29 克利福德代数与几何

Weyl 代数与 Clifford 代数在第 28 章中给出的定义是纯代数的，基于生成元与关系的一种选择。不过，这些定义确实有一种更几何化的表述，其中用生成元给出的定义对应于一种特定的坐标选择。对于 Weyl 代数，所涉及的几何是辛几何，它基于一个非退化反对称双线性形式。我们已经看到，在玻色子情形中，相空间 ${\mathbf{R}}^{2d}$ 的量子化取决于一个非退化反对称双线性形式 Ω 的选择，该形式决定了泊松括号，从而决定了海森堡对易关系。这样的 a Ω 也决定了一个群 $Sp(2d,\mathbf{R})$ ，它是 ${\mathbf{R}}^{2d}$ 的保持 Ω 的线性变换群。

Clifford 代数也有一个坐标无关的定义，它基于向量空间 ${\mathbf{R}}^n$ 上一个更为人所熟知的结构，即非退化对称双线性形式，也就是内积。在这种情况下，保持内积不变的群是正交群。在辛情形中，反对称形式要求维数为偶数，但对对称形式而言并非如此，对称形式在奇数维中也存在。

English contents

本章目录

• 29.1 非退化双线性形式
• 29.2 克利福德代数与几何
  • 29.2.1 旋转作为迭代的正交反射
  • 29.2.2 旋转群的李代数与克利福德代数的二次元素
• 29.3 延伸阅读

上一章：28 Weyl代数与Cliford代数

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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