复内积 / Complex inner product

Szekeres · §5.2 复内积空间

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我们现在考虑一个复向量空间 $V$，它首先可能是无限维的。向量仍将用小写罗马字母表示，例如 $u$ 和 $v$，但复标量将用希腊字母表示，例如字母表前部的 $\alpha$、$\beta ,\dots$。词语 内积(inner product)，或 标量积(scalar product)，在复向量空间上

$V$ 将保留给一个映射 $V\times V\to \mathbb{C}$，该映射为每一对向量 $u$、$v\in V:$ 指定一个复标量 $⟨u\mid v⟩$，满足

(IP1) $⟨u\mid v⟩=\overline{⟨v\mid u⟩}$

(IP2) 对所有复数 $⟨u\mid \alpha v+\beta w⟩=\alpha ⟨u\mid v⟩+\beta ⟨u\mid w⟩$ 成立 $\alpha ,\beta$

(IP3) $⟨u|u⟩\ge 0$ 与 $⟨u\mid u⟩=0⟺u=0$

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原文位置：§5.2；PDF 页 8、9；印刷页 133、134

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Woit · §4.4 Inner products

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译文摘录

定义（内积，复情形）。复向量空间 $V$ 上的厄米内积是一个映射

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbf{C}$$

即共轭对称

$$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$$

在两个变量上均非退化，在第二个变量上线性，在第一个变量上反线性：对于 $\alpha \in \mathbf{C}$ 和 $u,v,w\in V$。

$$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩,⟨\alpha u,v⟩=\overline{\alpha }⟨u,v⟩$$

内积为向量给出了长度平方 $||\cdot |{|}^2$ 的概念，其中

$$||v|{|}^2=⟨v,v⟩$$

注意，将反线性规定在第一个变量还是第二个变量是一个约定问题。我们所做的选择在物理学家中是普遍的，而相反的选择在数学家中则很常见。除非特别说明，我们的厄米内积将是正定的（对于 $v\ne 0$ 有 $\Vert v{\Vert }^2>0$）（即明确表征为不定厄米内积）。

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.4；PDF 页 55、56；印刷页 38、39

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