9.1 张量积

9.1 张量积

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 复化

给定两个向量空间 $V$ 和 $W$（在 $R$ 或 $C$ 上），直和向量空间 $V\oplus W$ 通过取元素对 $(v,w)$（其中 $v\in V,w\in W$）构造，并通过显然的加法与标量乘法赋予其向量空间结构。该空间的维数将为

$$\dim (V\oplus W)=\dim V+\dim W$$

如果 $\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_{\dim V}\right\}$ 是 $V$ 的一个基，并且 $\left\{{\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,\dots ,{\mathbf{f}}_{\dim W}\right\}$ 是 $W$ 的一个基，那么

$$\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_{\dim V},{\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,\dots ,{\mathbf{f}}_{\dim W}\right\}$$

将成为$V\oplus W$的一个基

一个不那么平凡的构造是向量空间$V$与$W$的张量积。这将是一个新的向量空间，称为$V\otimes W$，其维数为

$$\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$$

激发张量积的一种方式是将向量空间视为函数向量空间。元素

$$v=v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_{\dim V}{\mathbf{e}}_{\dim V}\in V$$

可以看作是在 dim $V$ 个点 ${\mathbf{e}}_j,$ 上的函数，在 ${\mathbf{e}}_j$ 处取值 $v_j$。如果在集合 $\{{\mathbf{e}}_j\}$ 与 $\left\{{\mathbf{f}}_k\right\}$ 的并集上取函数，就得到 $V\oplus W$ 的元素。张量积 $V\otimes W$ 将是通过在集合 $\{{\mathbf{e}}_j\}$ 与 $\left\{{\mathbf{f}}_k\right\}$ 的乘积而非并集上取所有函数而得到的东西。这将是具有 (dim $V$)(dim $W$) 个元素的集合，我们将其写作 ${\mathbf{e}}_j\otimes {\mathbf{f}}_k$，而 $V\otimes W$ 的元素将是这个集合上的函数，或者等价地说，是这些基向量的线性组合。

这种定义不太令人满意，因为它依赖于对 $V$ 和 $W$ 的基的显式选择。不过，我们在此不会深入探讨这个问题的更多细节或更好的定义。关于这一点，可以参考几乎任何一本抽象代数的高级本科教材，但在此我们将直接采用我们所需的张量积的以下性质：

• 给定向量 $v\in V,w\in W$，我们得到一个元素 $v\otimes w\in V\otimes W$，满足双线性条件（对于常数 $c_1,c_2$）

$$v\otimes (c_1{w}_1+c_2{w}_2)=c_1(v\otimes w_1)+c_2(v\otimes w_2)$$ $$\left(c_1{v}_1+c_2{v}_2\right)\otimes w=c_1(v_1\otimes w)+c_2(v_2\otimes w)$$

• 存在自然同构

$$V\otimes W\simeq W\otimes V$$

和

$$U\otimes (V\otimes W)\simeq (U\otimes V)\otimes W$$

对于向量空间 $U,V,W$

• 给定 $V$ 上的一个线性算符 $A$ 以及 $W$ 上的另一个线性算符 $B$，我们可以通过下式定义 $V\otimes W$ 上的一个线性算符 $A\otimes B$：

$$(A\otimes B)(v\otimes w)=Av\otimes Bw$$

对于 $v\in V,w\in W.$

相对于$V$的基${\mathbf{e}}_j,{\mathbf{f}}_k$和$W$，$A$将是一个(dim $V$)乘(dim $V$)矩阵，$B$将是一个(dim $W$)乘(dim $W$)矩阵，而$A\otimes B$将是一个(dim V)(dim W)乘(dim $V$)(dim $W$)矩阵（可视为一个(dim $V$)乘(dim $V$)的块矩阵，块的大小为(dim $W$)）。

• 人们常常希望考虑向量空间与对偶向量空间的张量积。一个重要事实是，张量积 $V^{\ast }\otimes W$ 与从 $V$ 到 $W$ 的线性映射之间存在同构。这通过将 $l\otimes w(l\in V^{\ast },w\in W)$ 与线性映射等同起来而给出

$$v\in V\to l(v)w\in W$$

• 基于集合乘积上函数的动机，对于一般的函数空间，我们应当将函数空间的张量积与乘积集合上的函数等同起来。例如，对于 $R$ 上的平方可积函数，我们期望

$$\underset{\text{n times}}{\underbrace{L^2(\mathbf{R})\otimes L^2(\mathbf{R})\otimes \cdots \otimes L^2(\mathbf{R})}}=L^2({\mathbf{R}}^n)\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

对于实向量空间 $V$，其复化 $V_{\mathbf{C}}$（见 5.5 节）可与张量积等同。

$$V_{\mathbf{C}}=V{\otimes }_{\mathbf{R}}\mathbf{C}$$

这里记号 ${\otimes }_{\mathbf{R}}$ 表示两个实向量空间的张量积：维数为 dim $V$ 且以 $\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_{\dim V}\right\}$ 为基的 $V$，以及维数为 2 且以 $\{1,i\}$ 为基的 $\mathbf{C}={\mathbf{R}}^2$

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