2.2 群U(1)及其表示

人们可能会认为最简单的李群是一维加法群 $R$ ，我们将在第 10 章开始连同其表示一起研究这个群。事实证明，通过添加一个周期性条件（这消除了当趋于 $\pm \infty$ 时会发生什么的问题），可以得到一个更易于分析的李群，即单位圆上点构成的“圆群”。每个这样的点由一个角刻画，而群法则就是角的加法。

圆群可以与平面 $R^{2}$ 的旋转群等同，在这种情况下它被称为 $S O (2)$ ，原因在第4章讨论。然而，将 $R^{2}$ 与复平面 $C$ 等同起来并处理以下群（它与 $S O (2))$ 同构）是相当方便的：

定义 · 群 U(1)

群 $U (1)$ 的元素是单位圆上的点，可用单位复数 $e^{i θ}$ 标记，或用角 $θ \in R$ 标记，其中对于 $N \in Z$ ， $θ$ 与 $θ + N 2 π$ 标记同一个群元素。群元素的乘法是复数乘法，根据指数函数的性质，它满足

$e^{i θ_{1}} e^{i θ_{2}} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$

因此就角度而言，群法则为加法（模2 $π$ ）。

名称“ $U (1)$ ”之所以被使用，是因为复数 $e^{i θ}$ 是1乘1的酉矩阵。

Figure 2.1 图 2.1：将 $U (1)$ 看作复平面 $C$ 中的单位圆。

根据定理2.2，由于 $U (1)$ 是交换群，所有不可约表示都将是一维的。这样的不可约表示将由一个可微映射给出

π : U (1) \to G L (1, C)

$G L (1, C)$ 是可逆复数构成的群，也称为 $C^{*}$ 。若一个可微映射 $π$ 是 $U (1)$ 的表示，则它必须满足同态性与周期性，这些性质可用于证明：

定理

定理 2.3。群 $U (1)$ 的所有不可约表示都是酉的，并且由

$π_{k} : e^{i θ} \in U (1) \to π_{k} (θ) = e^{ik θ} \in U (1) \subset G L (1, C) ≃ C^{*}$

对于 $k \in Z .$

证明

证明。我们将把 $π_{k}$ 写成角度 $θ \in R$ 的函数，从而满足周期性。

π_{k} (2 π) = π_{k} (0) = 1

由于它是一个表示， $π$ 将满足同态性质

π_{k} (θ_{1} + θ_{2}) = π_{k} (θ_{1}) π_{k} (θ_{2})

我们需要证明，任何可微映射

f : U (1) \to C^{*}

满足同态性和周期性性质的具有形式 $f = π_{k}$ 。计算导数 $f^{'} (θ) = \frac{df}{d θ}$ ，我们得到

f^{'} (θ) = lim_{Δ θ \to 0} \frac{f ( θ + Δ θ ) - f ( θ )}{Δ θ} = f (θ) lim_{Δ θ \to 0} \frac{( f ( Δ θ ) - 1 )}{Δ θ} (using the homomorphism property) = f (θ) f^{'} (0)

将常数 $f^{'} (0)$ 记为 $c$ ，则该微分方程满足 $f (0) = 1$ 的唯一解是

f (θ) = e^{c θ}

要求周期性，我们得到

f (2 π) = e^{c 2 π} = f (0) = 1

这意味着对于 $k \in Z$ 有 $c = ik$ ，并且对某个整数 $k$ 有 $f = π_{k}$ 。□

我们找到的表示都是酉的，其中 $π_{k}$ 取值于 $U (1) \subset C^{*}$ 。复数 $e^{ik θ}$ 满足成为酉 1 乘 1 矩阵的条件，因为

(e^{ik θ})^{- 1} = e^{- ik θ} = \overline{e^{ik θ}}

这些表示是群 $C^{*}$ 的不可约表示限制到单位圆 $U (1)$ 上所得的表示，这些不可约表示由下式给出

π_{k} : z \in C^{*} \to π_{k} (z) = z^{k} \in C^{*}

这样的表示不是酉的，但它们的形式极其简单，因此有时便于使用它们，之后再限制到单位圆上，在那里该表示是酉的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 17、18、19

来源版本：2025-10-20

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