16.2 辛群与海森堡群的自同构

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回到 $d = 1$ 的情形，我们发现两个三维李代数 $(h_{3}$ 和 $sl (2, R))$ ) 作为相空间上函数构成的无限维李代数的子代数：

• $h_{3}$ ，即 $M,$ 上线性多项式构成的李代数，其基为 1、 $q, p .$

$sl (2, R)$ ，即 $M .$ 上二次齐次多项式构成的李代数，其基为 $q^{2}, p^{2}, q p$

取所有二次多项式，我们得到一个六维李代数，其基元素为 $1, q, p, q p, q^{2}, p^{2}$ 。这不是 $h_{3}$ 与 $sl (2, R)$ 的直积，因为存在非零泊松括号

{q p, q} {\frac{p ^{2}}{2}, q} = - q, {q p, p} = p = - p, {\frac{q ^{2}}{2}, p} = q (16.15)

这些关系表明，对 $M$ 上线性函数的一个基与 $sl (2, R)$ 中的某个元素（一个二次函数）取泊松括号，给出了 $M^{*} = M$ 上的一个线性变换。

在本节中我们将看到，这是 $S L (2, R)$ 通过自同构作用于海森堡群 $H_{3}$ 这一事实的无穷小版本。我们首先一般性地讨论当一个李群 $G$ 通过自同构作用于一个李群 $H$ 时会发生什么，然后转向两个例子： $G$ 在其自身上的共轭作用，以及 $S L (2, R)$ 在 $H_{3}$ 上的作用

一个群通过自同构对另一个群的作用量是指以下内容：

定义（群自同构）

如果群 $G$ 的元素 $g$ 在群 $H$ 上的一个作用量
$h \in H \to Φ_{g} (h) \in H$
满足
$Φ_{g} (h_{1}) Φ_{g} (h_{2}) = Φ_{g} (h_{1} h_{2})$

对所有的 $g \in G$ 和 $h_{1}, h_{2} \in H$ ，称群 $G$ 通过自同构作用于 $H$ 。每个映射 $Φ_{g}$ 都是 $H$ 的自同构。注意，由于 $Φ_{g}$ 是 $G$ 的一个作用量，我们有 $Φ_{g_{1} g_{2}} = Φ_{g_{1}} Φ_{g_{2}}$

当这些群是李群时，对映射 $Φ_{g} : H H$ 在 $H$ 的单位元处取导数 $ϕ_{g} : h \to h$ ，便得到一个李代数自同构，其定义为

定义（李代数自同构）

如果群 $G$ 的元素 $g$ 对李代数 $h$ 的作用
$X \in h \to ϕ_{g} (X) \in h$
满足
$[ϕ_{g} (X), ϕ_{g} (Y)] = ϕ_{g} ([X, Y])$

对于所有 $g \in G$ 和 $X, Y \in h$ ，称该群通过自同构作用在 $h$ 上。

给定李群 $G$ 在 $h$ 上的一个作用量 $ϕ_{g}$ ，我们得到元素 $Z \in g$ 通过线性映射在 $h$ 上的一个作用量：

X \to Z \cdot X = \frac{d}{d t} (ϕ_{e^{t} Z} (X))_{∣ t = 0} (16.16)

我们将经常称之为 $G$ 对 $h$ 的作用 $ϕ_{g}$ 的无穷小版本。这些映射满足

Z \cdot [X, Y] = \frac{d}{d t} (ϕ_{e^{tZ}} ([X, Y]))_{∣ t = 0} = \frac{d}{d t} ([ϕ_{e^{tZ}} (X), ϕ_{e^{tZ}} (Y)])_{∣ t = 0} = [Z \cdot X, Y] + [X, Z \cdot Y]

并且可以定义

定义（李代数导子）

如果一个李代数 $g$ 通过线性映射作用在一个李代数 $h$ 上
$X \in h \to Z \cdot X \in h$
满足

$[Z \cdot X, Y] + [X, Z \cdot Y] = Z \cdot [X, Y] (16.17)$

对于所有 $Z \in g$ 和 $X, Y \in h$ ，李代数 $g$ 被称为通过导子作用在 $h$ 上。元素 $Z$ 在 $h$ 上的作用是 $h$ 的一个导子。

16.2.1 伴随表示与内自同构

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任何群 $G$ 通过共轭作用于自身，其中

Φ_{g} (g^{'}) = g g^{'} g^{- 1}

通过自同构给出一个作用量（这些自同构称为“内自同构”）。映射 $Φ_{g}$ 在单位元处的导数是 $g$ 上由第 5 章讨论的伴随表示算符 $A d (g)$ 给出的线性映射。 $So,$ 在这种情况下，李代数 $g$ 上相应的自同构作用就是伴随作用

X \in g \to ϕ_{g} (X) = A d (g) (X) = g X g^{- 1}

李群伴随表示通过 $A d (g)$ 在 $g$ 上的无穷小版本，是李代数伴随表示通过算符 $a d (Z)$ 在 $g$ 上

X \in g \to Z \cdot X = a d (Z) (X) = [Z, X]

这是 $g$ 通过导子对自身的作用。

16.2.2 辛群作为自同构群

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回忆 13.2 中海森堡群 $H_{3}$ 的定义，即作为元素

((y x), z) \in R^{2} \oplus R

带有群运算

((y x), z) ((y ^{'} x ^{'}), z^{'}) = ((y + y ^{'} x + x ^{'}), z + z^{'} + \frac{1}{2} Ω ((y x), (y ^{'} x ^{'})))

元素 $g \in S L (2, R)$ 通过以下方式作用于 $H_{3}$

((y x), z) \to Φ_{g} (((y x), z)) = (g (y x), z) (16.18)

这里，上面给出的 $G = S L (2, R), H = H_{3}$ 和 $Φ_{g}$ 是一个通过自同构的作用，因为

Φ_{g} ((y x), z) Φ_{g} ((y ^{'} x ^{'}), z^{'}) = (g (y x), z) (g (y ^{'} x ^{'}), z^{'}) = (g (y + y ^{'} x + x ^{'}), z + z^{'} + \frac{1}{2} Ω (g (y x), g (y ^{'} x ^{'}))) = (g (y + y ^{'} x + x ^{'}), z + z^{'} + \frac{1}{2} Ω ((y x), (y ^{'} x ^{'}))) = Φ_{g} (((y x), z) ((y ^{'} x ^{'}), z^{'})) (16.19)

回忆一下，在我们所使用的指数坐标中，李代数 $h_{3}$ 与李群 $H_{3}$ 之间的指数映射是恒等映射，其中 $h_{3}$ 与 $H_{3}$ 均等同于 $R^{2} \oplus R$ 。如同 14.2 节那样，我们将明确地把 $h_{3}$ 等同于 $M$ 上的函数 $c_{q} q + c_{p} p + c$ ，并将其写作

((c _{p} c _{q}), c)

带有李括号

[((c _{p} c _{q}), c), ((c _{p}^{'} c _{q}^{'}), c^{'})] = ((0 0), c_{q} c_{p}^{'} - c_{p} c_{q}^{'}) = ((0 0), Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'})))

$Φ_{g}$ 在 $H_{3}$ 的单位元处的线性化作用给出 $ϕ_{g}$ 在 $h_{3} .$ 上的作用，但由于指数映射是恒等映射， $ϕ_{g}$ 以与 $Φ_{g}$ 相同的方式作用在 $R^{2} \oplus R = M \oplus R$ 上，通过

((c _{p} c _{q}), c) \in h_{3} \to ϕ_{g} (((c _{p} c _{q}), c)) = (g (c _{p} c _{q}), c)

由于李括号仅依赖于Ω，它是 $S L (2, R)$ 不变的， $ϕ_{g}$ 保持李括号，因此通过自同构作用在 $h_{3}$ 上。

$S L (2, R)$ 作用 $ϕ_{g}$ 在 $h_{3}$ 上的无穷小版本，是 $sl (2, R)$ 通过导子在 $h_{3}$ 上的一个作用。这个作用可以通过计算得到（对于 $L \in sl (2, R)$ 和 $X \in h_{3})$ ，使用方程 16.16 得到

L \cdot ((c _{p} c _{q}), c) = \frac{d}{d t} (ϕ_{e^{t L}} ((c _{p} c _{q}), c))_{∣ t = 0} = (L (c _{p} c _{q}), 0) (16.20)

本节开头讨论的二次与一次多项式之间的泊松括号，给出了通过导子计算 $sl (2, R)$ 对 $h_{3}$ 的这一作用的另一种方法。对于一般的 $L \in sl (2, R)$ （见方程 16.6）和 $c_{q} q + c_{p} p + C \in h_{3}$ ，我们有

{μ_{L}, c_{q} q + c_{p} p + C} = c_{q}^{'} q + c_{p}^{'} p, (c _{p}^{'} c _{q}^{'}) = (c c _{q} - a c _{p} a c _{q} + b c _{p}) = L (c _{p} c _{q}) (16.21)

（这里 $μ_{L}$ 由 16.9 给出）。我们看到，这是 sl(2, $R$ ) 通过导子作用在方程 16.20 的 $h_{3}$ 上，即 $S L (2, R)$ 通过自同构作用在 $h_{3}$ 上的无穷小版本。

注意，在 $M$ 上所有阶数不超过二的全体多项式构成的更大李代数中， $sl (2, R)$ 通过导子对 $h_{3}$ 的作用是李代数对自身的伴随作用的一部分，因为它由二阶与一阶多项式之间的泊松括号（即李括号）给出。

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来源版本：2025-10-20

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