最简单的真正非平凡的量子系统，其状态空间本质上是二维复的。这提供了比第2章中所见多得多的结构，第2章可以通过将状态空间分解为具有给定电荷的一维子空间来分析。我们将在本节研究这些二态系统，首次遇到使用非交换群的表示所带来的蕴含。由于它们给出了许多量子现象的最简单非平凡实现，这类系统是量子信息论的基本对象（“量子比特”），也是构建量子计算机尝试的焦点（量子计算机将由这种基本对象的多个副本构建而成）。许多不同的可能二态量子系统都有可能被用作量子比特的物理实现。
一个最简单的可能情形是取单个电子的理想化情况，以某种方式将其固定，从而可以忽略其空间运动，使其量子态仅由所谓的“自旋自由度”描述，该自由度取值于 。“自旋”一词本应让人联想到某个物体绕某轴旋转的角动量，但这种经典物理与量子比特毫无关系，量子比特是一个纯粹的量子系统。
在本章中，我们将分析具有 的一般量子系统会发生什么，首先找出可能的可观测量。将这些可观测量指数化，将得到作用在 上的 2 乘 2 酉矩阵构成的群 。这是 的一个具体表示，即“定义”表示。通过限制到行列式为 1 的元素构成的子群 ，就得到 在 上的一个表示，通常称为“自旋 ”表示。
稍后，在第8章中，我们将找出的所有不可约表示。这些表示由一个自然数标记
且具有维数。相应的量子系统被称为具有“自旋”。的情形是上的平凡表示，而的情形则是本章所讨论的情形。在极限下，可以与自旋物体和角动量的经典概念建立联系，但自旋的情形则处于另一极限，其行为是纯量子力学的。