5.4 李代数表示

对照

我们将群表示定义为同态（保持群乘法的群映射）

$$\pi :G\to GL(n,\mathbf{C})$$

类似地，我们可以将李代数表示定义为保持李括号的李代数映射：

定义 · 李代数表示

定义（李代数表示）。李代数 $\mathfrak{g}$ 在 $n$ 维复向量空间 $V$ 上的一个（复）李代数表示 $(\varphi ,V)$ 由一个实线性映射给出

$$\varphi :X\in \mathfrak{g}\to \varphi (X)\in \mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$$

满足

$$\varphi ([X,Y])=[\varphi (X),\varphi (Y)]$$

这样的表示称为酉的，如果它的像在 $\mathfrak{u}(n)$ 中，即如果它满足

$$\varphi (X{)}^{†}=-\varphi (X)$$

更具体地说，给定维数为 $d$ 的李代数 $\mathfrak{g}$ 的一组基 $X_1,X_2,\dots ,X_d$，其结构常数为 $c_{jkl}$，则一个表示由一组满足对易关系的复 $n$ 维矩阵 $\varphi (X_j)$ 的选择给出

$$[\varphi (X_j),\varphi (X_k)]=\sum _{l=1}^d{c}_{jkl}\varphi (X_l)$$

当矩阵是斜伴随的时，该表示是酉的。

李代数表示的概念源于这样一个事实：同态性质使得映射 $\pi$ 在很大程度上由其在单位元附近的无穷小行为决定，从而由导数 ${\pi }^{\prime }$ 决定。定义此类映射的导数的一种方式是借助路径的速度向量，而在此情形下，这种定义将线性映射与表示 $\pi :G\to GL(n,\mathbf{C})$ 相关联。

$${\pi }^{\prime }:\mathfrak{g}\to M(n,\mathbf{C})$$

其中

$${\pi }^{\prime }(X)=\frac{d}{dt}(\pi (e^{tX}){)}_{|t=0}$$

Figure 5.1: Derivative of a representation $\pi :G\to GL(n,\mathbf{C})$ , illustrated in terms of “velocity” vectors along paths.

对于 $U(1)$ 的情形，我们在定理 2.3 中通过考察映射在单位元处的导数，分类了所有不可约表示（同态 $U(1)\to GL(1,\mathbf{C})={\mathbf{C}}^{\ast }$）。对于一般李群 $G$，可以做类似的事情，证明 $G$ 的表示 $\pi$ 给出李代数的一个表示（通过在单位元处取导数），然后尝试分类李代数表示。

定理

定理。如果 $\pi :G\to GL(n,\mathbf{C})$ 是一个群同态，那么

$${\pi }^{\prime }:X\in \mathfrak{g}\to {\pi }^{\prime }(X)=\frac{d}{dt}(\pi (e^{tX}){)}_{|t=0}\in \mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$$

满足

$$\pi (e^{tX})=e^{t{\pi }^{\prime }(X)}$$

2. 对于 $g\in G$

$${\pi }^{\prime }(gX{g}^{-1})=\pi (g){\pi }^{\prime }(X)(\pi (g){)}^{-1}$$

3. ${\pi }^{\prime }$ 是李代数同态：

$${\pi }^{\prime }([X,Y])=[{\pi }^{\prime }(X),{\pi }^{\prime }(Y)]$$

证明

证明。1. 我们有

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\pi (e^{tX})& ={\frac{d}{ds}\pi (e^{(t+s)X})|}_{s=0}\\ & ={\frac{d}{ds}\pi (e^{tX}{e}^{sX})|}_{s=0}\\ & ={\pi (e^{tX})\frac{d}{ds}\pi (e^{sX})|}_{s=0}\\ & =\pi (e^{tX}){\pi }^{\prime }(X)\end{array}$$

因此 $f(t)=\pi (e^{tX})$ 满足微分方程 $\frac{d}{dt}f=f{\pi }^{\prime }(X)$，并具有初始条件 $f(0)=1$。其唯一解为 $f(t)=e^{t{\pi }^{\prime }(X)}$。

2. 我们有

$$\begin{array}{rl}{e}^{t{\pi }^{\prime }(gX{g}^{-1})}& =\pi (e^{tgX{g}^{-1}})\\ & =\pi (g{e}^{tX}{g}^{-1})\\ & =\pi (g)\pi (e^{tX})\pi (g{)}^{-1}\\ & =\pi (g)e^{t{\pi }^{\prime }(X)}\pi (g{)}^{-1}\end{array}$$

在$t=0$处对$t$求导，得到

$${\pi }^{\prime }(gX{g}^{-1})=\pi (g){\pi }^{\prime }(X)(\pi (g){)}^{-1}$$

3. 回忆方程 5.1：

$$[X,Y]=\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX}{)}_{|t=0}$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\pi }^{\prime }([X,Y])& ={\pi }^{\prime }\left({\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX})|}_{t=0}\right)\\ & ={\frac{d}{dt}{\pi }^{\prime }(e^{tX}Y{e}^{-tX})|}_{t=0}\text{(by linearity)}\\ & ={\frac{d}{dt}(\pi (e^{tX}){\pi }^{\prime }(Y)\pi (e^{-tX}))|}_{t=0}\text{(by 2.)}\\ & ={\frac{d}{dt}(e^{t{\pi }^{\prime }(X)}{\pi }^{\prime }(Y)e^{-t{\pi }^{\prime }(X)})|}_{t=0}\text{(by 1.)}\\ & =[{\pi }^{\prime }(X),{\pi }^{\prime }(Y)]\end{array}$$

该定理表明，我们可以通过研究相应的李代数表示 $({\pi }^{\prime },V)$ 来研究李群表示 $(\pi ,V)$。这通常会容易得多，因为 ${\pi }^{\prime }$ 是线性映射。与非线性映射 $\pi$ 不同，映射 ${\pi }^{\prime }$ 由其在 $\mathfrak{g}$ 的基元素 $X_j$ 上的值决定。${\pi }^{\prime }(X_j)$ 将满足与 $X_j$ 相同的括号关系（见方程 5.2）。我们将在第 8 章中按照这种方式进行，届时我们将构造并分类所有 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ 表示，并发现相应的李代数表示分析起来要简单得多。但请注意，李代数 $\mathfrak{g}$ 的表示不一定对应于群 $G$ 的表示（当它们对应时，被称为“可积的”）。举一个简单的例子，考察定理 2.3 的证明，对于常数 $k$ 的任意值，人们可以得到 $U(1)$ 的李代数的酉表示，但这些表示只有在 $k$ 为整数时才是群 $U(1)$ 的表示。

对任意李群 $G,$，我们已经看到存在一个特殊的表示，即伴随表示 $(Ad,\mathfrak{g})$。相应的李代数表示也称为伴随表示，但写作 $\left(A{d}^{\prime },\mathfrak{g}\right)=\left(ad,\mathfrak{g}\right)$。由以下事实

$$Ad(e^{tX})(Y)=e^{tX}Y{e}^{-tX}$$

我们可以对$t$求导，并利用方程5.1得到李代数表示。

$$ad(X)(Y)=\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX}{)}_{|t=0}=[X,Y]\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

由此引出定义：

定义 · 李代数的伴随表示

定义（伴随李代数表示）。$(ad,\mathfrak{g})$ 是由下式给出的 李代数表示

$$X\in \mathfrak{g}\to ad(X)$$

其中 $ad(X)$ 定义为从 $\mathfrak{g}$ 到自身的线性映射，由下式给出

$$Y\to [X,Y]$$

注意，这个线性映射 $ad(X)$，可以写成 $[X,\cdot ]$，可以被视为共轭作用量的无穷小版本

$$(\cdot )\to e^{tX}(\cdot )e^{-tX}$$

$ad$的李代数同态性质表明

$$ad([X,Y])=ad(X)\circ ad(Y)-ad(Y)\circ ad(X)$$

其中这些是 $\mathfrak{g}$ 上的线性映射，◦ 表示线性映射的复合，因此作用在 $Z\in \mathfrak{g}$ 上我们有

$$ad([X,Y])(Z)=(ad(X)\circ ad(Y))(Z)-(ad(Y)\circ ad(X))(Z)$$

利用我们对 $ad$ 作为对易子的表达式，我们发现

$$[[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]$$

这被称为雅可比恒等式。它本可以更简单地作为关于矩阵乘法的恒等式推导出来，但在这里我们看到它成立是出于一个更抽象的原因，反映了伴随表示的存在。它可以用其他形式写出，利用对易子的反对称性重新排列各项，其中一个例子是循环置换之和

$$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$$

李代数可以更抽象地定义如下：

定义 · 抽象李代数

定义（抽象李代数）。域 $k$ 上的一个 抽象李代数 是 $k$ 上的一个向量空间 $A$，带有一个双线性运算

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in A\times A\to [X,Y]\in A$$

满足

1. 反对称性：

$$[X,Y]=-[Y,X]$$

2. 雅可比恒等式：

$$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$$

这样的李代数不需要定义为矩阵，其李括号运算也不需要以矩阵对易子的形式来定义（尽管相同的记号仍继续使用）。稍后我们将遇到以这种更抽象的方式定义的李代数的重要例子。

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上一节：5.3 小结 · 下一节：5.5 复化

附录：约定与记号

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20