28.2 实克利福德代数

28.2 实克利福德代数

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 泡利矩阵

我们可以像复情形那样，仅通过取实线性组合来定义实克利福德代数 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{R})$：

定义（实克利福德代数）

在 $n$ 个变量中的实克利福德代数是代数 Clif($n$, $R$)，它由 $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,\dots ,n$ 在实数上生成，并满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

出于将在下一章解释的原因，事实证明一个更一般的定义是有用的。我们将变量个数写为 $n=r+s,$，其中 $r,s$ 为非负整数，现在不仅改变 $r+s.$，还改变 $r-s.$，即所谓的“符号”：

定义（实克利福德代数，任意符号差）

在 $n=r+s$ 个变量中的实克利福德代数是实数域上由 $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,...,n$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$，满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=\pm 2{\delta }_{jk}1$$

其中当 $j=k=1,\dots ,r$ 时我们选取 $the+sign$，而当 $j=k=$ $r+1,\dots ,n.$ 时选取 − 符号

换言之，与复数情形一样，不同的 ${\gamma }_j$ 反交换，但其中只有前 $r$ 个满足 ${\gamma }_j^2=1$，而其余 $s$ 个满足 ${\gamma }_j^2=-1$。

计算一些低维例子后，可以发现：

• Clif(0, 1, $R$)。其生成元为 1 和 ${\gamma }_1$，满足

$${\gamma }_1^2=-1$$

取这两个生成元的实线性组合，所得到的代数正是复数代数 $C$，其中 ${\gamma }_1$ 扮演 $i=\sqrt{-1}$ 的角色。

$\mathrm{Cliff}(0,2,\mathbf{R})$。它有生成元$1,{\gamma }_1,{\gamma }_2$和一个基

$$1,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_1{\gamma }_2$$

与

$${\gamma }_1^2=-1,{\gamma }_2^2=-1,({\gamma }_1{\gamma }_2{)}^2={\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_1{\gamma }_2=-{\gamma }_1^2{\gamma }_2^2=-1$$

这个实数上的四维代数可以通过取$H$，与四元数代数等同起来

$${\gamma }_1\leftrightarrow \mathbf{i},{\gamma }_2\leftrightarrow \mathbf{j},{\gamma }_1{\gamma }_2\leftrightarrow \mathbf{k}$$

• Clif(1, 1, $R$)。这是实 2 乘 2 矩阵的代数 $M(2,\mathbf{R})$，一种可能的对应关系如下

$$1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\gamma }_1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_1{\gamma }_2\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

注意，可以利用 $a_F,a_F^{†}$ 对复情形 Clif(2, $C$) 来构造它（见 28.1），如下

$${\gamma }_1=a_F+a_F^{†},{\gamma }_2=a_F-a_F^{†}$$

因为它们被表示为实矩阵。

$\mathrm{Cliff}(3,0,\mathbf{R})$。这是复 2 乘 2 矩阵的代数 $M(2,\mathbf{C})$，其中一种可能的识别使用泡利矩阵给出为

$$1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$ $$\begin{array}{c}{\gamma }_1\leftrightarrow {\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2\leftrightarrow {\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\gamma }_3\leftrightarrow {\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\\ {\gamma }_1{\gamma }_2\leftrightarrow i{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),{\gamma }_2{\gamma }_3\leftrightarrow i{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),{\gamma }_1{\gamma }_3\leftrightarrow -i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ {\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& i\end{array}\right)\end{array}$$

结果表明，$\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$ 总是实数、复数或四元数元素矩阵的一份或两份拷贝，其维数为 2 的幂，但这需要一个相当复杂的代数论证，我们在此不深入讨论。关于这一点的细节以及由此得到的代数模式，例如可参见 [55]。模式相对简单的一个特例是当 $r=s$ 时。此时 $n=2r$ 是偶数维的，并且人们发现

$$\mathrm{Cliff}(r,r,\mathbf{R})=M(2^r,\mathbf{R})$$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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