5.3 流与李导数

设 $X$ 是 $M$ 上的向量场。$X$ 的积分曲线(integral curve) $x(t)$ 是 $M$ 中的一条曲线，它在 $x(t)$ 处的切向量为 $X{|}_x$。给定图卡 $(U,\phi )$，这意味着

$$\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}=X^{\mu }(x(t))\text{\hspace{1em}(5.39)}$$

其中 $x^{\mu }(t)$ 是 $\phi (x(t))$ 的第 $\mu$ 个分量，且 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$。注意这里记号的不严谨之处：$x$ 既用来表示 $M$ 中的点，又用来表示该点的坐标。[为方便起见，以下假定点 $x(0)$ 包含在 $U$ 中。]换言之，求向量场 $X$ 的积分曲线，等价于求解自治的常微分方程组（ODE）(5.39)。初值条件 $x_0^{\mu }=x^{\mu }(0)$ 对应于积分曲线在 $t=0$ 处的坐标。常微分方程的存在唯一性定理保证，至少在局部，(5.39) 在初值 $x_0^{\mu }$ 下有唯一解。积分曲线也可能只在 $\mathbb{R}$ 的某个子集上有定义，此时必须注意使参数 $t$ 不超出给定的区间。以下我们假定 $t$ 已作最大延拓。已知若 $M$ 是紧流形，则积分曲线对一切 $t\in \mathbb{R}$ 都存在。

设 $\sigma (t,x_0)$ 是 $X$ 的积分曲线，它在 $t=0$ 时经过点 $x_0$，其坐标记为 ${\sigma }^{\mu }(t,x_0)$。此时式 (5.39)变为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sigma }^{\mu }(t,x_0)=X^{\mu }(\sigma (t,x_0))\text{\hspace{1em}(5.40a)}$$

以及初值条件

$${\sigma }^{\mu }(0,x_0)=x_0^{\mu }.\text{\hspace{1em}(5.40b)}$$

映射 $\sigma :\mathbb{R}\times M\to M$ 称为由 $X\in \mathcal{X}(M)$ 生成的流(flow generated by)。流满足如下规则

$$\sigma \left(t,{\sigma }^{\mu }\left(s,x_0\right)\right)=\sigma \left(t+s,x_0\right)\text{\hspace{1em}(5.41)}$$

对任意 $s,t\in \mathbb{R}$，只要 (5.41) 的两边都有意义即可。这一点可由常微分方程解的唯一性看出。事实上，我们注意到

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sigma }^{\mu }(t,{\sigma }^{\mu }(s,x_0))=X^{\mu }(\sigma (t,{\sigma }^{\mu }(s,x_0)))\\ & \sigma (0,\sigma (s,x_0))=\sigma (s,x_0)\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sigma }^{\mu }(t+s,x_0)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(t+s)}{\sigma }^{\mu }(t+s,x_0)=X^{\mu }(\sigma (t+s,x_0))\\ & \sigma (0+s,x_0)=\sigma (s,x_0).\end{array}$$

因此，(5.41) 的两边满足同一个常微分方程和同一个初值条件。由解的唯一性，它们应当相同。于是我们得到如下定理。

定理 5.1

对任意点 $x\in M$，都存在可微映射 $\sigma :\mathbb{R}\times M\to M$，使得

(i) $\sigma (0,x)=x$；
(ii) $t\mapsto \sigma (t,x)$ 是 (5.40a) 与 (5.40b) 的解；并且

$$(iii)\sigma (t,{\sigma }^{\mu }(s,x))=\sigma (t+s,x).$$

[注：我们把初始点记作 $x$ 而不是 $x_0$，以强调 $\sigma$ 是一个映射 $\mathbb{R}\times M\to M$。]

我们可以把流想象成一种（定常的）水流。若在 $t=0$ 时刻于点 $x$ 处观察到一个质点，那么在之后的时刻 $t$ 它将被发现位于 $\sigma (t,x)$ 处。

例 5.9

设 $M={\mathbb{R}}^2$，并设 $X((x,y))=-y\partial /\partial x+x\partial /\partial y$ 是 $M$ 上的向量场。容易验证

$$\sigma (t,(x,y))=(x\cos t-y\sin t,x\sin t+y\cos t)$$

是由 $X$ 生成的流。经过 $(x,y)$ 的流是一条以原点为圆心的圆周。显然，当 $t=2n\pi$（$n\in \mathbb{Z}$）时，$\sigma (t,(x,y))=(x,y)$。若 $(x,y)=(0,0)$，则流停留在 $(0,0)$ 处。

练习 5.7

习题 5.7. 设 $M={\mathbb{R}}^2$，并设 $X=y\partial /\partial x+x\partial /\partial y$ 是 $M$ 上的向量场。求由 $X$ 生成的流。

5.3.1 单参数变换群

对固定的 $t\in \mathbb{R}$，流 $\sigma (t,x)$ 是从 $M$ 到 $M$ 的微分同胚，记作 ${\sigma }_t:M\to M$。需要注意的是，按下列规则，${\sigma }_t$ 构成一个交换群。

(i) ${\sigma }_t({\sigma }_s(x))={\sigma }_{t+s}(x)$，即 ${\sigma }_t\circ {\sigma }_s={\sigma }_{t+s}$；
(ii) ${\sigma }_0=$ 恒等映射 $(=\mathrm{unit}\mathrm{element})$；以及
(iii) ${\sigma }_{-t}=({\sigma }_t{)}^{-1}$。

这个群称为单参数变换群(one-parameter group of transformations)。该群局部上看起来像加法群 $\mathbb{R}$，尽管它整体上未必同构于 $\mathbb{R}$。事实上，在例 5.9中，${\sigma }_{2\pi n+t}$ 与 ${\sigma }_t$ 是同一个映射，于是我们发现该单参数变换群同构于 SO(2)，即由形如 $2\times 2$ 的实矩阵所构成的乘法群，

$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

或者同构于 $\mathrm{U}(1)$，即模为 1 的复数 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ 所构成的乘法群。

在 ${\sigma }_{\epsilon }$ 的作用下，取无穷小量 $\epsilon$，由 (5.40a) 和 (5.40b) 可知，坐标为 $x^{\mu }$ 的点 $x$ 被映为

$${\sigma }_{\epsilon }^{\mu }(x)={\sigma }^{\mu }(\epsilon ,x)=x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(x).\text{\hspace{1em}(5.42)}$$

在此语境下，向量场 $X$ 称为变换 ${\sigma }_t$ 的无穷小生成元(infinitesimal generator)。

给定一个向量场 $X$，与之相应的流 $\sigma$ 通常称为 $X$ 的指数化(exponentiation)，并记作

$${\sigma }^{\mu }(t,x)=\exp (tX)x^{\mu }.\text{\hspace{1em}(5.43)}$$

“指数化”这一名称的合理性，我们下面就会看到。取一个参数 $t$，考察沿流 $\sigma$ 与初始点 $x=\sigma (0,x)$ 相距参数距离 $t$ 的那个点的坐标。对应于 $\sigma (t,x)$ 的坐标是

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^{\mu }(t,x)& ={x^{\mu }+t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}{\sigma }^{\mu }(s,x)|}_{s=0}+\frac{t^2}{2!}{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\right)}^2{\sigma }^{\mu }(s,x){|}_{s=0}+\dots \\ & =\left[1+t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}+\frac{t^2}{2!}{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\right)}^2+\dots \right]{\sigma }^{\mu }(s,x){|}_{s=0}\\ & \equiv \exp \left(t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\right){\sigma }^{\mu }(s,x){|}_{s=0}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.44)}$$

最后一个表达式也可写成 ${\sigma }^{\mu }(t,x)=\exp (tX)x^{\mu }$，如(5.43)所示。流 $\sigma$ 满足如下指数性质。

(i) $\sigma (0,x)=x=\exp (0X)x$ (5.45a)

(ii) $\frac{\mathrm{d}\sigma (t,x)}{\mathrm{d}t}=X\exp (tX)x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\exp (tX)x]$ (5.45b)

(iii) $\sigma (t,\sigma (s,x))=\sigma (t,\exp (sX)x)=\exp (tX)\exp (sX)x$

$$=\exp \{(t+s)X\}x=\sigma (t+s,x).\text{\hspace{1em}(5.45c)}$$

5.3.2 李导数

设 $\sigma (t,x)$ 与 $\tau (t,x)$ 分别是由向量场 $X$ 与 $Y$ 生成的两个流，

$$\frac{\mathrm{d}{\sigma }^{\mu }(s,x)}{\mathrm{d}s}=X^{\mu }(\sigma (s,x))\text{\hspace{1em}(5.46a)}$$

$$\frac{\mathrm{d}{\tau }^{\mu }(t,x)}{\mathrm{d}t}=Y^{\mu }(\tau (t,x)).\text{\hspace{1em}(5.46b)}$$

我们来计算向量场 $Y$ 沿 $\sigma (s,x)$ 的变化。为此，必须把点 $x$ 处的向量 $Y$ 与邻近点 $x^{\prime }={\sigma }_{\epsilon }(x)$ 处的向量作比较，如图 5.12所示。然而，我们不能简单地把 $Y$ 在两个点处的分量相减，因为这两个分量分别属于不同的切空间 $T_{p}M$ 与 $T_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}M$；不同点处向量之间的朴素差是没有定义的。为了定义一个有意义的导数，我们先用 $({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }:T_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}M\to T_{x}M$ 把 $Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}$ 映到 $T_{x}M$，然后再把两个向量 $({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}$ 与 $Y{|}_x$ 相减，而这两个向量都是 $T_{x}M$ 中的向量。向量场 $Y$ 沿 $X$ 的流 $\sigma$ 的李导数定义为

图 5.12. 为了比较向量 $Y{|}_x$ 与 $Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}$，必须用微分映射 $({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }$ 把后者拉回到 $x$。

$${\mathcal{L}}_{X}Y=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}-Y{|}_x].\text{\hspace{1em}(5.47)}$$

练习 5.8

证明 ${\mathcal{L}}_{X}Y$ 也可写成

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X}Y& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[Y{|}_x-({\sigma }_{\epsilon }{)}_{\ast }Y{|}_{{\sigma }_{-\epsilon }(x)}]\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}-({\sigma }_{\epsilon }{)}_{\ast }Y{|}_x].\end{array}$$

设 $(U,\phi )$ 是一张图卡，其坐标为 $x$，又设 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 与 $Y=Y^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 是定义在 $U$ 上的向量场。则 ${\sigma }_{\epsilon }(x)$ 的坐标为 $x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(x)$，并且

$$\begin{array}{rl}Y{|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}& =Y^{\mu }\left(x^v+\epsilon X^v(x)\right)e_{\mu }{|}_{x+\epsilon X}\\ & \simeq \left[Y^{\mu }(x)+\epsilon X^{\mu }(x){\partial }_v{Y}^{\mu }(x)\right]e_{\mu }{|}_{x+\epsilon X}\end{array}$$

其中 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 是坐标基，${\partial }_{\nu }\equiv \partial /\partial x^{\nu }$。若用 $({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }$ 把这个定义在 ${\sigma }_{\epsilon }(x)$ 处的向量映到 $x$，便得到

$$\begin{array}{rl}& [Y^{\mu }(x)+\epsilon X^{\lambda }(x){\partial }_{\lambda }{Y}^{\mu }(x)]{\partial }_{\mu }[x^{\nu }-\epsilon X^{\nu }(x)]e_{\nu }{|}_x\\ & =[Y^{\mu }(x)+\epsilon X^{\lambda }(x){\partial }_{\lambda }{Y}^{\mu }(x)][{\delta }_{\mu }^{\nu }-\epsilon {\partial }_{\mu }{X}^{\nu }(x)]e_{\nu }{|}_x\\ & =Y^{\mu }(x)e_{\mu }{|}_x+\epsilon \left[X^{\mu }(x){\partial }_{\mu }{Y}^{\nu }(x)-Y^{\mu }(x){\partial }_{\mu }{X}^{\nu }(x)\right]e_{\nu }{|}_x+O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(5.48)}$$

由(5.47)与(5.48)可知

$${\mathcal{L}}_{X}Y=\left(X^{\mu }{\partial }_{\mu }{Y}^{\nu }-Y^{\mu }{\partial }_{\mu }{X}^{\nu }\right)e_{\nu }.\text{\hspace{1em}(5.49a)}$$

练习 5.9

设 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 与 $Y=Y^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 是 $M$ 上的向量场。定义李括号(Lie bracket) $[X,Y]$ 为

$$[X,Y]f=X[Y[f]]-Y[X[f]]\text{\hspace{1em}(5.50)}$$

其中 $f\in \mathcal{F}(M)$。证明 $[X,Y]$ 是一个向量场，且由下式给出：

$$\left(X^{\mu }{\partial }_{\mu }{Y}^{\nu }-Y^{\mu }{\partial }_{\mu }{X}^{\nu }\right)e_{\nu }.$$

本练习表明，$Y$ 沿 $X$ 的李导数为

$${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y].\text{\hspace{1em}(5.49b)}$$

[注：注意 $XY$ 与 $YX$ 都不是向量场，因为它们是二阶导数。然而组合 $[X,Y]$ 是一阶导数，因而确实是一个向量场。]

练习 5.10

证明李括号满足

(a) 双线性

$$[X,c_1{Y}_1+c_2{Y}_2]=c_1[X,Y_1]+c_2[X,Y_2]$$

$$[c_1{X}_1+c_2{X}_2,Y]=c_1[X_1,Y]+c_2[X_2,Y]$$

其中 $c_1$ 与 $c_2$ 为任意常数，

(b) 反对称性

$$[X,Y]=-[YX]$$

(c) 雅可比恒等式

$$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0.$$

练习 5.11

(a) 设 $X,Y\in \mathcal{X}(M)$，$f\in \mathcal{F}(M)$。证明

$${\mathcal{L}}_{fX}Y=f[X,Y]-Y[f]X\text{\hspace{1em}(5.51a)}$$

$${\mathcal{L}}_X(fY)=f[X,Y]+X[f]Y.\text{\hspace{1em}(5.51b)}$$

(b) 设 $X,Y\in \mathcal{X}(M)$，$f:M\to N$。证明

$$f_{\ast }[X,Y]=\left[f_{\ast }X,f_{\ast }Y\right].\text{\hspace{1em}(5.52)}$$

从几何上看，李括号体现了两个流的不可交换性。这一点从下面的讨论中很容易看出。设 $\sigma (s,x)$ 与 $\tau (t,x)$ 分别是由向量场 $X$ 与 $Y$ 生成的两个流，如前所述，见图 5.13。若我们先沿流 $\sigma$ 移动一个小的参数距离 $\epsilon$，再沿 $\tau$ 移动 $\delta$，则我们将到达坐标为

图 5.13. 李括号 $[X,Y]$ 度量了平行四边形不闭合的程度。

$$\begin{array}{rl}& {\tau }^{\mu }(\delta ,\sigma (\epsilon ,x))\simeq {\tau }^{\mu }(\delta ,x^v+\epsilon X^v(x))\\ & \simeq x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(x)+\delta Y^{\mu }\left(x^v+\epsilon X^v(x)\right)\\ & \simeq x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(x)+\delta Y^{\mu }(x)+\epsilon \delta X^v(x){\partial }_v{Y}^v(x).\end{array}$$

然而，若我们先沿 $\tau$ 移动 $\delta$，再沿 $\sigma$ 移动 $\epsilon$，则我们将到达点

$$\begin{array}{rl}& {\sigma }^{\mu }(\epsilon ,\tau (\delta ,x))\simeq {\sigma }^{\mu }(\epsilon ,x^v+\delta Y^v(x))\\ & \simeq x^{\mu }+\delta Y^{\mu }(x)+\epsilon X^{\mu }\left(x^v+\delta Y^v(x)\right)\\ & \simeq x^{\mu }+\delta Y^{\mu }(x)+\epsilon X^{\mu }(x)+\epsilon \delta Y^v(x){\partial }_v{X}^{\mu }(x).\end{array}$$

这两个点的坐标之差与李括号成正比，

$${\tau }^{\mu }(\delta ,\sigma (\epsilon ,x))-{\sigma }^{\mu }(\epsilon ,\tau (\delta ,x))=\epsilon \delta [X,Y{]}^{\mu }.$$

$X$ 与 $Y$ 的李括号度量了图 5.13中平行四边形不闭合的程度。容易看出，${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]=0$ 当且仅当

$$\sigma (s,\tau (t,x))=\tau (t,\sigma (s,x)).\text{\hspace{1em}(5.53)}$$

我们也可以如下定义一形式 $\omega \in {\Omega }^1(M)$ 沿 $X\in \mathcal{X}(M)$ 的李导数：

$${\mathcal{L}}_X\omega \equiv \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[({\sigma }_{\epsilon }{)}^{\ast }\omega {|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}-\omega {|}_x]\text{\hspace{1em}(5.54)}$$

其中 $\omega {|}_x\in T_x^{\ast }M$ 是 $\omega$ 在 $x$ 处的值。令 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。重复与前面类似的分析，我们得到

$${{\left({\sigma }_{\epsilon }\right)}^{\ast }\omega |}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}={\omega }_{\mu }(x)d{x}^{\mu }+\epsilon \left[X^v(x){\partial }_v{\omega }_{\mu }(x)+{\partial }_{\mu }{X}^v(x){\omega }_v(x)\right]d{x}^{\mu }$$

由此可得

$${\mathcal{L}}_X\omega =\left(X^{\nu }{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }+{\partial }_{\mu }{X}^{\nu }{\omega }_{\nu }\right)d{x}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(5.55)}$$

显然 ${\mathcal{L}}_X\omega \in T_x^{\ast }(M)$，因为它是同一点 $x$ 处的两个一形式之差。

函数 $f\in \mathcal{F}(M)$ 沿由向量场 $X$ 生成的流 ${\sigma }_s$ 的李导数为

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{L}}_{X}f\equiv \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[f({\sigma }_{\epsilon }(x))-f(x)]\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[f(x^{\mu }+\epsilon X^{\mu }(x))-f(x^{\mu })]\\ & =X^{\mu }(x)\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}=X[f]\end{array}\text{\hspace{1em}(5.56)}$$

这正是 $f$ 沿 $X$ 的通常的方向导数。

一般张量的李导数可由下述命题得到。

命题 5.1

李导数满足

$${\mathcal{L}}_X\left(t_1+t_2\right)={\mathcal{L}}_X{t}_1+{\mathcal{L}}_X{t}_2\text{\hspace{1em}(5.57a)}$$

其中 $t_1$ 与 $t_2$ 是类型相同的张量场，并且

$${\mathcal{L}}_X\left(t_1\otimes t_2\right)=\left({\mathcal{L}}_X{t}_1\right)\otimes t_2+t_1\otimes \left({\mathcal{L}}_X{t}_2\right)\text{\hspace{1em}(5.57b)}$$

其中 $t_1$ 与 $t_2$ 是任意类型的张量场。

证明

(a) 是显然的。对于 (b)，我们不去给出充满指标的一般性证明，而是给出一个例子，它向更一般情形的推广是平凡的。取 $Y\in \mathcal{X}(M)$ 与 $\omega \in {\Omega }^1(M)$，并构造张量积 $Y\otimes \omega$。于是 $(Y\otimes \omega ){|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}$ 在 $({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }\otimes ({\sigma }_{\epsilon }{)}^{\ast }$ 的作用下被映为 $x$ 处的一个张量：

$$[({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }\otimes ({\sigma }_{\epsilon }{)}^{\ast }](Y\otimes \omega ){|}_{{\sigma }_{\epsilon }(X)}=[({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }Y\otimes ({\sigma }_{\epsilon }{)}^{\ast }\omega ]{|}_X.$$

由此可得（莱布尼茨法则）：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_X(Y\otimes \omega )& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[\left\{{\left({\sigma }_{-\epsilon }\right)}_{\ast }Y\otimes {\left({\sigma }_{\epsilon }\right)}^{\ast }\omega \right\}{|}_x-(Y\otimes \omega ){|}_x]\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }[({\sigma }_{-\epsilon }{)}_{\ast }Y\otimes \left\{{\left({\sigma }_{\epsilon }\right)}^{\ast }\omega -\omega \right\}+\left\{{\left({\sigma }_{-\epsilon }\right)}_{\ast }Y-Y\right\}\otimes \omega ]\\ & =Y\otimes ({\mathcal{L}}_X\omega )+({\mathcal{L}}_{X}Y)\otimes \omega .\end{array}$$

向更一般情形的推广是显然的。

这个命题使我们能够计算一般张量场的李导数。例如，设 $t=t_{\mu }^{\nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes e_{\nu }\in {\mathcal{T}}_1^1(M)$。由命题 5.1可得

$${\mathcal{L}}_{X}t=X\left[t_{\mu }^v\right]d{x}^{\mu }\otimes e_v+t_{\mu }^v\left({\mathcal{L}}_{X}d{x}^{\mu }\right)\otimes e_v+t_{\mu }^{v}d{x}^{\mu }\otimes \left({\mathcal{L}}_X{e}_v\right).$$

练习 5.12

设 $t$ 为一个张量场。证明

$${\mathcal{L}}_{[X,Y]}t={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}t-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}t.\text{\hspace{1em}(5.58)}$$

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