3.3 向量空间同态

English

若 $V$ 和 $W$ 是同一域 $K$ 上的两个向量空间，则映射 $T : V \to W$ 称为线性映射(linear map)，或称从 $V$ 到 $W_{;}$ 的向量空间同态(vector space homomorphism)，如果

T (a u + b v) = a T u + b T v (3.1)

对所有 $a, b \in K$ 和所有 $u, v \in V$ 。右侧的记号 $T u$ 通常用来代替 $T (u)$ 。向量空间同态与群同态起着类似的作用，因为它们保持定义向量空间的基本运算——向量加法和标量乘法。它们是向量空间范畴的态射。

由于 $T (u + 0) = T u = T u + T 0.$ ，可知在线性映射下， $V$ 的零向量映为 $W$ 的零向量，即 $T 0 = 0$ 。然而请注意，此方程两边的零向量位于不同的空间中，严格说来是不同的向量。

一个单射且满射的线性映射 $T : V \to W$ 称为向量空间同构(vector space isomorphism)。此时，逆映射 $T^{- 1} : W \to V$ 也必定是线性的。因为若 $u, v \in W$ ，令

$u^{'} = T^{- 1} u, v^{'} = T^{- 1} v$ 然后

T^{- 1} (a u + b v) = T^{- 1} (a T u^{'} + b T v^{'}) = T^{- 1} (T (a u^{'} + b v^{'})) = id_{V} (a u^{'} + b v^{'}) = a u^{'} + b v^{'} = a T^{- 1} u + b T^{- 1} v .

两个向量空间 $V$ 与 $W$ 称为同构的，记作 $V ≅ W$ ，若存在向量空间同构 $T : V \to W$ 。两个同构的向量空间在它们的全部性质上本质上完全相同。

例 3.10

考虑集合 $P_{n} (x)$ ，它由所有次数为 $\leq n .$ 的实值多项式组成
$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$
次数为 $\leq n$ 的多项式可以按显然的方式相加，并与标量相乘，
$f (x) + g (x) = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{n} + b_{n}) x^{n}, c f (x) = c a_{0} + c a_{1} x + c a_{2} x^{2} + \dots + c a_{n} x^{n},$
使 $P_{n} (x)$ 成为一个向量空间。映射 $S : P_{n} (x) \to R^{n + 1}$ 由
$S (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$
是一一且满射的，并且显然保持基本的向量空间运算，
$S (f (x) + g (x)) = S (f (x)) + S (g (x)), S (a f (x)) = a S (f (x)) .$
因此， $S$ 是向量空间同构，并且 $P_{n} (x) ≅ R^{n + 1}$

所有只有有限个非零项 $(a_{0}, a_{1}, \dots)$ 的实数序列 $\hat{R}^{\infty}$ 的集合 $a_{i} \neq = 0$ 是一个向量空间，使用与例 3.6 中 $R^{\infty}$ 相同的向量加法和标量乘法规则。 $\hat{R}^{\infty}$ 的元素是形如 $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{m}, 0, 0, 0, \dots)$ 的实数序列。令 $P (x)$ 为所有实多项式的集合， $P (x) =$ $P_{0} (x) \cup P_{1} (x) \cup P_{2} (x) \cup ..$ 。显然，这是关于多项式加法和标量乘法的标准规则下的一个向量空间。由下式定义的映射 $S : \hat{R}^{\infty} \to P$
$S : (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{m}, 0, 0, \dots) \mapsto a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}$
是一个同构。

很容易验证，第1.4节中定义的包含映射，

i_{1} : \hat{R}^{\infty} \to R^{\infty} and i_{2} : P_{n} (x) \to P (x)

是向量空间同态。

设 $L (V, W)$ 表示从 $V$ 到 $W$ 的所有线性映射的集合。若 $T$ 、 $S$ 是从 $V$ 到 $W$ 的线性映射，加法 $T + S$ 与标量乘法 $a T$ 定义为

(T + S) (u) = T u + S u, (a T) u = a T u .

集合 $L (V, W)$ 关于这些运算构成一个向量空间。该空间的其他常见记号有 $Hom (V, W)$ 和 $Lin (V, W)$ 。

随文练习

验证 $L (V, W)$ 满足向量空间的所有公理。

若 $T \in L (U, V)$ 且 $S \in L (V, W)$ ，则定义它们的乘积为复合映射 $S T = S \circ T : U \to W;$

(S T) u = S (T u) .

这个映射显然是线性的，因为

S T (a u + b v) = S (a T u + b T v) = a S T u + b S T v .

若 $S$ 和 $T$ 是可逆线性映射，则它们的乘积 $S T$ 也是可逆的，并且 $(S T)^{- 1} : W \to U$ 满足

(S T)^{- 1} = T^{- 1} S^{- 1}, (3.2)

由于

T^{- 1} S^{- 1} S T = T^{- 1} id_{V} T = T^{- 1} T = id_{U} .

线性映射 $S : V \to V$ 称为 $V$ 上的线性算符(linear operator)。它们构成向量空间 $L (V, V)$ 。若 $S$ 是 $V$ 上的可逆线性算符，则称其为 $V$ 上的线性变换(linear transformation)。它可以视为 $V$ 到自身的向量空间同构，或 $V$ 的自同构。 $V$ 的线性变换关于复合乘法构成一个群，称为 $V$ 上的一般线性群(general linear group)，记作 $G L (V)$ 。群的性质容易证明：

封闭性：若 $S$ 和 $T$ 是 $V$ 的线性变换，则 $S T$ 也是，因为 (a) 它是线性映射，且 (b) 由式 (3.2) 它是可逆的。

结合律：这对所有映射都成立（见 1.4 节）。

单位：恒等映射 $id$ 是线性的且可逆。

逆元：如上所示，任意向量空间同构 $T^{- 1}$ 的逆元 $T$ 是线性的。

然而请注意， $G L (V)$ 并非向量空间，因为将 $V$ 中每个向量映射为零向量 0 的零算子不可逆，因此不属于 $G L (V)$ 。

习题

习题 3.3

证明无限维向量空间 $R^{\infty}$ 与它的一个真子空间同构。

习题 3.4

在实系数多项式关于变量 $x$ 的向量空间 $P (x)$ 上，令 $x$ 为乘以多项式 $x$ 的运算，并令 $D$ 为微分运算，
$x : f (x) \mapsto x f (x), D : f (x) \mapsto \frac{d f ( x )}{d x} .$
证明这两个都是 $P (x)$ 上的线性算符，并且 $D x - x D = I$ ，其中 $I$ 是恒等算符。

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