11.4 线性变换与分布

11.4 线性变换与分布

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射

将分布定义为向量空间$\mathcal{S}(\mathbf{R})$上的线性泛函，意味着对于任何作用于$S(\mathbf{R})$的线性变换$A$，我们可以得到$S^{\prime }(\mathbf{R})$上的一个线性变换，作为$A$的转置（见方程4.1），它将$T$映为

$$A^{t}T:f\in \mathcal{S}(\mathbf{R})\to (A^{t}T)[f]=T[Af]\in \mathbf{C}$$

这给出了 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 上傅里叶变换的一个定义，即

$${\mathcal{F}}^{t}T[f]\equiv T[\mathcal{F}f]$$

并且可以证明，正如对于 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 和 $L^2(\mathbf{R})$ 那样，傅里叶变换给出了 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 与自身的同构。将函数 $\psi$ 与分布等同起来

$T_{\psi },$ 有

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^t{T}_{\psi }[f]& \equiv T_{\psi }[\mathcal{F}f]\\ & =T_{\psi }\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}f(q)dq\right]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi (k)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}f(q)dq\right)dk\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}\psi (k)dk\right)f(q)dq\\ & =T_{\mathcal{F}\psi }[f]\end{array}$$

表明傅里叶变换与这一等同是相容的。

作为一个例子，分布 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ika}$ 的傅里叶变换是 $\delta$-函数 $\delta (q-a)$，因为

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^t{T}_{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ika}}[f]& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{ika}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}f(q)dq\right)dk\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ik(q-a)}dk\right)f(q)dq\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (q-a)f(q)dq\\ & =T_{\delta (q-a)}[f]\end{array}$$

关于线性变换作用于 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 的另一个例子，考虑对函数 $f{A}_{a}f$ 的平移作用，其中

$$(A_{a}f)(q)=f(q-a)$$

分布上的转置作用为

$$A_a^t{T}_{\psi (q)}=T_{\psi (q+a)}$$

因为

$$A_a^t{T}_{\psi (q)}[f]=T_{\psi (q)}[f(q-a)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi (q)f(q-a)dq={\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi (q^{\prime }+a)f(q^{\prime })d{q}^{\prime }$$

导数是这一概念的无穷小版本，并且可以看出（利用分部积分），

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{d}{dq}\right)}^t{T}_{\psi (q)}[f]& =T_{\psi (q)}\left[\frac{d}{dq}f\right]\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi (q)\frac{d}{dq}f(q)dq\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(-\frac{d}{dq}\psi (q)\right)f(q)dq\\ & =T_{-\frac{d}{dq}\psi (q)}[f]\end{array}$$

为了在将函数与分布等同起来时仍能保有标准导数，人们通过以下方式定义分布上的导数：

$$\frac{d}{dq}T[f]=T\left[-\frac{d}{dq}f\right]$$

这允许定义 a $\delta$-函数的导数，例如 $\delta (q)$ 的一阶导数 ${\delta }^{\prime }(q)$ 满足

$$T_{{\delta }^{\prime }(q)}[f]=-f^{\prime }(0)$$

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