29.2 克利福德代数与几何

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如上一章通过生成元所定义的那样，克利福德代数没有明显的几何意义。然而事实证明，它们是研究带内积的线性空间几何的有力工具，特别是研究保持内积的线性变换，即旋转。为了看清克利福德代数与几何之间的关系，首先考虑正定情形 $Cliff (n, R)$ 。对于任意向量

v = (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}) \in R^{n}

我们将 Clifford 代数元素 $y = γ (v)$ 与之相联系，其中 $γ$ 是该映射

v \in R^{n} \to γ (v) = v_{1} γ_{1} + v_{2} γ_{2} + \dots + v_{n} γ_{n} \in Cliff (n, R) (29.1)

对于 $γ_{j}$ 的 Clifford 代数关系，给定两个向量 $v$ 、 $w$ ，它们所关联的 Clifford 代数元素的乘积满足

vw + wv = [v_{1} γ_{1} + v_{2} γ_{2} + \dots + v_{n} γ_{n}, w_{1} γ_{1} + w_{2} γ_{2} + \dots + w_{n} γ_{n}]_{+} = 2 (v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + \dots + v_{n} w_{n}) = 2 (v, w) (29.2)

其中 $(\cdot, \cdot)$ 是 $R^{n}$ 上对应于向量标准内积的对称双线性型。注意，取 $v = w$ 时有

y^{2} = (v, v) = ∣∣ v ∣ ∣^{2}

因此，Clifford 代数 $Cliff (n, R)$ 包含 $R^{n}$ 作为生成元 $γ_{j} .$ 的线性组合构成的子空间。它可以被视为向量空间 $R^{n}$ 的一种增强，编码了关于内积的信息，并且有时会写作 $Cliff (R^{n}, (\cdot, \cdot))$ 。在这个更大的结构中，向量既可以相乘也可以相加，乘法由内积决定并由方程 29.2 给出。注意，不同的人使用不同的约定，其中

yw + wy = - 2 (v, w)

另一种常见选择。人们也会见到不带因子2的变体。

对于 $n$ 维向量空间在 $C$ 上，我们已经看到，对于任何非退化对称双线性型，都可以找到一组基，使得 $(\cdot, \cdot)$ 具有标准形式

(z, w) = z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} + \dots + z_{n} w_{n}

因此，在同构意义下，维数 $n,$ 的复克利福德代数只有一个，即我们定义为 $Cliff (n, C)$ 的那个。对于 $n$ 维向量空间 $R$ ，若带有类型为 $r$ 、 $s$ 且满足 $r + s = n$ 的非退化对称双线性型，则相应的克利福德代数 $Cliff (r, s, R)$ 就是第 28.2 节中通过生成元定义的那些。

在狭义相对论中，时空是一个实的四维向量空间，带有不定内积，对应于（取决于所选取的约定）情形 $r = 1, s = 3$ 或情形 $r = 3, s = 1$ 。保持该内积的线性变换群称为洛伦兹群，其保定向分支根据约定的选择记作 $S O (3, 1)$ 或 $S O (1, 3)$ 。在后续章节中，我们将考察量子力学在相对论情形下会发生什么，并在那里遇到相应的克利福德代数 $Cliff (3, 1, R)$ 或 $Cliff (1, 3, R)$ 。此类克利福德代数的生成元 $γ_{j}$ 在该学科中即众所周知的“狄拉克 $γ -$ 矩阵”。

不过目前我们将注意力限制在正定情形，因此只考虑 $Cliff (n, R)$ ，并考察它如何被用来研究 $R^{n}$ 中 $n$ 维旋转的群 $O (n)$ 。

29.2.1 旋转作为迭代的正交反射

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我们将考虑两种不同的方式来看待克利福德代数 $Cliff (n, R)$ 与 $R^{n}$ 中旋转群 $O (n)$ 之间的关系。第一种方式基于一个几何事实（称为 Cartan-Dieudonné e 定理）：通过在不同超平面中至多进行 $n$ 次正交反射，可以得到任意旋转。关于垂直于向量 $w$ 的超平面的正交反射，将向量 $v$ 变为向量

v^{'} = v - 2 \frac{( v , w )}{( w , w )} w

从下图可以很容易看出的一点

图 29.1：关于与 $w$ 垂直的超平面的正交反射

从现在起，我们通过方程 29.1 的映射 $γ$ 将向量 $v, v^{'} .$ 、 $w$ 与相应的 Clifford 代数元素等同起来。由关于 $w$ 的反射给出的线性变换是

y^{'} \to y^{'} = y - 2 \frac{( v , w )}{( w , w )} w = y - (yw + wy) \frac{w}{( w , w )}

由于

w \frac{w}{( w , w )} = \frac{( w , w )}{( w , w )} = 1

我们有（对于非零向量 $w$ ）

w^{- 1} = \frac{w}{( w , w )}

而反射变换不过是由 $w$ /乘以一个负号所实现的共轭。

y \to y^{'} = y - y - wy w^{- 1} = - wy w^{- 1}

将向量与Clifford代数元素等同起来，一次反射所得到的正交变换由共轭（带负号）给出。这些反射属于群 $O (n)$ ，但不属于子群 $S O (n)$ ，因为它们改变定向。关于与 $w_{1}, w_{2}$ 正交的超平面作两次反射的结果将是 $\forall Π_{2} \forall Π_{1}$ 的共轭。

y \to y^{'} = - w_{2} (- w_{1} y w_{1}^{- 1}) w_{2}^{- 1} = (w_{2} w_{1}) y (w_{2} w_{1})^{- 1}

这将是一个保持定向的旋转，因此行列式为1，并且属于群 $S O (n)$

这一构造不仅给出了表示旋转的一种有效方式（作为Clifford代数中的共轭），而且还提供了在任意维数 $n$ 中构造群 $S p in (n)$ 的方法。可以定义：

定义

$(S p in (n))$ )。群 $S p in (n, R)$ 是克利福德代数 $C l i f f (n)$ 的可逆元素构成的群，其形式为
$ψ_{1} ψ_{2} \dots ψ_{k}$
其中向量 $w_{j} f or j = 1, \dots, k (k \leq n)$ 是 $R^{n}$ 中的向量，满足 $∣ w_{j} ∣^{2} = 1$ ，且 $k$ 为偶数。群乘法是 Cliford 代数乘法。

$S p in (n)$ 对向量 $v \in R^{n}$ 的作用将由共轭给出

y \to (w_{1} w_{2} \dots w_{k}) y (w_{1} w_{2} \dots w_{k})^{- 1} (29.3)

而这将对应于向量 $v$ 的一个旋转。这一构造可推广到任意 $n$ ，即我们在第 6 章中依据四元数代数 $H$ 的单位长度元素对 $S p in (3)$ 所给出的构造。通过注意到改变 Clifford 代数元素 $\neq w_{1} \neq w_{2} \dots \neq w_{k}$ 的符号不会改变共轭作用，其中符号相互抵消，人们在此可以看到一个特征性事实： $S p in (n)$ 群中有两个元素给出 $S O (n)$ 中的同一旋转。

29.2.2 旋转群的李代数与克利福德代数的二次元素

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对于理解任意维数中旋转的第二种方法，可以利用这样一个事实：这些旋转是通过取坐标平面中旋转的乘积生成的。在 $j k$ 坐标平面 $(j < k)$ 中旋转角度 $θ$ 的旋转将由下式给出

v \to e^{θ ϵ_{j k}} v

其中 $ϵ_{j k}$ 是一个 $n$ 乘 $n$ 矩阵，仅有两个非零元素： $j k$ 元素−1和 $k j$ 元素+1（见方程5.2.1）。将注意力限制在 $j k$ 平面上， $e^{θ ϵ_{j k}}$ 在该平面中充当标准旋转矩阵

(v _{k} v _{j}) \to (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (v _{k} v _{j})

在 $S O (3)$ 情形中，我们看到这类矩阵有三个

ϵ_{23} = l_{1}, ϵ_{13} = - l_{2}, ϵ_{12} = l_{3}

提供李代数 $so (3)$ 的一个基。在 $n$ 维中，将有 $\frac{1}{2} (n^{2} - n)$ 个这样的元素，提供李代数 $so (n)$ 的一个基

正如在 $S O (3)$ 的情形中使用了单位长度四元数一样，在维数 $n$ 中，我们可以使用克利福德代数的元素来得到这些相同的旋转变换，但作为克利福德代数中的共轭。为了看清这一点如何运作，考虑 $j \neq = k$ 的二次克利福德代数元素 $γ_{j} γ_{k}$ ，并注意到

(γ_{j} γ_{k})^{2} = γ_{j} γ_{k} γ_{j} γ_{k} = - γ_{j} γ_{j} γ_{k} γ_{k} = - 1

因此有

e^{\frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} = (1 - \frac{( θ /2 ) ^{2}}{2 !} + \dots) + γ_{j} γ_{k} (θ /2 - \frac{( θ /2 ) ^{3}}{3 !} + \dots) = cos (\frac{θ}{2}) + γ_{j} γ_{k} sin (\frac{θ}{2})

在 $j k$ 平面内用此变换共轭向量 $v_{j} γ_{j} + v_{k} γ_{k}$ ，可以证明

e^{- \frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} (v_{j} γ_{j} + v_{k} γ_{k}) e^{\frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} = (v_{j} cos θ - v_{k} sin θ) γ_{j} + (v_{j} sin θ + v_{k} cos θ) γ_{k}

即在 $j k$ 平面内旋转 $θ$ 。这样的共轭也会使 $l \neq = j, k$ 的 $γ_{l}$ 保持不变。因此有

e^{- \frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} γ (v) e^{\frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} = γ (e^{θ ϵ_{j k}} v) (29.4)

并且在 $θ = 0$ 处求导，得到无穷小版本

[- \frac{1}{2} γ_{j} γ_{k}, γ (v)] = γ (ϵ_{j k} v) (29.5)

注意，这些关系与辛情形中所发生的情况密切类似：在辛情形中，辛群 $S p (2 d, R)$ 通过 $Q_{j}, P_{j}$ 中二次算符的指数共轭作用在 $Q_{j}, P_{j}$ 的线性组合上。我们将在第31章更详细地考察这一类比。

同样可以看出，正如我们之前在三维中的计算一样，人们得到旋转群的双重覆盖，这里 Clifford 代数的元素 $e^{\frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}}$ 给出 $j k$ 平面中旋转群的双重覆盖（当 $θ$ 从 0 变到 2 $π$ 时）。自旋群的一般元素可以通过在不同坐标平面中针对不同角度将这些元素相乘来构造。李代数 spin( $n$ ) 可以通过以下方式与李代数 $so (n)$ 等同

ϵ_{j k} \leftrightarrow - \frac{1}{2} γ_{j} γ_{k}

另一种看出这一点的方法是计算不同 $j, k$ 值下的 $- \frac{1}{2} γ_{j} γ_{k}$ 的对易子，并证明它们满足与相应矩阵 $ϵ_{j k}$ 相同的对易关系。

回忆在玻色子情形中，我们发现 $Q_{j}, P_{k}$ （或 $a_{B j}, a_{B_{j}^{†}})$ ）的二次组合给出的算符满足李代数 $sp (2 n, R)$ 的对易关系。这是群 $S p (2 n, R)$ 的李代数，该群保持相空间 $R^{2 n}$ 上的非退化反对称双线性形式 $Ω (\cdot, \cdot)$ 。费米子情形完全类似，只是反对称双线性形式 $Ω (\cdot, \cdot)$ 的角色被对称双线性形式 $(\cdot, \cdot)$ 取代，而李代数 $sp (2 n, R)$ 被 $so (n) = spin (n)$ 取代。

在玻色子情形中， $Q_{j}, P_{j}$ 的线性函数满足另一个李代数，即海森堡代数的对易关系，但在费米子情形中，对于 $γ_{j}$ 而言这并不成立。在第30章中我们将看到，可以定义一种“李超代数”的概念，从而恢复这种平行关系。

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来源版本：2025-10-20

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