18.2 半直积群

上一节的欧氏群例子可以推广为以下内容：

定义（半直积群）

给定一个群 $K,$ 、一个群 $N,$ ，以及 $K$ 通过自同构对 $N$ 的一个作用 $Φ$
$Φ_{k} : n \in N \to Φ_{k} (n) \in N$

半直积 $N \times K$ 是满足群乘法的一组对 $(n, k) \in N \times K$ 的集合

(n_{1}, k_{1}) (n_{2}, k_{2}) = (n_{1} Φ_{k_{1}} (n_{2}), k_{1} k_{2})

人们可以很容易地验证这满足群公理。逆是

(n, k)^{- 1} = (Φ_{k^{- 1}} (n^{- 1}), k^{- 1})

检查结合性，可得

((n_{1}, k_{1}) (n_{2}, k_{2})) (n_{3}, k_{3}) = (n_{1} Φ_{k_{1}} (n_{2}), k_{1} k_{2}) (n_{3}, k_{3}) = (n_{1} Φ_{k_{1}} (n_{2}) Φ_{k_{1} k_{2}} (n_{3}), k_{1} k_{2} k_{3}) = (n_{1} Φ_{k_{1}} (n_{2}) Φ_{k_{1}} (Φ_{k_{2}} (n_{3})), k_{1} k_{2} k_{3}) = (n_{1} Φ_{k_{1}} (n_{2} Φ_{k_{2}} (n_{3})), k_{1} k_{2} k_{3}) = (n_{1}, k_{1}) (n_{2} Φ_{k_{2}} (n_{3}), k_{2} k_{3}) = (n_{1}, k_{1}) ((n_{2}, k_{2}) (n_{3}, k_{3}))

该构造的记号 $N \times K$ 有一个缺点，即没有明确表示出它所依赖的自同构 $Φ$ 。对于 $Φ$ 可能存在多种选择，而这些选择总是包含对所有 $k \in K$ 取平凡选择 $Φ_{k} = 1$ ，这将给出群的标准乘积。

题外话。对于熟悉正规子群概念的人， $N$ 是 $N \times K$ 的正规子群。 $^{66} N$ 是 $G^{s}$ 的正规子群的标准记号是 $N ◃ G$ 。符号 $N \times K$ 应当是 × 与 ✁ 符号的混合（注意，有些作者将其定义为指向相反方向）。

欧氏群 $E (d)$ 是一个具有 $N = R^{d}, K = S O (d)$ 的例子。对于 $a \in R^{d}, R \in S O (d)$ ，有

Φ_{R} (a) = R a

在第 42 章中，我们将看到另一个重要的例子，即庞加莱e群，它将 $E (3)$ 推广到包含一个时间维数，并按照狭义相对论的原则处理空间和时间。

量子理论中最重要的例子是：

定义（雅可比群）

$d$ 维的雅可比群是半直积群
$G^{J} (d) = H_{2 d + 1} ⋊ S p (2 d, R)$

如果我们将群的元素写为

(((c _{p} c _{q}), c), k)

其中 $k \in S p (2 d, R)$ ，则定义雅可比群的自同构 $Φ_{k}$ 由第 16.2 节所研究的那一个给出

Φ_{k} (((c _{p} c _{q}), c)) = (k (c _{p} c _{q}), c) (18.1)

注意，欧氏群 $E (d)$ 是雅可比群 $G^{J} (d)$ 的子群，即由形如

(((c _{p} 0), 0), (R 0 0 R))

其中 $R \in S O (d)$ 。该

((c _{p} 0), 0) \subset H_{2 d + 1}

在 $q_{j}$ 坐标中构成平移群 $R^{d}$ ，并且

k = (R 0 0 R) \subset S p (2 d, R)

是辛变换，因为

Ω (k (c _{p} c _{q}), k (c _{p}^{'} c _{q}^{'})) = R c_{q} \cdot R c_{p}^{'} - R c_{p} \cdot R c_{q}^{'} = c_{q} \cdot c_{p}^{'} - c_{p} \cdot c_{q}^{'} = Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'}))

（ $R$ 是正交的，因此保持点积）。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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