36.2 自由粒子的多粒子量子系统：有限截断形式

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

为了用谐振子系统的量子来描述多粒子量子系统，我们希望按照 36.1 节所述的方式进行，将自由粒子薛定谔方程的解（在第 10 章和第 11 章中讨论）作为单粒子态空间。回想一下，对于一维空间中的自由粒子，这样的解由 $R$ 上的复值函数给出，可观测量为动量的自伴算符

P = - i \frac{d}{d x}

和能量（哈密顿算子）

H = \frac{P ^{2}}{2 m} = - \frac{1}{2 m} \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}

$P$ 和 $H$ 二者的本征函数都是形如

ψ_{p} (x) \propto e^{i p x}

对于 $p \in R .$ ，其特征值为 $p$ （对应 $P$ ）和 $\frac{p ^{2}}{2 m}$ （对应 $H$ ）。回忆一下，这些本征函数不可归一化，因此不属于通常选取的状态空间 $L^{2} (R)$ 。

正如我们在 11.1 节中所看到的，处理这个问题的一种方法是做物理学家有时称之为“把系统放进盒子里”的事情，即施加周期边界条件

ψ (x + L) = ψ (x)

对某个数 $L,$ ，实际上将所考虑的 $x$ 的相关取值限制在长度为 $L .$ 的区间内。对于我们的本征函数，此条件是

e^{i p (x + L)} = e^{i p x}

因此我们必须有

e^{i p L} = 1

这意味着

p = \frac{2 π}{L} j \equiv p_{j}

对于 $j$ 一个整数。那么动量将取对应于 $j \in Z,$ 的可数个离散值，并且

∣ j ⟩ = ψ_{j} (x) = \frac{1}{L} e^{i p_{j} x} = \frac{1}{L} e^{i \frac{2 π j}{L} x}

将是满足下式的正交归一特征函数

⟨ j^{'} ∣ j ⟩ = δ_{j j^{'}}

这种对周期边界条件的使用，就是物理学家所称的“红外 $cutoff^{,}$ ”的一种形式，即一种去除对应于任意大尺寸的自由度、以使量子系统良定义的方法。人们先取定 $L,$ 的一个固定值，之后才研究极限 $L \to \infty$

自由度数目现在是可数的，但仍然无限，因此还必须做更多的事情才能使单粒子态空间成为有限维。这可以通过一个额外的截断，即“紫外截断”来实现，这意味着将注意力限制在 $∣ p ∣ \leq Λ$ 上，其中 $Λ,$ 为某个有限值，或等价地限制在 $∣ j ∣ < \frac{Λ L}{2 π}$ 上。这使得解空间成为有限维，从而允许使用曾用于有限维谐振子的 Bargmann-Fock 方法进行量子化。随后可以在计算结束时取 $Λ\infty$ 和 $L \infty$ 极限。

薛定谔方程是时间上的一阶微分方程，t，其解可以完全由其在 $t = 0$ 处的初值刻画。

ψ (x, 0) = j = - \frac{Λ L}{2 π} \sum + \frac{Λ L}{2 π} α (p_{j}) e^{i \frac{2 π j}{L} x}

由复系数 $α = {α (p_{j})}$ 的选择所确定。在之后时刻，解将由下式给出

ψ (x, t) = j = - \frac{Λ L}{2 π} \sum + \frac{Λ L}{2 π} α (p_{j}) e^{i p_{j} x} e^{- i \frac{p _{j}^{2}}{2 m} t} (36.5)

我们的解空间是所有复数集合 $α (p_{j})$ 构成的空间。原则上，我们可以把这个空间当作对偶相空间，并使用薛定谔表示进行量子化，例如把 $α (p_{j})$ 的实部当作类位置坐标。特别是由于我们的对偶相空间已经是复的，使用巴格曼-福克量子化方法要方便得多。回顾第 26.4 节的讨论，我们将既需要一对偶相空间 $M$ 及其共轭空间 $\overline{M}$ ，这意味着我们将不仅需要考虑薛定谔方程的解，还需要考虑其共轭方程的解

- i \frac{\partial}{\partial t} \overline{ψ} = - \frac{1}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} \overline{ψ} (36.6)

其被通常薛定谔方程解 $ψ$ 的共轭 $\overline{ψ}$ 所满足。我们将取 $M = H_{1}$ 为薛定谔方程解 36.5 的空间。 $\overline{M} = \overline{H}_{1}$ 将是 36.6 的解空间，其可写为

j = - \frac{Λ L}{2 π} \sum + \frac{Λ L}{2 π} \overline{α} (p_{j}) e^{- i p_{j} x} e^{i \frac{p _{j}^{2}}{2 m} t}

对于某些复数 $\overline{α} (p_{j})$ 。

$M$ 的一个基将由

A (p_{j}) = {α (p_{k}) = 0 α (p_{k}) = 1 k \neq = j k = j

带有共轭 $\overline{A} (p_{j})$ 的 $\overline{M}$ 的基。 $M \oplus \overline{M}$ 上的泊松括号将由基元素上的以下泊松括号关系确定

{A (p_{j}), A (p_{k})} = {\overline{A} (p_{j}), \overline{A} (p_{k})} = 0, {A (p_{j}), \overline{A} (p_{k})} = i δ_{j k} (36.7)

Bargmann-Fock 量子化给出的状态空间为 a Fock 空间 $F_{D}$ ，其中 $D$ 是 $p_{j}$ 的取值个数。这是（忽略完备化问题）关于 $D$ 个变量 $A (p_{j})$ 的多项式空间。人们有一对湮灭算符和产生算符

a (p_{j}) = \frac{\partial}{\partial A ( p _{j} )}, a (p_{j})^{†} = A (p_{j})

对于 $j,$ 的每一个可能取值，它索引着 $p_{j}$ 的可能取值。这些算符满足对易关系

[a (p_{j}), a (p_{k})^{†}] = δ_{j k}

在Fock空间的占据数表示中，正交标准基元素是

\dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

与湮灭算符和产生算符按照以下方式作用

a_{p_{j}} ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩ = n_{p_{j}} ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}} - 1, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

a_{p_{j}}^{†} ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩ = n_{p_{j}} + 1 ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}} + 1, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

占据数 $n_{p_{j}}$ 是算符 $a (p_{j})^{†} a (p_{j})$ 的特征值，取值 $0, 1, 2, \dots, \infty$ 。其物理解释为动量 $p_{j}$ 态中的粒子数（回忆此类动量值以 $\frac{2 π}{L}$ 为单位离散化，并位于区间 $[- Λ, Λ])$ 内。所有占据数均为零的态记为

∣ \dots, 0, 0, 0, \dots ⟩ = ∣ 0 ⟩

并称之为“真空”态。

可由湮灭算符和产生算符构造的可观测量包括

• 总粒子数算符

N = k \sum a (p_{k})^{†} a (p_{k}) (36.8)

其将以粒子总数为特征值

N ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩ = (k \sum n_{p_{k}}) ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

• 动量算符

P = k \sum p_{k} a (p_{k})^{†} a (p_{k}) (36.9)

具有特征值的多粒子系统总动量。

P ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩ = (k \sum n_{p_{k}} p_{k}) ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

• 哈密顿算子

H = k \sum \frac{p _{k}^{2}}{2 m} a (p_{k})^{†} a (p_{k}) (36.10)

其具有特征值总能量

H ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩ = (k \sum n_{p_{k}} \frac{p _{k}^{2}}{2 m}) ∣ \dots, n_{p_{j - 1}}, n_{p_{j}}, n_{p_{j + 1}}, \dots ⟩

在引入紫外和红外截断后， $p_{j}$ 的可能取值共有有限个 $D$ ，它同时也是 $H_{1}$ 的复维数。哈密顿算符是标准谐振子哈密顿算符，但具有不同的频率

ω_{j} = \frac{p _{j}^{2}}{2 m}

对于 $j .$ 的不同取值。注意，这里我们使用的是正规序算符，这是必要的，因为当去掉一个或两个截断时，在极限下 $H_{1}$ 变为无限维，并且这里使用的哈密顿算符只有正规序版本才是良定义的（非正规序版本将相差一个 $\frac{1}{2} s)$ 的无限和

本节中的所有内容都有一个直接的类比，用于描述由自由粒子薛定谔方程给出能量-动量关系的费米子多粒子系统。湮灭算符和产生算符将是费米子算符，满足正则反对易关系

[a_{F p_{j}}, a_{F p_{k}}^{†}]_{+} = δ_{j k}

这意味着态将具有占据数 $n_{p_{j}} = 0, 1$ ，从而自动实现泡利原理。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 379、380、381、382、383、384、385、386、387、388、389、390、391、392、393

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：711120ffa7830d5f979b82a637d70aba919820a16ef311f17a47d45c06750e73

译稿产物 SHA-256：73942838a350a0910765bf6a2431d39b38c635b4a19d89eeb91e8e7e9009055d

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

36.2 自由粒子的多粒子量子系统：有限截断形式

36.2 自由粒子的多粒子量子系统：有限截断形式

关系图谱