可微流形 / Differentiable manifold

Woit · §2.1 Some representation theory

中文译文

Woit §2.1 将李群称为可微流形，但这里没有给出图册/坐标定义；完整来源指向 Szekeres §15.1。

译文摘录

我们主要感兴趣的是 $G$ 为李群的情形，此时 $G$ 是某个维数的可微流形。在这种情况下，我们将只关注由可微映射 $π$ 给出的表示。作为空间， $G L (n, C)$ 是所有 $n$ 乘 $n$ 复矩阵构成的空间 $C^{n^{2}}$ ，并去掉不可逆（行列式为零）元素构成的轨迹。在 $G, π$ 上选取局部坐标将由 $G,$ 上的 $2 n^{2}$ 个实函数给出，而 $G$ 是可微流形这一条件意味着 $π$ 的导数被一致地定义。我们的重点不是一般情形，而是研究量子力学中具有核心意义的某些特定李群和表示 $π$ 。对于这些表示，人们将能够容易地看出映射 $π$ 是可微的。

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 31；印刷页 14

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Szekeres · §15.1 可微流形

英文原文

Szekeres defines a differentiable manifold as a topological n-manifold equipped with a maximal C∞-compatible atlas; its smoothness convention is explicitly C∞.

原文定义摘录

A locally Euclidean space or topological manifold $M$ of dimension $n$ is a Hausdorff topological space $M$ in which every point $x$ has a neighbourhood homeomorphic to an open subset of $R^{n}$ . If $p$ is any point of $M$ then a (coordinate) chart at $p$ is a pair $(U, ϕ)$ where $U$ is an open subset of $M,$ , called the domain ofthe chart and $ϕ : U \to ϕ (U) \subset R^{n}$ is a homeomorphism between $U$ and its image $ϕ (U)$ . The image $ϕ (U)$ is an open subset of $R^{n}$ , given the relative topology in $R^{n}$ . It is also common to call $U$ a coordinate neighbourhood of $\dot{p}$ and $ϕ$ a coordinate map. The functions $x^{i} = pr_{i} \circ ϕ : U R (i = 1, \dots, n)$ , where $pr_{i} : R^{n} \to R$ are the standard projection maps, are known as the coordinate functions determined by this chart, and the real numbers $x^{i} (p)$ are called the coordinates of $p$ in this chart (see Fig. 15.1). Sometimes, when we wish to emphasize the symbols to be used fo the coordinate functions, we denote the chart by $(U, ϕ; x^{i})$ , or simply $(U; x^{i})$ . Occasionally the term coordinate system at $p$ is used for a chart whose domain $U$ covers $p .$ . The use of superscripts rather than subscripts for coordinate functions is not universal, but its advantages will become apparent as the tensor formalism on manifolds is developed.

For any pair ofcoordinate charts $(U, ϕ; x^{i})$ ) and $(U^{'}, ϕ^{'}; x^{' j})$ such that $U \cap U^{'} \neq = \emptyset.$ , define the transition functions
$ϕ^{'} \circ ϕ^{- 1} : ϕ (U \cap U^{'}) ϕ \circ ϕ^{- 1} : ϕ^{'} (U \cap U^{'}) \to ϕ^{'} (U \cap U^{'}), \to ϕ (U \cap U^{'}),$

Figure 15.1 Chart at a point $p$

Figure 15.2 Transition functions on compatible chart

which are depicted in Fig. 15.2. The transition functions are often written
$x^{' j} = x^{' j} (x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}) and x^{i} = x^{i} (x^{'1}, x^{'2}, \dots, x^{' n}) (i, j = 1, \dots, n) (15.1)$
which is an abbreviated form of the awkward, but technically correct,
$x^{' j} (p) x^{i} (p) = pr_{i} \circ ϕ^{'} \circ ϕ^{- 1} (x^{1} (p), x^{2} (p), \dots, x^{n} (p)), = pr_{i} \circ ϕ \circ ϕ^{' - 1} (x^{'1} (p), x^{'2} (p), \dots, x^{' n} (p)) .$
The two charts are said to be $C^{r}$ -compatible where $r$ is a non-negative integer or $\infty,$ if al the functions in Eq. (15.1) are $C^{r}$ . For convenience we will generally assume that the charts are $C^{\infty} - compatible.$

An atlas on $M$ is a family of charts $A = {(U_{α}, ϕ_{α}) ∣ α \in A}$ such that the coordinate neighbourhoods $U_{α}$ cover $M,$ , and any pair of charts from the family are $C^{\infty}$ -compatible. If $A$ and $A^{'}$ are two atlases on $M$ then so is their union $A \cup A$

Exercise

Prove this statement. [Hint: A differentiable function of a differentiable function is always differentiable.]

Any atlas $A$ may thus be extended to a maximal atlas by adding to it all charts that are $C^{\infty}$ -compatible with the charts of . This maximal atlas is called a differentiable structure on $M$ . A pair $(M, A)$ , where $M$ , is an $n$ -dimensional topological manifold and is a differentiable structure on $M,$ , is called a differentiable manifold; it is usually just denoted $M$ .

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原文位置：§15.1；PDF 页 2、3；印刷页 411、412

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中文译文

Szekeres 将可微流形定义为带有极大 C∞ 相容图册的拓扑 n 维流形；这里的光滑性约定明确为 C∞。

译文摘录

局部欧几里得空间或拓扑流形(topological manifold) $M$ 的维数为 $n$ ，是一个豪斯多夫拓扑空间 $M$ ，其中每一点 $x$ 都有一个邻域同胚于 $R^{n}$ 的开子集。如果 $p$ 是 $M$ 的任意一点，那么在 $p$ 处的一个坐标卡(coordinate chart) 是一对 $(U, ϕ)$ ，其中 $U$ 是 $M,$ 的开子集，称为该坐标卡的定义域，而 $ϕ : U \to ϕ (U) \subset R^{n}$ 是 $U$ 与其像 $ϕ (U)$ 之间的同胚。像 $ϕ (U)$ 是 $R^{n}$ 的开子集，赋予 $R^{n}$ 中的相对拓扑。也常将 $U$ 称为 $\dot{p}$ 的坐标邻域(coordinate neighbourhood)，将 $ϕ$ 称为坐标映射(coordinate map)。函数 $x^{i} = pr_{i} \circ ϕ : U R (i = 1, \dots, n)$ ，其中 $pr_{i} : R^{n} \to R$ 是标准投影映射，称为由该坐标卡确定的坐标函数(coordinate function)，而实数 $x^{i} (p)$ 称为 $p$ 在该坐标卡中的坐标（见图 15.1）。有时，当我们希望强调用于坐标函数的符号时，我们将坐标卡记作 $(U, ϕ; x^{i})$ ，或简记为 $(U; x^{i})$ 。偶尔，术语“在 $p$ 处的坐标系”被用于定义域 $U$ 覆盖 $p .$ 的坐标卡。坐标函数使用上标而非下标并非普遍做法，但随着流形上张量形式体系的发展，其优点将变得明显。

对于任意一对坐标卡 $(U, ϕ; x^{i})$ 与 $(U^{'}, ϕ^{'}; x^{' j})$ ，若 $U \cap U^{'} \neq = \emptyset.$ ，则定义过渡函数(transition function)
$ϕ^{'} \circ ϕ^{- 1} : ϕ (U \cap U^{'}) ϕ \circ ϕ^{- 1} : ϕ^{'} (U \cap U^{'}) \to ϕ^{'} (U \cap U^{'}), \to ϕ (U \cap U^{'}),$

图 15.1 在点 $p$ 处的坐标卡

图 15.2 相容坐标卡上的过渡函数

它们如图15.2所示。过渡函数常写作
$x^{' j} = x^{' j} (x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}) and x^{i} = x^{i} (x^{'1}, x^{'2}, \dots, x^{' n}) (i, j = 1, \dots, n) (15.1)$
它是这一笨拙但在技术上正确的表述的缩写形式，
$x^{' j} (p) x^{i} (p) = pr_{i} \circ ϕ^{'} \circ ϕ^{- 1} (x^{1} (p), x^{2} (p), \dots, x^{n} (p)), = pr_{i} \circ ϕ \circ ϕ^{' - 1} (x^{'1} (p), x^{'2} (p), \dots, x^{' n} (p)) .$
若方程 (15.1) 中的所有函数都是 $C^{r}$ ，则称这两张图卡是 $C^{r}$ -相容的，其中 $r$ 为非负整数或 $\infty,$ 。为方便起见，我们通常假定这些图卡是 $C^{\infty} - compatible.$

$M$ 上的图册(atlas) 是一族图卡 $A = {(U_{α}, ϕ_{α}) ∣ α \in A}$ ，使得坐标邻域 $U_{α}$ 覆盖 $M,$ ，且该族中任意一对图卡都是 $C^{\infty}$ 相容的。若 $A$ 与 $A^{'}$ 是 $M$ 上的两个图册，则它们的并集 $A \cup A$ 也是。

随文练习

证明该命题。[提示：可微函数的可微函数总是可微的。]

因此，任何图册 $A$ 都可以通过向其中添加所有与的图卡 $C^{\infty}$ 相容的图卡，从而扩展为一个极大图册(maximal atlas)。这个极大图册称为 $M$ 上的一个可微结构(differentiable structure)。若 $M$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，且是 $M,$ 上的一个可微结构，则称有序对 $(M, A)$ 为一个可微流形(differentiable manifold)；通常就简记为 $M$ 。

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原文位置：§15.1；PDF 页 2、3；印刷页 411、412

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