在粒子物理中，对称性原理是模型构造中最重要的概念之一。对称性对于理论能否可重整以及是否幺正起着关键作用。必须选取拉格朗日量，使之满足所观测到的对称性。然而要注意，拉格朗日量的对称性是经典意义下的对称性。并不能保证拉格朗日量的对称性可以提升为量子对称性，即有效作用的对称性。如果在量子化过程中无法保持拉格朗日量的经典对称性，就称该理论具有反常(anomaly)。反常有许多类型：手征反常、规范反常、引力反常、超对称反常等等。每个形容词都指涉所考虑的对称性。本章我们考察规范场论中所出现的反常的几何与拓扑结构。
我们主要遵循 Alvarez-Gaumé（1986）、Alvarez-Gaumé 与 Ginsparg（1985）以及 Sumitani（1985）的论述。关于本课题的完整分析，参见 Rennie（1990）与 Bartlmann（1996）。Mickelsson（1989）与 Nash（1991）则从更为数学的角度用一节讨论了反常。
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