9.6 对称与反对称多重线性形式

9.6 对称与反对称多重线性形式

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射

对称双线性形式位于 $S^2(V^{\ast })\subset V^{\ast }\otimes V^{\ast }$ 中，并对应于对称矩阵。$V^{\ast }$ 的元素给出 $V,$ 上的线性函数，而通过取 $B\in S^2(V^{\ast })$ 的元素，可以得到 $V$ 上的二次函数

$$v\in V\to B(v,v)=\mathbf{v}\cdot \mathbf{Bv}$$

等价地，用张量积表述，通过取

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in V^{\ast }\times V^{\ast }\to \frac{1}{2}({\alpha }_1\otimes {\alpha }_2+{\alpha }_2\otimes {\alpha }_1)\in S^2(V^{\ast })$$

然后在 $v\in V$ 处求值以得到该数

$$\frac{1}{2}({\alpha }_1(v){\alpha }_2(v)+{\alpha }_2(v){\alpha }_1(v))={\alpha }_1(v){\alpha }_2(v)$$

这个乘法可以延拓为该空间上的一个乘积

$$S^{\ast }(V^{\ast })={\oplus }_n{S}^n(V^{\ast })$$

（称为对称多重线性形式空间）通过定义

$$\begin{array}{rl}({\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_j)({\alpha }_{j+1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_n)& =P^{+}({\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_n)\\ & \equiv \frac{1}{n!}\sum _{\sigma \in S_n}{\alpha }_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{\sigma (n)}\end{array}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

可以证明，带有此乘积的 $S^{\ast }(V^{\ast })$ 同构于 $V.$ 上的多项式代数。为了说明其运作方式的一个简单例子，取 $v_j\in V^{\ast }$ 为第 $j$ 个坐标函数。那么，$v_j$ 中的单项式与 $S^{\ast }(V^{\ast })$ 的元素之间的对应关系由下式给出

$$v_j^n\leftrightarrow \underset{\text{ n - times }}{\underbrace{(v_j\otimes v_j\otimes \cdots \otimes v_j)}}\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

两侧都可以看作 $V_{;}$ 上的同一个函数，其由计算 $v\in V$ 的第 $j$ 个坐标并将其自身相乘 $n$ 次给出。

我们之后会发现一个有用的事实：$S^{\ast }(V^{\ast })$ 与 $(S^{\ast }(V){)}^{\ast }$ 同构，其张量积为

$$\left({\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_j\right)\in S^{\ast }(V^{\ast })$$

对应于该线性映射

$${\mathbf{e}}_{i_1}\otimes \cdots \otimes {\mathbf{e}}_{i_j}\to {\alpha }_1({\mathbf{e}}_{i_1})\dots {\alpha }_j({\mathbf{e}}_{i_j})$$

反对称双线性形式位于 ${\Lambda }^2(V^{\ast })\subset V^{\ast }\otimes V^{\ast }$ 中，并对应于反对称矩阵。可以在 $V^{\ast }$ 上定义一种取值于 ${\Lambda }^2(V^{\ast })$ 的乘法（称为“楔积”），其定义为

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2)\in V^{\ast }\times V^{\ast }\to {\alpha }_1\wedge {\alpha }_2=\frac{1}{2}({\alpha }_1\otimes {\alpha }_2-{\alpha }_2\otimes {\alpha }_1)\in {\Lambda }^2(V^{\ast })\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

这个乘法可以延拓为该空间上的一个乘积

$${\Lambda }^{\ast }(V^{\ast })={\oplus }_n{\Lambda }^n(V^{\ast })$$

（称为反对称多重线性形式空间）通过定义

$$\begin{array}{rl}({\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_j)\wedge ({\alpha }_{j+1}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_n)& =P^{-}({\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_n)\\ & \equiv \frac{1}{n!}\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{|\sigma |}{\alpha }_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes {\alpha }_{\sigma (n)}\end{array}\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

这可用于在不同次数的反对称多重线性形式空间上得到乘积，从而给出在许多方面类似于多项式代数的东西（尽管没有在点 $v$ 处求值的概念）。这在费米子的描述中起作用，并将在第 30 章中更详细地考虑。与对称情形非常相似，${\Lambda }^{\ast }(V^{\ast })$ 与 $({\Lambda }^{\ast }(V){)}^{\ast }$ 之间存在同构

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来源版本：2025-10-20

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