29.1 非退化双线性形式

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 正交群 · 复化

在 $M = R^{2 d}$ 即对偶相空间的情形下，泊松括号确定了 $M$ 上的一个反对称双线性形式，对于基 $q_{j}, p_{j}$ 和两个向量 $u, u^{'} \in M$

u u^{'} = c_{q_{1}} q_{1} + c_{p_{1}} p_{1} + \dots + c_{q_{d}} q_{d} + c_{p_{d}} p_{d} \in M = c_{q_{1}}^{'} q_{1} + c_{p_{1}}^{'} p_{1} + \dots + c_{q_{d}}^{'} q_{d} + c_{p_{d}}^{'} p_{d} \in M

由下式明确给出

Ω (u, u^{'}) = c_{q_{1}} c_{p_{1}}^{'} - c_{p_{1}} c_{q_{1}}^{'} + \dots + c_{q_{d}} c_{p_{d}}^{'} - c_{p_{d}} c_{q_{d}}^{'} = (c_{q_{1}} c_{p_{1}} \dots c_{q_{d}} c_{p_{d}}) 0 - 1 ⋮ 00 10 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 - 1 00 ⋮ 10 c_{q_{1}}^{'} c_{p_{1}}^{'} ⋮ c_{q_{d}}^{'} c_{p_{d}}^{'}

矩阵 $g \in M (2 d, R)$ 使得

g^{T} 0 - 1 ⋮ 00 10 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 - 1 00 ⋮ 10 g = 0 - 1 ⋮ 00 10 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 - 1 00 ⋮ 10

构成群 $S p (2 d, R)$ 并保持 Ω，满足

Ω (g u, g u^{'}) = Ω (u, u^{'})

这个对Ω的选择远比它看起来要不任意。可以证明，给定 $R^{2 d}$ 上任意非退化反对称双线性形式，都能找到一组基，使得它相对于这组基就是此处给出的Ω（证明见[8]）。如果对 $R^{2 d}$ 做复化，并使用同一个公式定义Ω，这一点同样成立，此时它是 $\overset{ˉ}{C}^{2 d}$ 上的双线性形式。在实情形下，保持Ω的群称为 $S p (2 d, R)$ ；在复情形下则称为 $S p (2 d, C)$ 。

要得到它的费米子类比，只需将“非退化反对称双线性形式 $Ω (\cdot, \cdot)^{†}$ 替换为“非退化对称双线性形式 $(\cdot, \cdot)^{N}$ 。这种对称双线性形式实际上比反对称情形类比在几何中更为熟悉：它只是一个内积的概念。在对称情形中有两点不同：

• 底层的向量空间不必是偶数维的，可以对任意 $n,$ 取 $M = R^{n}$ ，包括 $n$ 为奇数的情况。不过，为了得到玻色子情形的详细类比，我们需要考虑偶数情形 $n = 2 d .$

• 对于给定的维数 $n$ ，在基变换的意义下， $(\cdot, \cdot)$ 的可能选择并非只有一个，而是对每一对满足 $r + s = n$ 的非负整数 $r$ 、 $s$ 都有一个可能的选择。给定 $r, s .$ ， $(\cdot, \cdot)$ 的任意选择都可以被

以……的形式

(u, u^{'}) = u_{1} u_{1}^{'} + u_{2} u_{2}^{'} + \dots u_{r} u_{r}^{'} - u_{r + 1} u_{r + 1}^{'} - \dots - u_{n} u_{n}^{'} = (u_{1} \dots u_{n}) r + signs, s - signs 10 ⋮ 00 01 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ - 1 0 00 ⋮ 0 - 1 u_{1}^{'} u_{2}^{'} ⋮ u_{n - 1}^{'} u_{n}^{'}

关于用格拉姆-施密特正交化进行的证明，见 [8]。

因此，我们可以将正交群的定义扩展为保持内积不变的变换 $g$ 所构成的群

(g u, g u^{'}) = (u, u^{'})

推广到 $r, s$ 任意情形如下：

定义（正交群 $O ( r , s , { \bf R } )

) $。群$ O ( r , s , \mathbf { R } ) $是由满足下式的实$ r + s $乘$ r + s $矩阵$ g$ 构成的群：
$g^{T} r + s i g n s, s - s i g n s 10 ⋮ 00 01 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ - 1 0 00 ⋮ 0 - 1 g = r + s i g n s, s - s i g n s 10 ⋮ 00 01 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ - 1 0 00 ⋮ 0 - 1$

$S O (r, s, R) \subset O (r, s, R)$ 是行列式为 +1 的矩阵构成的子群。

若进行复化，将向量的分量取在 $C^{n}$ 中，并使用与 $(\cdot, \cdot)$ 相同的公式，则可以通过将 $s$ 个基向量乘以因子 $i,$ 来改变基，并且在这个新基中所有基向量 $e_{j}$ 都满足 $(e_{j}, e_{j}) = 1$ 。于是可以看出，在 $C^{n}$ 上，如同在辛情形中一样，在基变换的意义下，只有一个非退化对称双线性形式。保持它的群称为 $O (n, C)$ 。注意，在 $C^{n} (\cdot, \cdot)$ 上的这个形式不是厄米内积（后者对第一个变量是反线性的），并且它不是正定的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 318、319、320、321、322、323、324、325

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：255e6de176b891a110e84138f84ce4224218312b2f275d3d598b59b1d077e160

译稿产物 SHA-256：aa359b24ea6bdbe52e695b505ec96d446ed2606dd5e87645d478502425523671

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

29.1 非退化双线性形式

29.1 非退化双线性形式

关系图谱