3.2 向量空间

English

一个向量空间(vector space) $(V,\mathbb{K})$由一个加法阿贝尔群$V$组成，其元素$u$、$v$、……称为向量(vector)，并配有一个域$\mathbb{K}$，其元素称为标量(scalar)。定义该阿贝尔群的复合律$u+v$称为向量加法(vector addition)。此外还有一种运算$\mathbb{K}\times V\to V$称为标量乘法(scalar multiplication)，它将一个向量$au\in V$对应于任意一对$a\in \mathbb{K},u\in V$。向量加法的恒等元0，对所有向量$u$满足$0+u=u$，称为零向量(zero vector)，而任意向量$u$的逆元记为$-u$。原则上，使用同一符号$+$表示向量加法和标量加法，以及使用同一符号0既表示零向量又表示零标量，可能会引起轻微的混淆。然而，从上下文中应当总能清楚正在使用的是哪一个。类似的说明也适用于标量乘法$au$与标量的域乘法$ab.$。向量空间需满足的全部公理列表如下：

(VS1) 对于所有 $u,v,w\in V$ 和 $a,b,c\in \mathbb{K}.$

$$\begin{array}{ccc}u+(v+w)=(u+v)+w& a+(b+c)=(a+b)+c& a(bc)=(ab)c\\ u+v=v+u& a+b=b+a& ab=ba\\ u+0=0+u=u& a+0=0+a=a& a1=1a=a\\ u+(-u)=0;& a+(-a)=0;& a(b+c)=ab+ac.\end{array}$$

(VS2) $a(u+v)=au+av$。

(VS3) $(a+b)u=au+bu$。

(VS4) $a(bv)=(ab)v$。

(VS5) $1v=v$。

向量空间 $(V,\mathbb{K})$ 常称为域 $\mathbb{K}$ 上的向量空间 $V$，或简称为向量空间 $V$，当标量域由诸如“设 $V$ 为实向量空间”或“$V$ 是复向量空间”之类的引言暗示时。

由 $v=(1+0)v=v+0v$ 可知，对任意向量 $v\in V$ 都有 $0v=0$。此外，$(-1)v$ 是 $v$ 的加法逆元，因为由 $(VS3),(-1)v+v=(-1+1)v=0v=0.$ 可得。也常将 $u+(-v)$ 写作 $u-v$，从而 $u-u=0$。向量通常用 $u$、$v$、…… 或 $\vec{u},\vec{v},\dots .$ 等独特记号表示，以区别于标量，但我们仅在特定情形下采用此类记号。

例 3.5

所有 $n$ 元组 ${\mathbb{K}}^n$ 构成的集合 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其中 $x_i\in \mathbb{K}$，是一个向量空间，其向量加法和标量乘法定义为

$$\begin{array}{c}\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n),\\ a\mathbf{x}=(a{x}_1,a{x}_2,\dots ,a{x}_n).\end{array}$$

具体实例为 ${\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$ 。有时，${\mathbb{K}}^n$ 的向量将用 $n\times 1$ 列矩阵表示，并且用上标表示分量有一些优势，

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\\ ⋮\\ x^n\end{array}\right).$$

向量的标量乘法与加法随后是

$$a\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}a{x}^1\\ a{x}^2\\ ⋮\\ a{x}^n\end{array}\right),\mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{x}^1+y^1\\ x^2+y^2\\ ⋮\\ x^n+y^n\end{array}\right).$$

随文练习

验证向量空间的所有公理均被 ${\mathbb{K}}^n$ 满足

例 3.6

令 ${\mathbb{K}}^{\infty }$ 表示所有满足 $u_i\in \mathbb{K}$ 的序列 $u=(u_1,u_2,u_3,...)$ 的集合。若向量加法与标量乘法按例 3.5 定义，则这是一个向量空间：

$$\begin{array}{c}u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,\dots ),\\ au=(a{u}_1,a{u}_2,a{u}_3,\dots ).\end{array}$$

例 3.7

域 $\mathbb{K}$ 上所有 $m\times n$ 矩阵的集合，记作 $M^{(m,n)}(\mathbb{K})$，是一个向量空间。此时向量记作 $\mathsf{A}=[a_{ij}]$，其中 $i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$ 且 $a_{ij}\in \mathbb{K}$。加法与标量乘法定义为：

$$\mathsf{A}+\mathsf{B}=[a_{ij}+b_{ij}],c\mathsf{A}=[c{a}_{ij}].$$

尽管将矩阵视为“向量”可能显得有些奇怪，但这个例子本质上与例3.5并无不同，只是来自域$\mathbb{K}$的数列被排列成矩形阵列而非一行或一列。

例 3.8

定义在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的实值函数，记作 $\mathcal{F}({\mathbb{R}}^n)$，构成 $R$ 上的一个向量空间。如第 1.4 节所述，此情形下的向量可视为 $n$ 个自变量的函数，

$$f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n),$$

而向量加法 $f+g$ 和标量乘法 $af$ 按显然的方式定义，

$$(f+g)(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x}),(af)(\mathbf{x})=af(\mathbf{x}).$$

向量空间公理的验证是一项直接的练习。

更一般地，若 $S$ 是任意集合，则 $S$ 上所有 $\mathbb{K}$ 值函数的集合 $\mathcal{F}(S,\mathbb{K})$ 构成 $\mathbb{K}$ 上的向量空间。例如，${\mathbb{R}}^n$ 上复值函数的集合，记作 $\mathcal{F}({\mathbb{R}}^n,\mathbb{C})$，是一个复向量空间。我们通常将 $\mathcal{F}(S,\mathbb{R})$ 简记为 $\mathcal{F}(S)$，并以实数作为默认域。若 $S$ 是有限集 $S=\{1,2,\dots ,n\}$，则 $\mathcal{F}(S,\mathbb{K})$ 等价于向量空间 ${\mathbb{K}}^n$，对任意 $u\in \mathcal{F}(S,\mathbb{K})$ 取 $u_i=u(i)$。

例 3.9

一个集合 $M$ 称为环 $R$ 上的模(module)，如果它满足所有公理 (VS1)–(VS5)，其中用 $R$ 替换域 $\mathbb{K}$。仅当环具有单位元时才包含公理 (VS5)。当 $R$ 是集合 $S$ 上的实值或复值函数环，例如例 3.8 中的环 $\mathcal{F}(S)$ 或 $\mathcal{F}(S,\mathbb{C})$ 时，这一概念特别有用。

模的一个典型例子如下。设 $\mathcal{C}({\mathbb{R}}^n)$ ) 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上连续实值函数的环，有时称为标量场，并设 ${\mathcal{V}}^n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上实值连续函数的全体 $n$ 元组的集合。${\mathcal{V}}^n$ 的一个典型元素，称为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的向量场，可以写成

$$\mathbf{v}(\mathbf{x})=(v_1(\mathbf{x}),v_2(\mathbf{x}),\dots ,v_n(\mathbf{x}))$$

其中每个 $v_i(\mathbf{x})$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的连续实值函数。向量场可以按通常方式相加，并与标量场相乘，

$$\begin{array}{c}\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1(\mathbf{x})+v_1(\mathbf{x}),\dots ,u_n(\mathbf{x})+v_n(\mathbf{x})),\\ f(\mathbf{x})\mathbf{v}(\mathbf{x})=(f(\mathbf{x})v_1(\mathbf{x}),f(\mathbf{x})v_2(\mathbf{x}),\dots ,f(\mathbf{x})v_n(\mathbf{x})).\end{array}$$

公理 (VS1)–(VS5) 容易验证，表明 ${\mathcal{V}}^n$ 是 $\mathcal{C}({\mathbb{R}}^n)$ 上的一个模。该模是有限维的，其意义在于只需有限多个分量标量场即可确定任意向量场。当然，${\mathcal{V}}^n$ 也具有域 $R$ 上向量空间的结构，类似于例 3.8 中的向量空间 $\mathcal{F}({\mathbb{R}}^n)$，但作为向量空间它是无限维的。