28.1 复Weyl代数与Cliford代数

28.1 复Weyl代数与Cliford代数

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间

在数学中，“环”是一个带有加法和乘法运算的集合，这些运算满足结合律和分配律（但不一定满足交换律），而“代数”则是一个同时是某个标量域上向量空间的环。正则对易关系与反对易关系分别定义了有趣的代数，称为Weyl代数与Clifford代数。以复数作为标量的情形最为简单，因此我们将从这一情形开始，然后再转向实数情形。

28.1.1 单自由度，玻色子情形

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 李代数 · 复化

从单自由度情形开始（对应两个算符 $Q$、P，这就是记号中会出现 a 2 的原因），我们可以定义：

定义（复 Weyl 代数，一个自由度）

在一个自由度情形下，复 Weyl 代数是由元素 $1,a_B,a_B^{†}.$ 生成的代数 Weyl(2, $C$)，满足正则对易关系：

$$[a_B,a_B^{†}]=1,[a_B,a_B]=[a_B^{†},a_B^{†}]=0$$

换言之，Weyl(2, $C$) 是通过取生成元的任意乘积与复线性组合所得到的代数。通过反复使用对易关系

$$a_B{a}_B^{†}=1+a_B^{†}{a}_B$$

此代数中的任意元素都可以写成正规阶元素之和，其形式为

$$c_{l,m}(a_B^{†}{)}^l{a}_B^m$$

所有湮灭算符 $a_B$ 均位于右侧，对某些复常数 $c_{l,m}.$ 作为 $\mathbf{C},\mathrm{Weyl}(2,\mathbf{C})$ 上的向量空间是无限维的，并具有一个基

$$1,a_B,a_B^{†},a_B^2,a_B^{†}{a}_B,(a_B^{†}{)}^2,a_B^3,a_B^{†}{a}_B^2,(a_B^{†}{)}^2{a}_B,(a_B^{†}{)}^3,\dots$$

这个代数同构于一个更熟悉的代数。令

$$a_B^{†}=z,a_B=\frac{d}{dz}$$

可以看出，$\mathrm{Weyl}(2,\mathbf{C})$ 可以与复变量 $z$ 的函数上的多项式系数微分算子代数等同起来。作为复向量空间，该代数是无限维的，其基由元素组成

$$z^l\frac{d^m}{d{z}^m}$$

在我们通过Bargmann-Fock方法研究量子化的过程中，我们看到由复线性组合构成的这类算符的子集，其组成包括

$$1,z,\frac{d}{dz},z^2,\frac{d^2}{d{z}^2},z\frac{d}{dz}$$

在对易子下是闭的，并且是一个复维数为 6 的李代数的表示。这个李代数作为子代数包含海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}$（前三个元素）以及李代数 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})\otimes \mathbf{C}$（后三个元素）。注意，这里我们允许复线性组合，因此我们得到的是在量子化研究中出现的实六维李代数的复化。

由于 $a_B$ 和 $a_B^{†}$ 是借助 $P$ 和 $Q.$ 定义的，人们当然也可以将外尔代数定义为由 $1,P,Q$ 生成、并满足海森堡对易关系的代数，取这些算符所有乘积的复线性组合。

28.1.2 一个自由度，费米子情形

将对易子改为反对易子，就得到一种不同的代数，即克利福德代数：

定义（复克利福德代数，一个自由度）

在一个自由度情形下的复克利福德代数是由元素 $1,a_F,a_F^{†}$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(2,\mathbf{C})$，并满足正则反交换关系 $(CAR)$

$$[a_F,a_F^{†}{]}_{+}=1,[a_F,a_F{]}_{+}=[a_F^{†},a_F^{†}{]}_{+}=0$$

这个代数是在$C$上的一个四维代数，具有基

$$1,a_F,a_F^{†},a_F^{†}{a}_F$$

由于算符的高次幂为零，并且可以利用 $a_F$ 与 $a_F^{†}$ 之间的反交换关系进行正规排序，并将 $a_F$ 的因子放在右侧。我们在第 27 章看到，这个代数与 2 乘 $2$ 复矩阵的代数 $M(2,\mathbf{C})$ 同构，使用

$$1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),a_F\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),a_F^{†}\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),a_F^{†}{a}_F\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(28.1)}$$

我们将在第30章中看到，还有一种方法可以将这个代数与“费米子变量中的微分算符”等同起来，类似于玻色子（Weyl代数）情形中所发生的情况。

回忆一下，玻色子湮灭算符和产生算符最初是通过 $P$ 和 $Q$ 算符定义的，定义为

$$a_B=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP),a_B^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-iP)$$

为了寻找算符 $Q$ 和 $P,$ 的费米子类似物，我们采用略微不同的归一化，并令

$$a_F=\frac{1}{2}({\gamma }_1+i{\gamma }_2),a_F^{†}=\frac{1}{2}({\gamma }_1-i{\gamma }_2)$$

因此

$${\gamma }_1=a_F+a_F^{†},{\gamma }_2=\frac{1}{i}(a_F-a_F^{†})$$

而CAR意味着算符${\gamma }_j$满足反交换关系

$$\begin{array}{rl}[{\gamma }_1,{\gamma }_1{]}_{+}& =[a_F+a_F^{†},a_F+a_F^{†}{]}_{+}=2\\ [{\gamma }_2,{\gamma }_2{]}_{+}& =-[a_F-a_F^{†},a_F-a_F^{†}{]}_{+}=2\\ [{\gamma }_1,{\gamma }_2{]}_{+}& =\frac{1}{i}[a_F+a_F^{†},a_F-a_F^{†}{]}_{+}=0\end{array}$$

由此我们看到

• 也可以将 Clif(2, $C$) 定义为由 $1,{\gamma }_1,{\gamma }_2$ 生成的代数，并满足这些关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

• 仅使用生成元 1 和 ${\gamma }_1$，就得到一个代数 $\mathrm{Cliff}(1,\mathbf{C})$，它由 $1,{\gamma }_1$ 生成，并具有关系

$${\gamma }_1^2=1$$

这是一个二维复代数，同构于 $\mathbf{C}\oplus \mathbf{C}$

28.1.3 多自由度

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 李代数 · 李括号 · 复化

对于更多的自由度，可以按如下方式推广上述内容并定义Weyl代数与Cliford代数：

定义（复Weyl代数）

对于$d$个自由度，复Weyl代数是代数$\mathrm{Weyl}(2d,\mathbf{C})$，由满足CCR的元素1、$,a_{Bj},a_{B_j^{†}}$（$j=1,\dots ,d$）生成。

$$[a_{Bj},a_{Bk}^{†}]={\delta }_{jk}1,[a_{Bj},a_{Bk}]=[a_{Bj}^{†},a_{Bk}^{†}]=0$$

Weyl(2d, $C$) 可与 $d$ 个复变量 $z_1,z_2,\dots ,z_d$ 中的多项式系数微分算子代数等同。该子空间由这些元素的复线性组合构成

$$1,z_j,\frac{\partial }{\partial z_j},z_j{z}_k,\frac{{\partial }^2}{\partial z_j\partial z_k},z_j\frac{\partial }{\partial z_k}$$

在对易子下是闭的，并给出了李代数${\mathfrak{h}}_{2d+1}⋊\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$的复化的一个表示，该李代数由$d$个自由度的海森堡李代数与辛群$Sp(2d,\mathbf{R})$的李代数构成。回忆一下，这是相空间${\mathbf{R}}^{2d}$上次数至多为2的多项式构成的李代数，以泊松括号作为李括号。复Weyl代数也可以通过取生成元$1,P_j,Q_j$的乘积的复线性组合来定义，并服从海森堡对易关系。

对于克利福德代数，有：

定义（复克利福德代数，使用湮灭算符与产生算符）

对于 $d$ 个自由度，复克利福德代数是满足 CAR 的、由 $1,a_{Fj},a_{Fj}†forj=1,2,...,d$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0$$

或者，也可以采用以下在奇数维情形下同样适用的更一般定义：

定义（复克利福德代数）

在 $n$ 个变量中的复克利福德代数是代数 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{C})$，它由 1、${\gamma }_j$（对于 $j=1,2,\dots ,n$）生成，并满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

我们不会在此尝试证明这一点，但可以证明，作为代数抽象地看，复克利福德代数是某种众所周知的东西。推广 $d=1$ 的情形，其中我们看到 Clif(2, $C$) 同构于 2 乘 2 复矩阵代数，则有同构

$$\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})\leftrightarrow M(2^d,\mathbf{C})$$

在偶数维情形下，以及在奇数维情形下

$$\mathrm{Cliff}(2d+1,\mathbf{C})\leftrightarrow M(2^d,\mathbf{C})\oplus M(2^d,\mathbf{C})$$

$\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{C})$ 的两个性质是

• 作为 $C$ 上的向量空间，$\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{C})$ 的一组基是元素的集合

$$1,{\gamma }_j,{\gamma }_j{\gamma }_k,{\gamma }_j{\gamma }_k{\gamma }_l,\dots ,{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\dots {\gamma }_{n-1}{\gamma }_n$$

对于指标 $j,k,l,\cdot \cdot \cdot \in 1,2,\dots ,n$，且 $j<k<l<\cdots$。为证明这一点，考虑生成元的所有乘积，并利用 ${\gamma }_j$ 的对易关系，将任何这样的乘积与这个基中的一个元素等同起来。关系 ${\dot{\gamma }}_j^2=1$ 表明，重复出现的 a ${\gamma }_j$ 可以被消去。然后可以利用关系 ${\gamma }_j{\gamma }_k=-{\gamma }_k{\gamma }_j$ 将乘积中的元素按上述基元素的顺序排列。

• 作为 $C$ 上的向量空间，Clif($n$, $C$) 的维数为 $2^n$。看出这一点的一种方法是考虑乘积

$$(1+{\gamma }_1)(1+{\gamma }_2)\dots (1+{\gamma }_n)$$

它将有$2^n$个项，这些项恰好就是上面列出的基的那些项。

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来源版本：2025-10-20

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