5.3 小结

对照

在转向李代数表示之前，我们在此总结已经讨论过的李群和李代数的类别，并将在后续章节中研究其具体例子：

• 一般线性群 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ 和 $GL(n,\mathbf{C})$ 分别是所有元素为实数或复数的可逆矩阵构成的群。它们的李代数分别是 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R})=M(n,\mathbf{R})$ 和 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$。这些是所有 $n$ 乘 $n$ 矩阵构成的向量空间，其李括号为矩阵对易子。其他李群将是这些群的子群，其李代数将是这些李代数的李子代数。

• 特殊线性群$SL(n,\mathbf{R})$和$SL(n,\mathbf{C})$是行列式为1的可逆矩阵构成的群。它们的李代数$\mathfrak{sl}(n,\mathbf{R})$和$\mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})$是所有迹为零的$n$乘$n$矩阵构成的李代数。

• 正交群 $O(n)\subset GL(n,\mathbf{R})$ 是由满足 ${\Omega }^T={\Omega }^{-1}$ 的 $n$ 乘 $n$ 实矩阵 $\Omega$ 构成的群。其李代数 $\mathfrak{o}(n)$ 是由满足 $X^T=-X$ 的 $n$ 乘 $n$ 实矩阵 $X$ 构成的李代数。

• 特殊正交群 $SO(n)\subset SL(n,\mathbf{R})$ 是 $O(n)$ 中行列式为 1 的子群。它与 $O(n):\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{o}(n)$ 具有相同的李代数

• 酉群 $U(n)\subset GL(n,\mathbf{C})$ 是由满足 ${\Omega }^{†}={\Omega }^{-1}$ 的 $n$ 乘 $n$ 复矩阵 $\Omega$ 构成的群。其李代数 $\mathfrak{u}(n)$ 是由满足 $X^{†}=-X$ 的 $n$ 乘 $n$ 斜厄米矩阵 $X$ 构成的李代数

• 特殊酉群 $\mathcal{S}\mathcal{U}(n)\subset \mathcal{SL}(n,\mathbf{C})$ 是 $U(n)$ 中行列式为 1 的矩阵构成的子群。它的李代数 $\mathfrak{su}(n)$ 是 $n$ 的李代数，由迹为零的 $n$ 阶斜厄米矩阵 $X$ 组成。

在后续章节中，我们将遇到矩阵李群的其他一些例子，包括辛群$Sp(2d,\mathbf{R})$（见第16章）和伪正交群$O(r,s)$（见第29章）。

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上一节：5.2 正交群与酉群的李代数 · 下一节：5.4 李代数表示

附录：约定与记号

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 53、54

来源版本：2025-10-20