19 量子自由粒子作为欧氏群的一个表示
自由粒子的量子理论与空间和时间对称性群的表示论密切相关。对于相对论性理论，这一点是众所周知的，其中相关的是庞加莱e群的表示论，这一主题将在第42章讨论。不太为人所知的是，即使在非相对论情形下，空间对称性的欧氏群也起着类似的作用，其中的不可约表示对应于固定能量值下的自由粒子量子理论。在本章中，我们将针对二维和三维空间考察这一现象。
二维和三维的欧氏群 与 通过哈密顿群作用作用于相空间。相应的矩映射（平移对应的动量 ，旋转对应的角动量 ）与自由粒子哈密顿量泊松对易，从而给出理论的对称性。量子自由粒子理论随后提供了欧氏群酉表示的一种构造，其中固定能量的态空间给出一个不可约表示。动量算符 给出平移在态空间上的无穷小作用，而角动量算符 给出无穷小旋转作用（在二维中只有一个角动量算符 ，因为 的维数为一；在三维中有三个，因为 SO(3) 的维数为三）。
自由粒子的哈密顿算子正比于算符。这是一个二次算符，它与欧氏群李代数所有元素的作用对易，因此是一个卡西米尔算符，其作用类似于第8.4节中卡西米尔算符的作用。不可约表示将由该算符的特征值标记，在此情形下该特征值正比于能量。在薛定谔表示中，是微分算符，因此这将是一个二阶微分算符，而特征值方程将是一个二阶微分方程（定态薛定谔方程）。
利用傅里叶变换，固定能量的薛定谔方程的解空间变得容易分析得多，它成为动量空间上仅支集在固定长度动量子空间上的函数空间（或更一般地，分布空间）。在 的情形下，这只是一个圆，而对于 则是一个球面。在两种情形下，对每个半径都以这种方式得到一个不可约表示。
在 的情形下，可以构造其他类的不可约表示。这可以通过引入多分量波函数来实现，并赋予旋转群 一个新的作用。在这种情况下，第二个卡西米尔算符是可用的，而不可约表示是此算符在固定能量波函数空间中的本征函数。这第二个卡西米尔算符的本征值结果正比于一个整数，即表示的“螺旋度”。
本章目录
来源与版本
正文：中文 · 机器译稿 · 待校对
核对状态：机器译稿 · 待校对
原书 PDF · 印刷页 210、211、212、213、214、215、216、217、218、219、220
来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
OCR 来源 SHA-256：96747283728210a94caf040995427342b95d9623aec43d018ba9712da0c11296
译稿产物 SHA-256：6e58a3b6f8cae3b0e264f2393b55eb77a68f3335c60f517a6050c9b827c72701
机翻模型：deepseek-v4.1-flash