9.5 双线性形式与张量积

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张量积的一种不同类型的应用将被证明是重要的，即用于描述双线性形式，它推广了 $V$ 上线性形式构成的对偶空间 $V^{*}$ 。我们有：

定义（双线性型）

域 $k (f or u s, k = R or C)$ 上的向量空间 $V$ 上的双线性型 $B$ 是一个映射
$B : (v, v^{'}) \in V \times V \to B (v, v^{'}) \in k$
即对两个自变量均为双线性的，也就是说，
$B (v + v^{'}, v^{''}) = B (v, v^{''}) + B (v^{'}, v^{''}), B (c v, v^{'}) = c B (v, v^{'})$ $B (v, v^{'} + v^{''}) = B (v, v^{'}) + B (v, v^{''}), B (v, c v^{'}) = c B (v, v^{'})$
其中 $c \in k$

如果 $B (v^{'}, v) = B (v, v^{'})$ ，则该双线性形式称为对称的；如果 $B (v^{'}, v) =$ $- B (v, v^{'})$ ，则它是反对称的。

与张量积的关系是

定理

9.2。 $V$ 上的双线性形式空间同构于 $V^{*} \otimes V^{*}$

证明

该映射

α_{1} \otimes α_{2} \in V^{*} \otimes V^{*} \to B : B (v, v^{'}) = α_{1} (v) α_{2} (v^{'})

以与基无关的方式给出了我们所寻找的同构。可以用一个基证明这是一个同构。选取 $e_{j}$ 作为 $V_{:}$ 的一个基，坐标函数 $v_{j} = e_{j}^{*}$ 给出 $V^{*}$ 的一个基，因此 $v_{j} \otimes v_{k}$ 将是 $V^{*} \otimes V^{*}$ 的一个基。上述映射将这些元素的线性组合映为双线性形式，并且容易看出，对于这样的线性组合，它既是单射又是满射。□

给定 $V$ 的一个基 $e_{j}$ 以及 $V^{*}$ 的对偶基 $v_{j}$ （坐标），对应于 $B$ 的 $V^{*} \otimes V^{*}$ 的元素可以写成和

j, k \sum B_{j k} v_{j} \otimes v_{k}

这用矩阵 $B$ 表示双线性形式 $B$ ，其元素为 $B_{j k}$ ，可按如下方式计算

B_{j k} = B (e_{j}, e_{k})

就矩阵 $B$ 而言，双线性形式计算为

B (v, v^{'}) = (v_{1} \dots v_{d}) B_{11} ⋮ B_{d 1} \dots ⋮ \dots B_{1 d} ⋮ B_{dd} v_{1}^{'} ⋮ v_{d}^{'} = v \cdot B v^{'}

来源与版本

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核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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