10.2 时间与空间中的平移

10.2 时间与空间中的平移

10.2.1 能量与时间平移群R

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示

我们已经看到，量子力学的一条基本公理是，负责无穷小时间平移的可观测量算符是哈密顿算子 $H$，这一事实被表述为薛定谔方程

$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi ⟩=H|\psi ⟩$$

当$H$不依赖于时间时，该方程可以理解为反映了时间平移群$R$在状态空间$\mathcal{H}$上存在酉表示$(U(t),\mathcal{H})$。

当$H$是有限维时，$R$在$H$上的可微酉表示$U(t)$具有如下形式这一事实

$$U(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }tH}$$

对于 $H$，一个自伴矩阵可由与定理 2.3 中相同类型的论证得到。这样的 a $U(t)$ 通过以下方式给出薛定谔方程的解

$$|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩$$

$R$ 的李代数也是 $R$，并且通过对 $U(t)$ 求时间导数，我们得到 $R$ 的一个李代数表示，这给出我们

$$\hslash \frac{d}{dt}U(t{)}_{|t=0}=-iH$$

因为这个李代数表示来自对酉表示求导，所以$-iH$将是斜伴随的，因此$H$将是自伴的。

10.2.2 动量与空间平移群 R³

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示

既然我们现在想要描述不仅依赖于时间、还依赖于空间变量 $\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$ 的量子系统，我们将有一个不仅由时间平移群 $R$、而且由空间平移群 ${\mathbf{R}}^3$ 的酉变换所给出的作用。我们将使用自伴算符 $P_1,P_2,P_3$ 来定义相应的李代数表示，这些算符对空间平移所起的作用与哈密顿算子对时间平移所起的作用相同：

定义（动量算符）

对于状态空间为 $\mathcal{H}=L^2({\mathbf{R}}^3)$、由位置变量 $q_1,q_2,q_3$ 的复值函数给出的量子系统，动量算符 $P_1,P_2,P_3$ 定义为

$$P_1=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_1},P_2=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_2},P_3=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_3}$$

这些被称为“动量算符”，因为我们将看到它们的特征值可以解释为系统动量向量的分量，正如哈密顿算子的特征值可以解释为能量。注意，在哈密顿算子的情形中，因子ℏ记录了能量与时间单位的相对归一化，而在这里，它对动量与长度单位起着相同的作用。如果对动量和长度的单位作出适当选择，它可以被设为1。

微分算符是斜伴随的，因为利用分部积分³，对每个变量，对于${\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{H}$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\overline{\psi }}_1\left(\frac{d}{dq}{\psi }_2\right)dq& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{d}{dq}({\overline{\psi }}_1{\psi }_2)-\left(\frac{d}{dq}{\overline{\psi }}_1\right){\psi }_2\right)dq\\ & =-{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{d}{dq}{\overline{\psi }}_1\right){\psi }_{2}dq\end{array}$$

（假设 ${\psi }_j(q)$ 在 $0\mathrm{at}\pm \infty )$ 处趋于零。因此 $P_j$ 是自伴算符，其具有实特征值，正如可观测量算符所预期的那样。乘以 −$i$ 以得到酉李代数表示所对应的斜伴随算符，我们得到）

$$-i{P}_j=-\hslash \frac{\partial }{\partial q_j}$$

在依赖于单位的ℏ因子意义下，这些恰好是李代数基元素上的李代数表示算符，对应于${\mathbf{R}}^{\bar{3}}$在${\mathbf{R}}^3$上的函数上由平移诱导的作用：

$$\pi (a_1,a_2,a_3)f(q_1,q_2,q_3)=f(q_1-a_1,q_2-a_2,q_3-a_3)$$ $${\pi }^{\prime }(a_1,a_2,a_3)=a_1(-i{P}_1)+a_2(-i{P}_2)+a_3(-i{P}_3)=-\hslash \left(a_1\frac{\partial }{\partial q_1}+a_2\frac{\partial }{\partial q_2}+a_3\frac{\partial }{\partial q_3}\right)$$

请注意，这里符号选择的约定与哈密顿算子 $\begin{array}{r}(-iP=-\hslash \frac{d}{da}vs.-iH=\hslash \frac{d}{dt})\end{array}$ 的情形相反。这意味着我们一直为哈密顿算子采用的常规符号选择，使其成为时间方向上平移生成元的负值。其原因来自狭义相对论的考虑（将在第 40 章讨论），其中时空上的内积对空间维和时间维具有相反的符号。

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash