36.5 动力学

36.5 动力学

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为了描述量子场论系统的时间演化，通常使用海森堡绘景（其中时间依赖性体现在算符中）比使用薛定谔绘景（其中时间依赖性体现在态中）更为简便。在相对论系统中尤其如此，因为人们希望尽可能将空间和时间同等对待。然而，在非相对论多粒子系统的情况下也是如此，这是由于态的描述的复杂性（因为人们试图描述任意数量的粒子，这种复杂性是固有的）与算符的描述相比，后者仅由湮灭算符和产生算符简单构成。

在海森堡绘景中，算符$\hat{f}$的时间演化为

$$\hat{f}(t)=e^{iHt}\hat{f}(0)e^{-iHt}$$

而这类算符满足该微分方程

$$\frac{d}{dt}\hat{f}=[\hat{f},-iH]$$

对于在第36.2节有限截断形式体系中产生和湮灭动量为$p_j$的态的那些算符，$H=\hat{H}$（由方程36.10给出），并且我们有

$$\frac{d}{dt}{a}^{†}(p_j,t)=[a^{†}(p_j,t),-i\hat{H}]=i\frac{p_j^2}{2m}{a}^{†}(p_j,t)$$

附解答

$$a^{†}(p_j,t)=e^{i\frac{p_j^2}{2m}t}{a}^{†}(p_j,0)\text{\hspace{1em}(36.18)}$$

回忆一下，在经典哈密顿力学中，哈密顿函数 $h$ 通过微分方程决定可观测量 $f$ 如何随时间演化

$$\frac{d}{dt}f=\{f,h\}$$

量子化将 $f$ 变为算符 $\hat{f},$，并将 $h$ 变为自伴算符 $H$。

在我们的情形中，“经典”动力学方程指的是薛定谔方程。在有限截断形式体系中，可以将哈密顿算子取为

$$h=\sum _j\frac{p_j^2}{2m}A(p_j)\overline{A}(p_j)$$

这里，$A(p_j)$ 应被解释为线性函数，其在由 $\alpha$ 给出的解上取值 ${\alpha }_j$，而 $h$ 是解上的二次函数，其取值为

$$h(\alpha )=\sum _j\frac{p_j^2}{2m}\alpha (p_j)\overline{\alpha }(p_j)$$

哈密顿方程是

$$\frac{d}{dt}A(p_j,t)=\{A(p_j,t),h\}=i\frac{p_j^2}{2m}A(p_j,t)$$

附解答

$$A(p_j,t)=e^{i\frac{p_j^2}{2m}t}A(p_j,0)$$

在连续统形式体系中，可以写出

$$h={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{p^2}{2m}A(p)\overline{A}(p)dp$$

应将其解释为有限截断版本的极限。我们不会试图对此类分布的二次乘积给出严格的连续统解释。正如在 36.3 节末尾所讨论的，$h$ 的量子化可以严格地解释为一个双线性形式。然而，我们将假定 $A(p_j,t)$ 具有连续极限分布 $A(p,t)$，满足

$$\frac{d}{dt}A(p,t)=i\frac{p^2}{2m}A(p,t)$$

因此具有时间依赖性

$$A(p,t)=e^{i\frac{p^2}{2m}t}A(p,0)$$

注意，这一次的时间依赖性与薛定谔解的时间依赖性相反，因为作为分布，$\frac{d}{dt}A(p,t)$ 作用在函数 $f$ 上等于 $A(p,t)$ 作用在 $\begin{array}{r}-\frac{d}{dt}f.\end{array}$ 上

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