15.1 可微流形

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局部欧几里得空间或 拓扑流形(topological manifold) $M$ 的维数为 $n$，是一个豪斯多夫拓扑空间 $M$，其中每一点 $x$ 都有一个邻域同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集。如果 $p$ 是 $M$ 的任意一点，那么在 $p$ 处的一个 坐标卡(coordinate chart) 是一对 $(U,\varphi )$，其中 $U$ 是 $M,$ 的开子集，称为该坐标卡的定义域，而 $\varphi :U\to \varphi (U)\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 $U$ 与其像 $\varphi (U)$ 之间的同胚。像 $\varphi (U)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集，赋予 ${\mathbb{R}}^n$ 中的相对拓扑。也常将 $U$ 称为 $\dot{\mathbf{p}}$ 的 坐标邻域(coordinate neighbourhood)，将 $\varphi$ 称为 坐标映射(coordinate map)。函数 $x^i={\mathrm{pr}}_i\circ \varphi :U\mathbb{R}(i=1,\dots ,n)$，其中 ${\mathfrak{pr}}_i:{\mathbb{R}}^n\to R$ 是标准投影映射，称为由该坐标卡确定的 坐标函数(coordinate function)，而实数 $x^i(p)$ 称为 $p$ 在该坐标卡中的坐标（见图 15.1）。有时，当我们希望强调用于坐标函数的符号时，我们将坐标卡记作 $(U,\varphi ;x^i)$，或简记为 $(U;x^i)$。偶尔，术语“在 $p$ 处的坐标系”被用于定义域 $U$ 覆盖 $p.$ 的坐标卡。坐标函数使用上标而非下标并非普遍做法，但随着流形上张量形式体系的发展，其优点将变得明显。

对于任意一对坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$ 与 $(U^{\prime },{\varphi }^{\prime };x^{\prime j})$，若 $U\cap U^{\prime }\ne \varnothing .$，则定义 过渡函数(transition function)

$$\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }\circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U\cap U^{\prime })\to {\varphi }^{\prime }(U\cap U^{\prime }),\\ \varphi \circ {\varphi }^{-1}:{\varphi }^{\prime }(U\cap U^{\prime })\to \varphi (U\cap U^{\prime }),\end{array}$$

图 15.1 在点 $p$ 处的坐标卡

图 15.2 相容坐标卡上的过渡函数

它们如图15.2所示。过渡函数常写作

$$x^{\prime j}=x^{\prime j}(x^1,x^2,\dots ,x^n)\text{ and }{x}^i=x^i(x^{\prime 1},x^{\prime 2},\dots ,x^{\prime n})(i,j=1,\dots ,n)\text{\hspace{1em}(15.1)}$$

它是这一笨拙但在技术上正确的表述的缩写形式，

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime j}(p)={\mathsf{pr}}_i\circ {\varphi }^{\prime }\circ {\varphi }^{-1}(x^1(p),x^2(p),\dots ,x^n(p)),\\ x^i(p)={\mathsf{pr}}_i\circ \varphi \circ {\varphi }^{\prime -1}(x^{\prime 1}(p),x^{\prime 2}(p),\dots ,x^{\prime n}(p)).\end{array}$$

若方程 (15.1) 中的所有函数都是 $C^r$，则称这两张图卡是 $C^r$-相容的，其中 $r$ 为非负整数或 $\infty ,$。为方便起见，我们通常假定这些图卡是 $C^{\infty }-compatible.$

$M$ 上的 图册(atlas) 是一族图卡 $\mathcal{A}=\{(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })|\alpha \in A\}$，使得坐标邻域 $U_{\alpha }$ 覆盖 $M,$，且该族中任意一对图卡都是 $C^{\infty }$ 相容的。若 $\mathbf{A}$ 与 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是 $M$ 上的两个图册，则它们的并集 $\mathcal{A}\cup \mathcal{A}$ 也是。

随文练习

证明该命题。[提示：可微函数的可微函数总是可微的。]

因此，任何图册 $\mathbf{A}$ 都可以通过向其中添加所有与 的图卡 $C^{\infty }$ 相容的图卡，从而扩展为一个 极大图册(maximal atlas)。这个极大图册称为 $M$ 上的一个 可微结构(differentiable structure)。若 $M$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，且 是 $M,$ 上的一个可微结构，则称有序对 $(M,A)$ 为一个 可微流形(differentiable manifold)；通常就简记为 $M$。

雅可比矩阵$\mathbf{J}=[\partial x^{\prime k}/\partial x^j]$是非奇异的，因为其逆为${\mathsf{J}}^{-1}=[\partial x^i/\partial x^{\prime k}]$

$${\mathsf{J}}^{-1}\mathsf{J}=\left[\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime k}}\frac{\partial x^{\prime k}}{\partial x^j}\right]=\left[\frac{\partial x^i}{\partial x^j}\right]=\left[{\delta }_j^i\right]=\mathsf{I}.$$

类似地，$\mathsf{J}{\mathsf{J}}^{-1}=\mathsf{I}.$。因此雅可比行列式不为零，$det$ $[\partial x^{\prime j}/\partial x^i]\ne 0$ 我们在此处以及本书其余部分重新采用前几章的求和约定。

例 15.1

欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 平凡地是一个流形，因为单个图卡 $(U={\mathbb{R}}^n,\varphi =\mathrm{id})$ 覆盖了它，并生成一个由所有与其相容的图卡组成的唯一图册。例如，在 ${\mathbb{R}}^2$ 中允许使用由下式定义的极坐标 $(r,\theta )$

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

在开集$U={\mathbb{R}}^2-\{(x,y)|x\ge 0,y=0\}$上与$(x,y)$相容。逆变换为

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\{\begin{array}{ll}\arctan y/x& \text{ if }y>0,\\ \pi & \text{ if }y=0,x<0,\\ \pi +\arctan y/x& \text{ if }y<0.\end{array}$$

在$(r,\theta )-\mathsf{plane}$中，像集$\varphi (U)$是半无限开条带$r>0,0<\theta <2\pi$

例 15.2

${\mathbb{R}}^n$ 的任意开区域 $U$ 通过赋予其相对拓扑以及由单一坐标卡 $(U,{\mathrm{id}}_{U}U\to {\mathbb{R}}^n)$ 生成的可微结构，构成一个可微流形。$U$ 上的每个坐标卡都是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的坐标邻域与坐标映射限制到开区域 $U$ 的结果，并可写成 $(U\cap V,\psi {|}_{U\cap V})$，其中 $(V,\psi )$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个坐标卡。这样的流形称为 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子流形。

随文练习

描述 ${\mathbb{R}}^3$ 的开区域以及球极坐标所定义的 $(r,\theta ,\varphi )$ 中的像集，

$$x=r\sin \theta \cos \varphi ,y=r\sin \theta \sin \varphi ,z=r\cos \theta .\text{\hspace{1em}(15.2)}$$

例 15.3

单位圆 $S^1\subset {\mathbb{R}}^2$ 由方程 $x^2+y^2=1$ 定义，是一维流形。坐标 $x$ 可用于上半圆 $y>0$ 或下半圆 $y<0_{:}$，但不能用于整个 $S^1$。或者，在例 15.1 中定义的极坐标中令 $r=1$，一个可能的图卡是 $(U,\varphi ;\theta )$，其中 $U=S^1-\{(1,0)\}$，且 $\varphi :U\to \mathbb{R}$ 由 $\varphi ((x,y))=\theta$ 定义。像集 $\varphi (U)$ 是开区间 $(0,2\pi )\subset \mathbb{R}$。这些图卡显然彼此相容。$S^1$ 是唯一不同胚于实直线 $\mathbb{R}$ 的一维流形。

例 15.4

定义为 ${\mathbb{R}}^3$ 中满足条件的点 $(x,y,z)$ 的子集的二维球面 $S^2$

$$x^2+y^2+z^2=1$$

是一个二维可微流形。$S^2$ 上一些可能的图卡是：

(i) 矩形坐标 $(x,y)$，分别定义于上半球面和下半球面 $z>0$ 与 $z<0$ 上。这两个坐标图互不相交，且由于中心平面 $z=0$ 上的点被略去，它们并不覆盖整个球面。

(ii) 从北极出发的球极投影，即式 (10.1) 和 (10.2)，定义了一个图卡 $(S^2-\{(0,0,1)\},{\mathrm{St}}_N)$，其中 ${\mathrm{St}}_N:(x,y,z)\mapsto (X,Y)$ 由下式给出

$$X=\frac{x}{1-z},Y=\frac{y}{1-z}.$$

这些坐标在球体的北极 $N=(0,0,1)$ 处没有定义，但从南极 $S=(0,0,-1)$ 出发的类似投影映射 ${\mathsf{St}}_S$ 将覆盖 $N$，

$$X^{\prime }=\frac{x}{1+z},Y^{\prime }=\frac{y}{1+z}.$$

显然，这两个坐标卡均与直角坐标卡 (i) 相容，因此在它们的重叠区域内也彼此相容。

(iii) 球极坐标 $(\theta ,\varphi )$，通过在方程 (15.2) 中令 $r=1$ 定义。简单的代数运算表明，它们与 (ii) 中的球极坐标通过以下关系相联系：

$$X=\cot \frac{1}{2}\theta \cos \varphi ,Y=\cot \frac{1}{2}\theta \sin \varphi ,$$

因此，在它们的定义区域内构成一个相容的图卡。

以类似的方式，$n$-球面$S^n$，

$$S^n=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}|{\left(x^1\right)}^2+{\left(x^2\right)}^2+\cdots +{\left(x^{n+1}\right)}^2=1\right\}$$

是可微流形，维数为 $n$。提供图册的一组图卡是所有半球上的矩形坐标集合，$(U_i^{+},{\varphi }_i^{\pm })$ 与 $(U_i^{-},{\varphi }_i^{\pm })$），其中

$$U_i^{+}=\{\mathbf{x}\in S^n\mid x^i>0\},U_i^{-}=\{\mathbf{x}\in S^n\mid x^i<0\},$$

而 ${\varphi }_i^{+}:U_i^{+}\to {\mathbb{R}}^n$ 与 ${\varphi }_i^{-}:U_i^{-}\to {\mathbb{R}}^n$ 均由下式定义

$${\varphi }_i^{\pm }(\mathbf{x})=\left(x^1,x^2,\dots ,x^{i-1},x^{i+1},\dots ,x^{n+1}\right).$$

随文练习

证明 ${\mathrm{St}}_N$ 与 ${\mathrm{St}}_S$ 是相容的，通过表明它们由下式相联系

$$X^{\prime }=\frac{X}{X^2+Y^2},Y^{\prime }=\frac{Y}{X^2+Y^2}.$$

例 15.5

$n\times n$ 实矩阵的集合 $M(n,\mathbb{R})$ 可以通过由下式定义的映射 $\varphi :M(n,\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{n^2}$ 与 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的点建立一一对应：

$$\varphi (A=[a_{ij}])=\left(a_{11},a_{12},\dots ,a_{1n},a_{21},a_{22},\dots ,a_{nn}\right).$$

这为 $M(n,\mathbb{R})$ 提供了以显然的方式从 $R^{n^2}$ 继承的 Hausdorff 拓扑。由坐标图 $(M(n,\mathbb{R}),\varphi )$ 生成的可微结构将 $M(n,\mathbb{R})$ 转化为维数为 $n^2$ 的可微流形。

$n\times n$ 阶实非奇异矩阵群 $GL(n,\mathbb{R})$ 由行列式非零的 $n\times n$ 实矩阵组成。行列式映射 $det$ ： $GL(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 是连续的，因为它完全由多项式运算构成，因此 $\varphi (GL(n,\mathbb{R}))=\det {\mathring{A}}^{-1}(\mathbb{R}-\{0\})$ 是 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的开子集。于是 $GL(n,\mathbb{R})$ 是维数为 $n^2$ 的可微流形，因为它与 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的一个开子流形一一对应。

由任意两个可微流形 $M$ 与 $N$，其维数分别为 $m$ 与 $n$，可以构造它们的乘积 $M\times N$，即第 10.4 节所定义的拓扑空间。设 $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ 与 $(V_{\beta },{\psi }_{\beta })$ 为 $M$ 与

$N$ 分别生成这些流形上的可微结构。卡 $(U_{\alpha }\times V_{\beta },{\varphi }_{\alpha }\times {\psi }_{\beta })$，其中 ${\varphi }_{\alpha }\times {\psi }_{\beta }:U_{\alpha }\times V_{\beta }\to {\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^{m+n}$ 由下式定义

$${\varphi }_{\alpha }\times {\psi }_{\beta }((p,q))=({\varphi }_{\alpha }(p),{\psi }_{\beta }(q))=(x^1(p),\dots ,x^m(p),y^1(q),\dots ,y^n(q)),$$

显然覆盖 $M\times N$，并且在其重叠部分明显相容。由这些图卡生成的极大图册是 $M\times N$ 上的一个可微结构，使其成为维数为 $m+n$ 的可微流形。

例 15.6

拓扑二维环面 $T^2=S^1\times S^1$（见例 10.13）可以按显然的方式，由 $S^1$ 上的流形结构赋予乘积流形的可微结构。类似地，可以定义 $n$ 环面为 $n$ 个圆周的乘积，$T^n=S^1\times S^1\times \cdots \times S^1={\left(S^1\right)}^n$

习题

习题 15.1

证明幺模矩阵群 $SL(n,\mathbb{R})=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|$ $det$ $A=1\}$ 是一个可微流形。

习题 15.2

在 $n$-球面 $S^n$ 上，求对应于 (i) 球极投影映射、(ii) 球极坐标的坐标。

习题 15.3

证明在例 10.15 中定义为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中过原点的直线集合的实射影 $n$ 空间 $P^n$ 是一个维数为 $n$ 的可微流形，方法是找到一个覆盖它的相容图册。

习题 15.4

以与例 10.15 类似的方式定义复射影 $n$ 空间 $C{P}^n$ 为 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中形如 $\lambda (z^0,z^1,\dots ,z^n)$ 的直线，其中 $\lambda ,z^0,\dots ,z^n\in \mathbb{C}$。证明 $C{P}^n$ 是维数为 2$n$ 的可微（实）流形。