11.5 动量空间中的薛定谔方程的解

11.5 动量空间中的薛定谔方程的解

式11.7表明，在傅里叶变换下，导数算符$\frac{d}{dq}$变为乘法算符$ik,$，这一性质将推广到分布。傅里叶变换将$q$中的常系数微分方程变为$k,$中的多项式方程，后者通常更容易求解，包括解为分布的可能性。自由粒子薛定谔方程

$$i\frac{\partial }{\partial t}\psi (q,t)=-\frac{1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial q^2}\psi (q,t)$$

在$q$变量中经过傅里叶变换后，成为简单的常微分方程

$$i\frac{d}{dt}\tilde{\psi }(k,t)=\frac{1}{2m}{k}^2\tilde{\psi }(k,t)$$

附解答

$$\tilde{\psi }(k,t)=e^{-i\frac{1}{2m}{k}^{2}t}\tilde{\psi }(k,0)$$

动量和能量本征态的解将是分布，具有初值

$$\tilde{\psi }(k,0)=\delta (k-k^{\prime })$$

这些将具有动量$k^{\prime }$和能量$\begin{array}{r}E=\frac{{k^{\prime }}^2}{2m}\end{array}$。解空间可以与初值数据$\psi (k,0)$的空间等同起来，后者可以取在$S(R)$、$L^2(\mathbf{R})$或$S^{\prime }(\mathbf{R})$)中。

可以不使用依赖于时间的动量空间解$\tilde{\psi }(\mathbf{k},t)$，而是对时间变量作傅里叶变换，定义

$$\hat{\psi }(k,\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega t}\tilde{\psi }(k,t)dt$$

正如 $q$ 中的傅里叶变换将 $\frac{d}{dq}$ 变为乘以 $ik,$，这里 $t$ 中的傅里叶变换将 $\frac{d}{dt}$ 变为乘以 $-i\omega$。注意相位因子中的符号约定与空间傅里叶变换相反，选择这一约定是为了与动量和能量定义中空间平移和时间平移的相反符号约定相一致。

对于自由粒子解，人们发现

$$\begin{array}{rl}\hat{\psi }(k,\omega )& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega t}{e}^{-i\frac{1}{2m}{k}^{2}t}\tilde{\psi }(k,0)dt\\ & =\delta (\omega -\frac{1}{2m}{k}^2)\sqrt{2\pi }\tilde{\psi }(k,0)\end{array}$$

因此，$\hat{\psi }(\mathbf{k},\omega )$ 将是 $k-\omega$ 空间上的一个分布，它仅在抛物线 $\begin{array}{r}\omega =\frac{1}{2m}{k}^2\end{array}$ 上非零。解空间可以等同于支集在该抛物线上的函数（或分布）空间。能量为 $E$ 的能量本征态将是依赖于 $\omega$ 的分布，其形式为

$${\hat{\psi }}_E(k,\omega )=\delta (\omega -E){\tilde{\psi }}_E(k)$$

对于自由粒子解，$\begin{array}{r}E=\frac{k^2}{2m}.{\tilde{\psi }}_E(k)\end{array}$ 将是 $k$ 中的分布，并带有一个因子 $\begin{array}{r}\delta (E-\frac{k^2}{2m})\end{array}$

对于任意函数 $f(k)$，狄拉克函数分布 $\delta (f(k))$ 仅依赖于 $f$ 在其零点附近的行为。若在这样的零点处 $f^{\prime }\ne 0$，则（利用 $f$ 零点附近的线性近似）有

$$\delta (f(k))=\sum _{k_j:f(k_j)=0}\delta (f^{\prime }(k_j)(k-k_j))=\sum _{k_j:f(k_j)=0}\frac{1}{|f^{\prime }(k_j)|}\delta (k-k_j)\text{\hspace{1em}(11.9)}$$

将其应用于 $\begin{array}{r}f(k)=E-\frac{k^2}{2m}\end{array}$ 的情形，其图像有两个零点，位于 $k=\pm \sqrt{2mE}$，并且看起来像

图 11.1：在 $f(k)=E-\frac{k^2}{2m}$ 的零点附近的线性近似

我们发现

$$\delta (E-\frac{k^2}{2m})=\sqrt{\frac{m}{2E}}(\delta (k-\sqrt{2mE})+\delta (k+\sqrt{2mE}))$$

和

$${\tilde{\psi }}_E(k)=c_{+}\delta (k-\sqrt{2mE})+c_{-}\delta (k+\sqrt{2mE})\text{\hspace{1em}(11.10)}$$

两个复数$c_{+},c_{-}$给出了能量为$E$的自由粒子解具有动量$\pm \sqrt{2mE}$的振幅

在三个空间维数的物理情形中，人们得到解

$$\tilde{\psi }(\mathbf{k},t)=e^{-i\frac{1}{2m}|\mathbf{k}{|}^{2}t}\tilde{\psi }(\mathbf{k},0)$$

而解空间是 ${\mathbf{R}}^3$ 上函数（或分布）$\tilde{\psi }(\mathbf{k},0)$ 的空间。能量为 $E$ 的能量本征态将由仅在动量空间中半径为 $\sqrt{2mE}$ 的球面 $|\mathbf{k}{|}^2/2m=E$ 上非零的分布给出（这些将在第 19 章中详细研究）。

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