18.3 半直积李代数

18.3 半直积李代数

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我们已经看到，半直积李群可以通过取李群的乘积 $N\times K$ 作为集合，并施加一个利用 $K$ 对 $N$ 的自同构作用的群乘法法则来构造。以类似的方式，半直积李代数 $\mathfrak{n}⋊\mathfrak{k}$ 可以通过取 $n$ 与 $k$ 作为向量空间的直和，并定义一个利用 $k$ 对 $n$ 的导子作用的李括号（自同构的无穷小版本，见方程 16.17）来构造。

首先考虑例子$E(d)={\mathbf{R}}^d⋊SO(d)$，回忆元素$E(d)$可以写成形式

$$\left(\begin{array}{cc}R& \mathbf{a}\\ 0& 1\end{array}\right)$$

对于 $R\in SO(d)$ 和 $\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^d$。该群在单位元处的切空间将由以下形式的矩阵给出

$$\left(\begin{array}{cc}X& \mathbf{a}\\ 0& 0\end{array}\right)$$

其中 $X$ 是一个反对称的 $d$ 乘 $d$ 矩阵，且 $\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^d$ 。对此类矩阵取指数将得到 $E(d)$ 的元素

此时李括号由矩阵对易子给出

$$\left[\left(\begin{array}{cc}{X}_1& {\mathbf{a}}_1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{X}_2& {\mathbf{a}}_2\\ 0& 0\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}[X_1,X_2]& X_1{\mathbf{a}}_2-X_2{\mathbf{a}}_1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(18.2)}$$

我们看到，$E(d)$ 的李代数将由取 ${\mathbf{R}}^d$ 的和给出（${\mathbf{R}}^d)$ 的李代数，因而 $(d)$，其元素为对 $(\mathbf{a},X)$，其中 $\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^d$，而 $X$ 是一个反对称的 $d$ 乘 $d$ 矩阵。$SO(d)$ 通过自同构在 ${\mathbf{R}}^d$ 上的旋转作用量的无穷小版本

$${\Phi }_R(a)=Ra$$

是

$$\frac{d}{dt}{\Phi }_{e^{tX}}(\mathbf{a}{)}_{|t=0}=\frac{d}{dt}(e^{tX}\mathbf{a}{)}_{|t=0}=X\mathbf{a}$$

仅就此类对而言，李括号可以写成

$$[({\mathbf{a}}_1,X_1),({\mathbf{a}}_2,X_2)]=(X_1{\mathbf{a}}_2-X_2{\mathbf{a}}_1,[X_1,X_2])$$

一般来说，我们可以定义：

定义（半直积李代数）

给定李代数$k$与$n$，以及元素$Y\in \mathfrak{k}$通过导子对$n$的作用

$$X\in \mathfrak{n}\to Y\cdot X\in \mathfrak{n}$$

半直积 $n$⋊$k$ 是带有李括号的配对 $(X,Y)\in \mathfrak{n}\oplus \mathfrak{k}$ 的集合

$$[(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)]=([X_1,X_2]+Y_1\cdot X_2-Y_2\cdot X_1,[Y_1,Y_2])$$

容易看出，在 $E(d)$ 的李代数的特殊情形下，这与上述构造一致。

在 16.1.2 节中，我们研究了 $d$ 维相空间坐标 $q_j,p_j$ 中所有次数至多为二次的多项式构成的李代数，并以泊松括号作为李括号。在那里我们找到了两个李子代数：次数为零和一次的多项式（同构于 ${\mathfrak{h}}_{2d+1})$），以及齐次二次多项式（同构于 $\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R}))$），其中第二个子代数通过导子作用在第一个子代数上，如方程 16.22 所示。

回忆第16章的内容，这个李代数的元素也可以写成对

$$\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right),L\right)$$

${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 与 sp(2d, $R$) 中元素的……，该对对应于该多项式

$${\mu }_L+{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}+c$$

就这样的对而言，李括号由下式给出

$$\begin{array}{c}\left[\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right),L\right),\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right),c\right),L^{\prime }\right)\right]=\\ \left(\left(L\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)-L^{\prime }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),\Omega \left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)\right)\right),[L,L^{\prime }]\right)\end{array}$$

它满足上述定义，并定义了半直积李代数

$${\mathfrak{g}}^J(d)={\mathfrak{h}}_{2d+1}⋊\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$$

这是半直积群的李代数这一事实

$$G^J(d)=H_{2d+1}⋊Sp(2d,\mathbf{R})$$

由 16.2 节中的讨论可得。

$E(d)$ 的李代数将是 ${\mathfrak{g}}^J(d)$ 的一个子李代数，由形如

$$\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{{\mathbf{c}}_p}\right),0\right),\left(\begin{array}{cc}X& 0\\ 0& X\end{array}\right)\right)$$

其中 $X$ 是一个反对称的 $d$ 乘 $d$ 矩阵。

题外话。正如$E(d)$可以与一个由$d$+1阶$d$+1矩阵构成的群等同起来，雅可比群$G_J(d)$也是一个矩阵群，原则上可以用通常的矩阵方法处理它及其李代数。该构造稍显复杂，它将$G_J(d)$的元素表示为$Sp(2d+1,\mathbf{R})$中的矩阵。关于$d=1$情形的细节，见[9]的第8.5节。

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