10.3 自由粒子的能量-动量关系与薛定谔方程

10.3 自由粒子的能量-动量关系与薛定谔方程

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我们将在第40章回顾这一主题，但目前我们只需要狭义相对论所设定的能量与动量之间的关系。空间和时间被组合在“闵可夫斯基空间”中，即具有不定内积的${\mathbf{R}}^4$

$$((u_0,u_1,u_2,u_3),(v_0,v_1,v_2,v_3))=-u_0{v}_0+u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$$

能量和动量是闵可夫斯基空间向量 $(p_0=$ $E,p_1,p_2,p_3)$ 的分量，其范数平方由负的质量平方给出：

$$((E,p_1,p_2,p_3),(E,p_1,p_2,p_3))=-E^2+|\mathbf{p}{|}^2=-m^2$$

这是选择空间和时间单位使得光速为 1 的公式。为了把单位取正确而加入光速因子 $c$，就有

$$E^2-|\mathbf{p}{|}^2{c}^2=m^2{c}^4$$

此有两个特例：

• 对于光子，$m=0,$，并且有能量动量关系 $E=|\mathbf{p}|c$

• 对于远小于 $c$ 的速度 $v$（因而动量 |p| 远小于 mc），有

$$E=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2{c}^2+m^2{c}^4}=c\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2{c}^2}\approx \frac{c|\mathbf{p}{|}^2}{2mc}+m{c}^2=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}+m{c}^2$$

在非相对论极限下，我们使用这一能量-动量关系来描述速度远小于$c$的粒子，通常略去与动量无关的常数项$m{c}^2$

在后面的章节中，我们将讨论描述光子的量子系统，以及为相对论性粒子构造量子系统的其他可能方式。不过现在，我们只考虑非相对论性情形。为了描述一个量子非相对论性粒子，我们选择一个哈密顿算子$H$，使得它的特征值（能量）通过经典的能量-动量关系$\begin{array}{r}E=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}\end{array}$与动量算符的特征值（动量）相联系：

$$H=\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2+P_3^2)=\frac{1}{2m}|\mathbf{P}{|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)$$

于是薛定谔方程变为：

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{q},t)=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)\psi (\mathbf{q},t)=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\mathbf{q},t)$$

这是一个易于求解的简单常系数二阶偏微分方程。一种求解方法是分离出时间依赖性，首先求出时间无关方程的解${\psi }_E$

$$H{\psi }_E(\mathbf{q})=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2{\psi }_E(\mathbf{q})=E{\psi }_E(\mathbf{q})\text{\hspace{1em}(10.3)}$$

具有特征值$E$的哈密顿算符。然后

$$\psi (\mathbf{q},t)={\psi }_E(\mathbf{q})e^{-\frac{i}{\hslash }tE}$$

将给出全时间相关方程的解

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{q},t)=H\psi (\mathbf{q},t)$$

${\psi }_E(\mathbf{q})$ 是定态方程 10.3 的解，它们是正比于

$$e^{i(k_1{q}_1+k_2{q}_2+k_3{q}_3)}=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}$$

满足

$$\frac{-{\hslash }^2}{2m}{i}^2|\mathbf{k}{|}^2=\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}{|}^2}{2m}=E$$

因此我们发现，薛定谔方程的解由态 |k⟩ 的线性组合给出，这些态由向量 $k$ 标记，并且是动量算符和哈密顿算符的本征态，其

$$P_j|\mathbf{k}⟩=\hslash k_j|\mathbf{k}⟩,H|\mathbf{k}⟩=\frac{{\hslash }^2}{2m}|\mathbf{k}{|}^2|\mathbf{k}⟩$$

这些是具有确定动量和能量的态

$$p_j=\hslash k_j,E=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}$$

因此，它们满足与经典非相对论粒子完全相同的那组能量-动量关系。

虽然量子力学态空间 $H$ 包含具有经典能量-动量关系的态，但它还包含多得多的内容，因为它包括这类态的线性组合。在 $t$ = 0 时，态可以是一个和

$$|\psi ⟩=\sum _{\mathbf{k}}{c}_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}$$

其中 $c_{\mathbf{k}}$ 是复数。该态一般不具有明确定义的动量，但测量理论指出，测量动量的仪器将以概率观测到值 ℏk

$$\frac{|c_{\mathbf{k}}{|}^2}{{\sum }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}|c_{{\mathbf{k}}^{\prime }}{|}^2}$$

含时状态将是

$$|\psi (t)⟩=\sum _{\mathbf{k}}{c}_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}{e}^{-it\hslash \frac{|\mathbf{k}{|}^2}{2m}}$$

由于每个动量本征态随时间按相位因子演化

$$e^{-it\hslash \frac{|\mathbf{k}{|}^2}{2m}}$$

观测到某一动量值的概率随时间保持不变。

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