5.5 复化

对照

传统物理学对李代数表示的讨论，通常假定所有计算中允许使用复系数，因为我们关注的是复表示。一个重要的微妙之处在于，李代数是一个实向量空间，而且常常以一种令人困惑的方式作为复矩阵的子空间出现。要正确把握其中的情况，就需要理解向量空间或李代数的“复化”概念。在某些情形下，这很容易理解，不过是从实系数过渡到复系数；但在另一些情形下，则需要更复杂的构造。建议读者在初读时不妨先略读本节，之后仅在需要弄清这些微妙之处在具体问题中出现时事情究竟如何运作时，再回头细读。

我们定义李代数 $\mathfrak{g}$ 的方式使其成为实向量空间，而非复向量空间。即使 $G$ 是复矩阵群，其在单位元处的切空间也未必是复向量空间。例如考虑 $G=U(1)$ 和 $G=SU(2)$ 的情形，其中 $\mathfrak{u}(1)=\mathbf{R}$ 和 $\mathfrak{su}(2)={\mathbf{R}}^3$。虽然所有可逆复矩阵构成的群 $GL(n,\mathbf{C})$ 的切空间是复向量空间（$M(n,\mathbf{C})$，即所有 $n$ 乘 $n$ 矩阵），但施加诸如酉性这样的条件会挑出 $M(n,\mathbf{C})$ 的一个子空间，该子空间一般只是实向量空间，而非复向量空间。因此伴随表示 $(Ad,\mathfrak{g})$ 一般不是复表示，而是实表示，具有

$$Ad(g)\in GL(\mathfrak{g})=GL(dim\mathfrak{g},\mathbf{R})$$

这个的导数是李代数表示

$$ad:X\in \mathfrak{g}\to ad(X)\in \mathfrak{gl}(dim\mathfrak{g},\mathbf{R})$$

一旦我们选取 $\mathfrak{g}$ 的一个基，就能将 $\mathfrak{gl}(\dim \mathfrak{g},\mathbf{R})=M(\dim \mathfrak{g},\mathbf{R})$ 等同起来。因此，对于每个 $X\in \mathfrak{g}$，我们都在一个实向量空间上得到一个实线性算符。

我们通常最希望处理的不是实表示，而是复表示，因为正是对于这些表示，舒尔引理才适用（2.1的证明也适用于李代数情形），并且表示算符可以对角化。要从实李代数表示得到复表示，我们可以“复化”，将实标量的作用扩展为复标量的作用。如果我们处理的是实矩阵，那么复化无非就是允许复元素，并像以前一样使用相同的矩阵乘法规则。

更一般地，对于任意实向量空间，我们可以定义：

定义 · 复化

定义。实向量空间 $V$ 的 复化 $V_{\mathbf{C}}$ 是 $V$ 中元素的配对 $(v_1,v_2)$ 构成的空间，其与 $a+bi\in \mathbf{C}$ 的乘法由下式给出

$$(a+ib)(v_1,v_2)=\left(a{v}_1-b{v}_2,a{v}_2+b{v}_1\right)$$

应当把$V$的复化视为

$$V_{\mathbf{C}}=V+iV$$

其中，$v_1$ 位于第一份 $V,v_2$ 位于第二份副本中。于是，乘以复数的规则来自复数乘法的标准规则。

给定一个实李代数 $\mathfrak{g}$，其复化 ${\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的元素对 $(X,Y)$，并带有上述关于复标量乘法的规则，这可以看作

$${\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{g}+i\mathfrak{g}$$

$\mathfrak{g}$ 上的李括号通过以下规则延拓为 ${\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}$ 上的李括号

$$[(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)]=([X_1,X_2]-[Y_1,Y_2],[X_1,Y_2]+[Y_1,X_2])$$

这可以通过计算来理解

$$[X_1+i{Y}_1,X_2+i{Y}_2]=[X_1,X_2]-[Y_1,Y_2]+i([X_1,Y_2]+[Y_1,X_2])$$

赋予此李括号后，${\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}$ 是复数域上的一个李代数。

对于我们将会感兴趣的许多情形而言，这种抽象程度其实并不真正需要，因为它们具有这样的性质：$V$ 将作为某个复向量空间的子空间给出，且具有性质 $V\cap iV=0$，在这种情况下，$V_{\mathbf{C}}$ 就只是通过对 $V.$ 的元素取复线性组合而得到的更大子空间。例如，$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R})$，即实 $n$ 乘 $n$ 矩阵的李代数，是 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$（复矩阵）的子空间，并且可以看出

$$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R}{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$$

回顾我们在 $\mathfrak{u}(n)$ 第 5.2.2 节中的讨论，一个实李代数，其元素为某些复矩阵（即斜厄米矩阵），乘以 $i$ 得到厄米矩阵，而复化将给出所有复矩阵，因此

$$\mathfrak{u}(n{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$$

这个例子表明，两个不同的实李代数$(\mathfrak{u}(n)$和$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R}))$可能有相同的复化。再举一个例子，$\mathfrak{so}(n)$是所有实反对称矩阵的李代数，$\mathfrak{so}(n{)}_{\mathbf{C}}$是所有复反对称矩阵的李代数。

对于一个需要一般定义且情形容易令人困惑的例子，考虑 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$ 的情形，将其视为李代数，从而视为实向量空间。这个实向量空间的复化将具有两倍的（实）维数，因此

$$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C}{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})+i\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$$

不会仅仅通过允许复系数$\left(\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})\right)$就得到，而是由它的两个副本构建而成。

给定实李代数 $\mathfrak{g}$ 的一个表示 ${\pi }^{\prime }$，可以通过复线性将其延拓为 ${\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}$ 的一个表示，定义

$${\pi }^{\prime }(X+iY)={\pi }^{\prime }(X)+i{\pi }^{\prime }(Y)$$

若原来的表示作用在复向量空间 $V$ 上，则扩展后的表示将作用在同一个空间上。若原来的表示作用在实向量空间 $V$ 上，则扩展后的表示将作用在复化 $V_{\mathbf{C}}$ 上。我们将遇到的这类现象的一些例子如下：

• 伴随表示

$$ad:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(dim\mathfrak{g},\mathbf{R})=M(dim\mathfrak{g},\mathbf{R})$$

延拓为复表示

$$ad:{\mathfrak{g}}_{\mathbf{C}}\to \mathfrak{gl}(dim\mathfrak{g},\mathbf{C})=M(dim\mathfrak{g},\mathbf{C})$$

• 复 $n$ 维表示

$${\pi }^{\prime }:\mathfrak{su}(2)\to M(n,\mathbf{C})$$

$\mathfrak{su}(2)$的表示可延拓为表示

$${\pi }^{\prime }:\mathfrak{su}(2{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})\to M(n,\mathbf{C})$$

这样做使得人们可以通过研究$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$的表示来对$\mathfrak{su}(2)$的有限维不可约表示进行分类（见8.1.2节）。

• 我们将看到，称为海森堡李代数的实李代数的复表示在量子理论和量子场论中起着核心作用。构造此类表示的一种重要技术（使用所谓的“湮灭”和“产生”算符）通过将表示扩展到海森堡李代数的复化来实现（见 22.4 节）。

以复场为基础的量子场论，其出发点是一个已经复化的海森堡李代数（非相对论性场的情形见第37章，相对论性{场}见44.1.2节）。因此，对此类理论使用湮灭算符和产生算符，涉及对一个已经复化的李代数进行复化，这就需要用到本节所讨论的复化的一般概念。

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上一节：5.4 李代数表示 · 下一节：5.6 延伸阅读

附录：约定与记号

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 59、60、61

来源版本：2025-10-20