9.2 复合量子系统与张量积

9.2 复合量子系统与张量积

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 不可约表示 · 对称群

考虑两个量子系统：一个由状态空间${\mathcal{H}}_1$及其上的一组算符${\mathcal{O}}_1$定义，第二个由状态空间${\mathcal{H}}_2$及一组算符${\mathcal{O}}_2$给出。通过将这两个量子系统视为一个整体且它们之间没有相互作用，可以描述对应的复合量子系统，其做法是取一个新的状态空间

$${\mathcal{H}}_T={\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$$

对于形式为

$$A\otimes \mathbf{Id}+\mathbf{Id}\otimes B$$

其中 $A\in {\mathcal{O}}_1,B\in {\mathcal{O}}_2$。状态空间 ${\mathcal{H}}_T$ 可用于描述一个相互作用量子系统，但需使用更一般的算符类。

若$H$是一个量子系统的状态空间，这可被视为描述单个粒子。那么由$N$个这样的粒子组成的系统则由多重张量积描述

$${\mathcal{H}}^{\otimes n}=\underset{\text{n times}}{\underbrace{\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}\otimes \mathcal{H}}}$$

对称群 $S_n$ 作用在该状态空间上，并且有 $S_n$ 的一个表示 $(\pi ,{\mathcal{H}}^{\otimes n})$ 如下。对于 $\sigma \in S_n$ 为 $n$ 个元素的集合 $\{1,2,\dots ,n\}$ 的一个置换，在向量的张量积上有

$$\pi (\sigma )(v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_n)=v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}$$

由此得到的 $S_n$ 的表示一般是可约的，包含具有群 $S_n$ 的不同不可约表示的各个分量。

量子力学的一条基本公理是：若${\mathcal{H}}^{\otimes n}$描述$n$个全同粒子，则所有物理态都作为$S_n$的一维表示出现。这些表示要么是对称的$\left({}^{64}\mathrm{boson}{\mathrm{s}}^9\right)$，要么是反对称的$\left({}^{66}\mathrm{fermion}{\mathrm{s}}^{33}\right)$，其中：

定义

一个态 $v\in {\mathcal{H}}^{\otimes n}$ 被称为

• 对称的，或玻色子的 $if\forall \sigma \in S_n$

$$\pi (\sigma )v=v$$

这样的状态空间记为 $S^n(\mathcal{H})$

• 反对称的，或费米子性的 $if\forall \sigma \in S_n$

$$\pi (\sigma )v=(-1{)}^{|\sigma |}v$$

这样的态空间记为${\Lambda }^n(\mathcal{H})$）。这里|$\sigma$|是通过复合得到$\sigma$所需的最少交换次数。

注意，在费米子情形下，对于交换两个粒子的 $\sigma$，$\pi$ 通过交换向量作用于因子 $\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$，取

$$w\otimes w\in \mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$

对任意向量$w\in \mathcal{H}$，其映到自身。反对称性要求$\pi$将该状态映为其负状态，因此该状态不能非零。结果是，在${\mathcal{H}}^{\otimes n}$中不可能存在描述两个相同粒子处于同一状态$w\in \mathcal{H}$的非零状态，这一事实被称为“泡利原理”。

当多个全同粒子以张量积的方式描述时，其状态的对称性或反对称性是一条独立的公理，但我们稍后（第36章）将会看到，当粒子用量子场来描述时，这一现象反而能得到自然的解释。

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来源版本：2025-10-20

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