18.1 一个例子：欧氏群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 群在集合上的作用

给定两个群 $G^{'}$ 和 $G^{''}$ ，通过取元素对 $(g^{'}, g^{''}) \in G^{'} \times G^{''}$ 构成一个乘积群。然而，当这两个群作用在同一个空间上，但 $G^{'}$ 与 $G^{''}$ 的元素不可交换时，就需要一种不同类型的乘积群来描述群作用。作为一个例子，考虑元素对 $(a_{2}, R_{2})$ 的情形，其中元素 $a_{2} \in R^{3}$ 和 $R_{2} \in S O (3)$ 通过平移和旋转作用在 $R^{3}$ 上

v \to (a_{2}, R_{2}) \cdot v = a_{2} + R_{2} v

若随后用 $(a_{1}, R_{1})$ 作用于该结果，则得到

(a_{1}, R_{1}) \cdot ((a_{2}, R_{2}) \cdot v) = (a_{1}, R_{1}) \cdot (a_{2} + R_{2} v) = a_{1} + R_{1} a_{2} + R_{1} R_{2} v

注意，这并非取 $R^{3} \times S O (3)$ 上的乘积群法则所得到的结果，因为那样的话， $(a_{1}, R_{1}) (a_{2}, R_{2})$ 对 $R^{3}$ 的作用将会是

v \to a_{1} + a_{2} + R_{1} R_{2} v

为了在 $R^{3}$ 上得到正确的作用量，人们不应采用乘积群法则来取 $R^{3} \times S O (3)$ ，而应采用群法则

(a_{1}, R_{1}) (a_{2}, R_{2}) = (a_{1} + R_{1} a_{2}, R_{1} R_{2})

该群法则与标准乘积法则相差一项 $R_{1} a_{2}$ ，该项是 $R_{1} \in S O (3)$ 非平凡作用于 $a_{2} \in R^{3}$ 的结果。我们将具有该群法则的集合 $R^{3} \times S O (3)$ 记为

R^{3} ⋊ S O (3)

这是保持标准内积不变的 $R^{3}$ 的保定向变换群。

同样的构造在任意维数下都成立，其中有：

定义（欧氏群）

维数 $d$ 中的欧氏群 $E (d)$ （有时写作 $I S O (d)$ ，表示“非齐次”旋转群）作为集合是 $R^{d}$ 的平移群与旋转群的乘积，其乘法法则为
$(a_{1}, R_{1}) (a_{2}, R_{2}) = (a_{1} + R_{1} a_{2}, R_{1} R_{2})$

（其中 $a_{j} \in R^{d}, R_{j} \in S O (d))$ ，并且可以记作 $b y$

R^{d} ⋊ S O (d)

$E (d)$ 也可以写成一个矩阵群，将其视为 $G L (d + 1, R)$ 中形如（ $R$ 是 a $d$ 乘 $d$ 正交矩阵，a a $d$ 维列向量）的矩阵构成的子群

(R 0 a 1)

由矩阵乘法可得 $E (d)$ 的乘法法则，因为

(R_{1} 0 a_{1} 1) (R_{2} 0 a_{2} 1) = (R_{1} R_{2} 0 a_{1} + R_{1} a_{2} 1)

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来源版本：2025-10-20

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