线性映射 / Linear map

Szekeres · §3.3 向量空间同态

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若 $V$ 和 $W$ 是同一域 $\mathbb{K}$ 上的两个向量空间，则映射 $T:V\to W$ 称为线性映射(linear map)，或称从 $V$ 到 $W_{;}$ 的向量空间同态(vector space homomorphism)，如果

$$T(au+bv)=aTu+bTv\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

对所有 $a,b\in \mathbb{K}$ 和所有 $u,v\in V$。右侧的记号 $Tu$ 通常用来代替 $T(u)$。向量空间同态与群同态起着类似的作用，因为它们保持定义向量空间的基本运算——向量加法和标量乘法。它们是向量空间范畴的态射。

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原书上下文：§3.2

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原文位置：§3.3；PDF 页 5；印刷页 63

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Woit · §4.1 Vector spaces and linear maps

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基 $\{{\mathbf{e}}_j\}$ 的选择也使我们能够表达 线性算符 $L$ 对 $V$ 的作用

$$L:v\in V\to Lv\in V$$

作为乘以一个 $n$ 乘 $n$ 矩阵：

$$\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}{L}_{11}& L_{12}& \dots & L_{1n}\\ L_{21}& L_{22}& \dots & L_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ L_{n1}& L_{n2}& \dots & L_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$$

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.1；PDF 页 52；印刷页 35

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