33.2 具有超势的超对称量子力学

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 对称群

超对称振子体系可推广到更广泛的一类势，同时仍保持体系的超对称性。为简单起见，这里我们取常数 $ℏ = ω = 1$ 。回想一下，我们的玻色子湮灭算符和产生算符定义为

a_{B} = \frac{1}{2} (Q + i P), a_{B}^{†} = \frac{1}{2} (Q - i P)

引入任意函数 $W (q)$ （称为“超势”），其导数为 $W^{'} (q)$ ，我们可以定义新的湮灭算符和产生算符：

a_{B} = \frac{1}{2} (W^{'} (Q) + i P), a_{B}^{†} = \frac{1}{2} (W^{'} (Q) - i P)

这里 $W^{'} (Q)$ 是薛定谔位置空间表示中关于 $q .$ 的函数上的乘法算符 $W^{'} (q)$ 。谐振子是特殊情况

W (q) = \frac{q ^{2}}{2}

我们保留对算符的定义

Q_{+} = a_{B} a_{F}^{†}, Q_{-} = a_{B}^{†} a_{F}

这些满足

Q_{+}^{2} = Q_{-}^{2} = 0

原因与振子情形相同： $a_{F}$ 或 $a_{F}^{†}$ 的重复因子为零。取与之前相同的平方作为哈密顿算子，我们得到

H = (Q_{+} + Q_{-})^{2} = \frac{1}{2} (W^{'} (Q) + i P) (W^{'} (Q) - i P) a_{F}^{†} a_{F} + \frac{1}{2} (W^{'} (Q) - i P) (W^{'} (Q) + i P) a_{F} a_{F}^{†} = \frac{1}{2} (W^{'} (Q)^{2} + P^{2}) (a_{F}^{†} a_{F} + a_{F} a_{F}^{†}) + \frac{1}{2} (i [P, W^{'} (Q)]) (a_{F}^{†} a_{F} - a_{F} a_{F}^{†}) = \frac{1}{2} (W^{'} (Q)^{2} + P^{2}) + \frac{1}{2} (i [P, W^{'} (Q)]) σ_{3}

但 $i P$ 是对应于 $Q,$ 中无穷小平移的算符，因此我们有

i [P, W^{'} (Q)] = W^{''} (Q)

和

H = \frac{1}{2} (W^{'} (Q)^{2} + P^{2}) + \frac{1}{2} W^{''} (Q) σ_{3}

对于 $W$ 的不同选择，这给出了一大类量子系统，可用作研究基态性质的玩具模型。它们都具有相同的态空间

H = H_{B} \otimes F_{1}^{+} = L^{2} (R) \otimes C^{2}

（对玻色子因子使用薛定谔表示）。能量特征值将为非负，且具有正能量的能量特征向量将成对出现

∣ ψ ⟩, (Q_{+} + Q_{-}) ∣ ψ ⟩

对于任何量子系统，一个重要的问题是它是否具有唯一的能量最低态。如果能量最低态不唯一，并且一个对称群在能量最低态空间上的作用是非平凡的，则称该对称是“自发破缺的”，这一情形将在 39.4 节中讨论。在超对称量子力学系统中，从李超代数的角度考虑，人们称 $Q_{1}$ 为某个超对称作用的生成元，而 $H$ 在该超对称下不变，其含义是 $Q_{1}$ 与 $H$ 的对易子为零。超对称如何作用于能量最低态的问题取决于能否找到方程的解

(Q_{+} + Q_{-}) ∣0 ⟩ = Q_{1} ∣0 ⟩ = 0

它将是一个能量为零的最低能量态。如果这样的解确实存在，人们就把基态 |0⟩ 描述为“在超对称 $ry^{y}$ 下不变”。如果不存在这样的解， $Q_{1}$ 将把一个最低能量态变为另一个不同的最低能量态 $^{e,}$ ，在这种情况下，人们说超对称被“自发破缺”。对于一个给定的超对称理论，其超对称是否自发破缺这一问题，在更为复杂的超对称量子场论情形中已引起极大兴趣。在那里，与真实世界建立联系（迄今尚未实现）的希望依赖于找到超对称自发破缺的理论。

在这个简单的量子力学系统中，人们可以尝试显式求解方程 $Q_{1} ∣ ψ ⟩ = 0$ 。态可以写成二分量的复函数

∣ ψ ⟩ = (ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q ))

而要求解的方程是

(Q_{+} + Q_{-}) ∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2} ((W^{'} (Q) + i P) a_{F}^{†} + (W^{'} (Q) - i P) a_{F}) (ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q )) = \frac{1}{2} ((W^{'} (Q) + \frac{d}{d q}) (0010) + (W^{'} (Q) - \frac{d}{d q}) (0100)) (ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q )) = \frac{1}{2} (W^{'} (Q) (0110) + \frac{d}{d q} (0 - 1 10)) (ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q )) = \frac{1}{2} (0 - 1 10) (\frac{d}{d q} - W^{'} (Q) σ_{3}) (ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q )) = 0

其通解为

(ψ _{-} ( q ) ψ _{+} ( q )) = e^{W (q) σ_{3}} (c _{-} c _{+}) = (c _{-} e ^{- W (q)} c _{+} e ^{W (q)})

对于复常数 $c_{+}, c_{-}$ 。这样的解只有在可归一化时才能成立，如果

c_{+} = 0, q \to \pm \infty lim W (q) = + \infty

或

c_{-} = 0, q \to \pm \infty lim W (q) = - \infty

例如，如果 $W (q)$ 是奇多项式，则这两个条件中的任何一个都无法满足，因此将没有解，并且超对称性将被自发破缺。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 351、352、353、354、355、356、357

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：4bffdfd7f61d0f27874e4d55387956022c3478d2484e219ae76652492608b208

译稿产物 SHA-256：1ac24d8a30b139eb84a2ffbb1ac2a18fed0fcec4a9c02ab04c7f34c05c258152

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