33.3 超对称量子力学与微分形式

33.3 超对称量子力学与微分形式

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 可微流形

若考虑在 $d$ 个自由度情形下以及薛定谔表示中的超对称量子力学，则有

$$\mathcal{H}=L^2({\mathbf{R}}^d)\otimes {\Lambda }^{\ast }({\mathbf{C}}^d)$$

${\mathbf{R}}^d$ 上复值函数的张量积（受 Weyl 代数 $\mathrm{Weyl}(2d,\mathbf{C}))$ 作用）与 ${\mathbf{C}}^d$ 上反交换函数的张量积（受 Clifford 代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C}))$ 作用）。有两个算符 $Q_{+}$ 和 $Q_{-},$，它们互为伴随且平方为零。如果学过微分形式，这应当看起来很熟悉。这个空间 $\mathcal{H}$ 为数学家所熟知，即 ${\mathbf{R}}^d.$ 上的复值微分形式，常写作 ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$，其中这里的 ^∗ 表示一个指标，取值从 0（0-形式，或函数）到 $d$（$d$-形式）。在微分形式理论中，众所周知，${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ 上有一个平方为零的算符 $d$，称为 de Rham 微分。利用 ${\mathbf{R}}^d$ 上的内积，可以通过积分在 ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ 上赋予一个厄米内积，于是 $d$ 有一个伴随 $\delta ,$，同样平方为零。微分形式上的拉普拉斯算符是

$$\square =(d+\delta {)}^2$$

我们一直在考虑的超对称量子系统，一旦按如下方式对 $d,\delta$ 进行共轭，就恰好与此对应

$$Q_{+}=e^{-W(q)}d{e}^{W(q)},Q_{-}=e^{W(q)}\delta e^{-W(q)}$$

在数学中，对微分形式的兴趣主要来自这样一个事实：它们不仅可以构造在 ${\mathbf{R}}^d$ 上，还可以构造在一般的可微流形 $M.$ 上，并有相应的 $d,\delta ,\square$ 算符构造。在霍奇理论中，人们研究……的解

$$\square \psi =0$$

（这些被称为“调和形式”），并发现解空间 $\psi \in {\Omega }^k(M)$ 的维数给出了一个拓扑不变量，称为流形 $M$ 的第 $k$ 个贝蒂数。

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来源版本：2025-10-20

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