text{\hspace{1em}(7.123c)}$$

则对应于沿 $x^k$ 轴的洛伦兹推动。

在 $m$ 维闵可夫斯基仿射时空（$m\ge 2$）中，共有 $m(m+1)/2$ 个基灵向量场，其中 $m$ 个生成平移（$m-1$ 个）、推动以及 $m-1$(m - 2) / 2 个空间旋转。凡是容许 $m(m+1)/2$ 个基灵向量场的空间（或时空），都称为最大对称空间(maximally symmetric space)。

设 $X$ 与 $Y$ 是两个基灵向量场。容易验证：

(i) 线性组合 $aX+bY$ $(a,b\in \mathbb{R})$ 仍是基灵向量场；(ii) 李括号 $[X,Y]$ 仍是基灵向量场。

(i) 由协变导数的线性性即可看出。为证明 (ii)，我们利用(5.58)。由于 ${\mathcal{L}}_{X}g={\mathcal{L}}_{Y}g=0$，故有 ${\mathcal{L}}_{[X,Y]}g={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}g-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}g=0$。因此，所有基灵向量场构成流形 $M$ 上对称操作的一个李代数；参见下一个例子。

例 7.11

设 $g=d\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi$ 为 $S^2$ 的标准度量。其基灵向量式 (7.121)为：

$${\partial }_{\theta }{X}_{\theta }+{\partial }_{\theta }{X}_{\theta }=0\text{\hspace{1em}(7.124a)}$$

$${\partial }_{\varphi }{X}_{\varphi }+{\partial }_{\varphi }{X}_{\varphi }+2\sin \theta \cos \theta X_{\theta }=0\text{\hspace{1em}(7.124b)}$$

$${\partial }_{\theta }{X}_{\varphi }+{\partial }_{\varphi }{X}_{\theta }-2\cot \theta X_{\varphi }=0.\text{\hspace{1em}(7.124c)}$$

由式 (7.124a) 可知，$X_{\theta }$ 与 $\theta$ 无关：$X_{\theta }(\theta ,\varphi )=f(\varphi )$。将其代入式 (7.124b)，得

$$X_{\varphi }=-F(\varphi )\sin \theta \cos \theta +g(\theta )\text{\hspace{1em}(7.125)}$$

其中 $F(\varphi )={\int }^{\varphi }f(\varphi )\mathrm{d}\varphi$。将(7.125)代入式 (7.124c)，得

$$-F(\varphi )({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )+\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\theta }+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\varphi }+2\cot \theta (F(\varphi )\sin \theta \cos \theta -g(\theta ))=0.$$

该方程可以分离为

$$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\theta }-2\cot \theta g(\theta )=-\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\varphi }-F(\varphi ).$$

由于两边必须各自为常数 $(\equiv C)$，故有

$$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\theta }-2\cot \theta g(\theta )=C\text{\hspace{1em}(7.126a)}$$

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\varphi }+F(\varphi )=-C.\text{\hspace{1em}(7.126b)}$$

将式 (7.126a) 两边乘以 $\exp (-\int \mathrm{d}\theta 2\cot \theta )={\sin }^{-2}\theta$，使左端成为全导数，即可解出该方程：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\frac{g(\theta )}{{\sin }^2\theta }\right)=\frac{C}{{\sin }^2\theta }.$$

容易求得其解为

$$g(\theta )=\left(C_1-C\cot \theta \right){\sin }^2\theta .$$

再对式 (7.126b) 求导，我们发现 $f$ 是调和的，

$$X_{\theta }(\varphi )=f(\varphi )=A\sin \varphi +B\cos \varphi$$

$$F(\varphi )=-A\cos \varphi +B\sin \varphi -C.$$

将这些结果代入(7.125)，得

$$\begin{array}{rl}{X}_{\varphi }(\theta ,\varphi )& =-(-A\cos \varphi +B\sin \varphi -C)\sin \theta \cos \theta +(C_1-C\cot \theta ){\sin }^2\theta \\ & =(A\cos \varphi -B\sin \varphi )\sin \theta \cos \theta +C_1{\sin }^2\theta .\end{array}$$

一般的基灵向量由下式给出：

$$\begin{array}{rl}& X=X^{\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }+X^{\varphi }\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ & =A\left(\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cos \varphi \cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\\ & +B\left(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\sin \varphi \cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)+C_1\frac{\partial }{\partial \varphi }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.127)}$$

基向量

$$L_x=-\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\text{\hspace{1em}(7.128a)}$$

$$L_y=\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\text{\hspace{1em}(7.128b)}$$

$$L_z=\frac{\partial }{\partial \varphi }\text{\hspace{1em}(7.128c)}$$

分别生成绕 $x$、$y$ 和 $z$ 轴的旋转。

这些向量生成李代数 $\mathfrak{so}(3)$。这反映了如下事实：$S^2$ 是齐性空间 $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$，且 $S^2$ 上的度量保持这一 SO(3) 对称性（见例 5.18(a)）。一般地，带有通常度量的 $S^n=\mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ 有 $\dim \mathrm{SO}(n+1)=n(n+1)/2$ 个基灵向量，它们构成李代数 $\mathfrak{so}(n+1)$。带有通常度量的球面 $S^n$ 是最大对称空间。我们可以把 $S^n$ 压扁，使它具有较少的对称性。例如，若把这里考虑的 $S^2$ 沿 $z$ 轴压扁，则它只具有绕 $z$ 轴的旋转对称性，并且只存在一个基灵向量场 $L_z=\partial /\partial \varphi$。

7.7.2 共形基灵向量场

设 $(M,g)$ 为黎曼流形，并设 $X\in \mathfrak{X}(M)$。若由 $\epsilon X$ 给出的无穷小位移生成一个共形变换，则称向量场 $X$ 为共形基灵向量场(conformal Killing vector field)（CKV）。在位移 $x^{\mu }\to x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }$ 下，这一条件可写为

$$\frac{\partial (x^{\kappa }+\epsilon X^{\kappa })}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial (x^{\lambda }+\epsilon X^{\lambda })}{\partial x^{\nu }}{g}_{\kappa \lambda }(x+\epsilon X)={\mathrm{e}}^{2\sigma }{g}_{\mu \nu }(x).$$

注意到 $\sigma \propto \epsilon$，我们令 $\sigma =\epsilon \psi /2$，其中 $\psi \in \mathcal{F}(M)$。于是我们发现，$g_{\mu \nu }$ 与 $X^{\mu }$ 满足

$${\mathcal{L}}_X{g}_{\mu v}=X^{\xi }{\partial }_{\xi }{g}_{\mu v}+{\partial }_{\mu }{X}^{\kappa }{g}_{\kappa v}+{\partial }_v{X}^{\lambda }{g}_{\mu \lambda }=\psi g_{\mu v}.\text{\hspace{1em}(7.129a)}$$

由式 (7.129a) 容易解出 $\psi$，得到

$$\psi =\frac{X^{\xi }{g}^{\mu v}{\partial }_{\xi }{g}_{\mu v}+2{\partial }_{\mu }{X}^{\mu }}{m}\text{\hspace{1em}(7.129b)}$$

其中 $m=\dim M$。我们验证：

(i) 共形基灵向量场的线性组合仍是共形基灵向量场：$({\mathcal{L}}_{aX+bY}g{)}_{\mu \nu }=(a\phi +b\psi )g_{\mu \nu }$，其中 $a,b\in \mathbb{R},{\mathcal{L}}_X{g}_{\mu \nu }=\phi g_{\mu \nu }$，${\mathcal{L}}_Y{g}_{\mu \nu }=\psi g_{\mu \nu }$；
(ii) 共形基灵向量场的李括号 $[X,Y]$ 仍是共形基灵向量场：${\mathcal{L}}_{[X,Y]}{g}_{\mu \nu }=(X[\psi ]-Y[\phi ])g_{\mu \nu }$。

例 7.12

设 $x^{\mu }$ 为 $({\mathbb{R}}^m,\delta )$ 的坐标。向量

$$D\equiv x^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\text{\hspace{1em}(7.130)}$$

（膨胀向量）是一个共形基灵向量场。事实上，

$${\mathcal{L}}_D{\delta }_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{x}^{\kappa }{\delta }_{\kappa \nu }+{\partial }_{\nu }{x}^{\lambda }{\delta }_{\mu \lambda }=2{\delta }_{\mu \nu }.$$

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