36.3 连续统形式

36.3 连续统形式

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 对偶空间 · 复内积 · 李代数 · 希尔伯特空间 · 对称群

使用截断使得相空间成为有限维，并使得能够直接使用Bargmann-Fock量子化方法。然而，这种截断引入了非常严重的问题，因为它使一些我们希望利用的连续对称性和数学结构变得不可用。特别地，使用红外截断（周期边界条件）会使动量空间a离散点集，而这个点集不会具有与通常连续动量空间相同的对称性（例如在三维中，它不会承载旋转群$SO(3),$的作用）。在我们对量子场论的研究中，我们希望利用时空对称群在理论状态空间上的作用，因此需要一个保持这种对称性的形式体系。在本节中，我们将概述这样一个形式体系，而不试图给出详细的严格版本。作出这一选择的一个原因是，对于物理上有趣的相互作用量子场论，这种连续形式体系是不充分的，因为严格的定义需要首先定义一个有限的、截断的版本，然后使用重整化群方法分析非常非平凡的连续极限。

如果我们尝试直接处理自由薛定谔方程解空间的无限维空间，对于第36.1.1节中讨论的福克空间构造的三种形式，我们发现：

• Fock 空间的占据数构造不可用（因为它需要一个离散基）。

• 对于Bargmann-Fock全纯函数状态空间及其上的内积，需要理解无限维空间上的全纯函数以及该空间上的高斯测度。关于讨论这一点的参考文献，见36.6节。

• 对于对称张量积表示，需要理解无限维希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_1$ 的对称张量积以及此类张量积上诱导的希尔伯特空间结构。我们在此采用这一观点，细节可参见 36.6 节的参考文献。

在连续归一化中，自由粒子薛定谔方程的任意解由下式给出

$$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (p)e^{ipx}{e}^{-i\frac{p^2}{2m}t}dp\text{\hspace{1em}(36.11)}$$ $$\mathrm{At}t=0$$ $$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\alpha (p)e^{ipx}dp$$

这就是傅里叶反演公式，它将函数 $\psi (x,0)$ 用其傅里叶变换 $\alpha (p)=\psi (x,0)(p)$ 表示。我们看到，函数 $\alpha (p)$ 参数化初始数据，而 ${\mathcal{H}}_1$，即自由粒子薛定谔方程的解空间，可以等同于此类 $\alpha$ 的空间。

使用记号 $A(\alpha )$ 表示由初始数据 $\alpha ,$ 在多粒子态按 ${\mathcal{H}}_1$ 的对称张量积的 Fock 空间描述中所确定的 ${\mathcal{H}}_1$ 的元素，我们有如下湮灭算符和产生算符（这些已在 26.4 节的有限维情形中讨论过）

$$a^{†}(\alpha )P^{+}(A\left({\alpha }_1\right)\otimes \cdots \otimes A\left({\alpha }_n\right))=\sqrt{n+1}{P}^{+}(A(\alpha )\otimes A\left({\alpha }_1\right)\otimes \cdots \otimes A\left({\alpha }_n\right))\text{\hspace{1em}(36.12)}$$

$$\begin{array}{l}a(\alpha )P^{+}(A({\alpha }_1)\otimes \cdots \otimes A({\alpha }_n))=\\ \frac{1}{\sqrt{n}}{\sum }_{j=1}^n⟨\alpha ,{\alpha }_j⟩P^{+}(A({\alpha }_1)\otimes \cdots \otimes \widehat{A({\alpha }_j)}\otimes \cdots \otimes A({\alpha }_n))\end{array}\text{\hspace{1em}(36.13)}$$

（$\widehat{A({\alpha }_j)}$ 表示在张量积中省略该项，而 $P^{+}$ 是第 9.6 节中定义的对称化算符）满足对易关系

$$\begin{array}{rl}[a({\alpha }_1),a({\alpha }_2)]& =[a^{†}({\alpha }_1),a^{†}({\alpha }_2)]=0\\ [a({\alpha }_1),a^{†}({\alpha }_2)]& =⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2⟩=\int \overline{{\alpha }_1(p)}{\alpha }_2(p)dp\end{array}\text{\hspace{1em}(36.14)}$$

选取哪个函数空间$\alpha$作为${\mathcal{H}}_1$的不同选择会导致不同的问题。三种可能性是：

$$\bullet {\mathcal{H}}_1=L^2(\mathbf{R})$$

这一选择允许在${\mathcal{H}}_1$与其对偶空间之间建立同构，并利用内积实现。

$$⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2⟩=\int \overline{{\alpha }_1(p)}{\alpha }_2(p)dp$$

如同单粒子情形，这里的问题在于位置

$$\alpha (p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ip{x}^{\prime }}$$

和动量

$$\alpha (p)=\delta (p-p^{\prime })$$

本征态不在 ${\mathcal{H}}_1=L^2(\mathbf{R})$ 中。此外，如同单粒子情形，需要考虑定义域问题，因为按 $p$ 求导或乘以 $p$ 可能把 $L^2(\mathbf{R})$ 中的元素变为不在 $L^2(\mathbf{R})$ 中的元素。

${\mathcal{H}}_1=\mathcal{S}(\mathbf{R})$

这种选择将 $\alpha$ 取在性态良好的施瓦茨函数空间中，避免了 $L^2(\mathbf{R})$ 的定义域问题，并且厄米内积是良定义的。然而，它与 $L^2(\mathbf{R})$ 一样，存在不包含位置或动量本征态的问题。此外，该内积不再提供 ${\mathcal{H}}_1$ 与其对偶空间的同构。

${\mathcal{H}}_1=S^{\prime }(\mathbf{R})$

这一选择允许$\alpha$作为分布解，将解决定义域问题，并包含位置和动量本征态。然而，它引入了一个严重问题：函数上的厄米内积不能延拓到分布。作出这一选择后，${\mathcal{H}}_1$不是内积空间，其对称张量积也不是。

为了获得严格的数学形式，对于某些目的可以采用第一种选择，即 ${\mathcal{H}}_1=L^2(\mathbf{R})$ 。在这种选择下，福克空间的对称张量积版本可以被赋予希尔伯特空间结构，其中算符 $a^{†}(\alpha )$ 和 $a(\alpha )$ 由方程 36.12 和 36.13 定义，并满足方程 36.14 的海森堡对易关系。然而，我们将要考虑关于 $a(\alpha )$ 和 $a^{†}(\alpha )$ 的二次算符，为使这些算符良定义，我们可能需要使用 ${\mathcal{H}}_1=\mathcal{S}(\mathbf{R})$

如果我们忽略内积的问题，并取 ${\mathcal{H}}_1=S^{\prime }(\mathbf{R})$，那么特别地我们可以取 $\alpha$ 为一个 delta 函数，并且在这样做时将使用记号

$$a(p)=a(\delta (p^{\prime }-p)),a^{†}(p)=a^{†}(\delta (p^{\prime }-p))$$

并写出

$$a(\alpha )=\int \overline{\alpha (p)}a(p)dp,a^{†}(\alpha )=\int \alpha (p)a^{†}(p)dp\text{\hspace{1em}(36.15)}$$

此处共轭的选取反映了以下事实：$a^{†}(\alpha )$ 在 $\alpha ,a(\alpha )$ 中是复线性的，且为复反线性的。

虽然算符 $a(p)$ 可以是良定义的，但算符 $a^{†}(p)$ 的问题很明显：它尤其将真空态 |0⟩ 变为非归一化态 $|p⟩$ 。与大多数其他作者一样，我们将经常用算符 $a(p)$ 和 $a^{†}(p)$ 来写方程，并表现得如同 ${\mathcal{H}}_1={\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbf{R})$ 。不过，为了得到合法的解释，此类方程将始终需要一种解释，要么

• 使用使 $p$ 的取值离散且数量有限的截断，$p_j$ 由指标 $j$ 标记且该指标取有限个值，如第 36.2 节所述。在这种情况下，$a(p),a^{†}(p)$ 就是该节中的 $a(p_j),a^{†}(p_j)$。

• 形式上使用方程36.15，其中$a(\alpha )$和$a^{†}(\alpha )$是良定义的对象，对于某一指定的函数类$\alpha$，一般为$\mathcal{S}(\mathbf{R})$。在这种情况下，$a(p),a^{†}(p)$常被描述为“算符值分布”。

$a(p),a^{†}(p)$ 的非零对易子可以写为

$$[a(p),a^{†}(p^{\prime })]=\delta (p-p^{\prime })$$

一个应被解释为意指……的连续极限的公式

$$[a(p_j),a^{†}(p_k)]={\delta }_{jk}$$

或

$$\begin{array}{rl}\left[a({\alpha }_1),a^{†}({\alpha }_2)\right]& =\left[\int \overline{{\alpha }_1(p)}a(p)dp,\int {\alpha }_2(p^{\prime })a(p^{\prime })d{p}^{\prime }\right]\\ & =\int \int \overline{{\alpha }_1(p)}{\alpha }_2(p^{\prime })\delta (p-p^{\prime })dpd{p}^{\prime }\\ & =\int \overline{{\alpha }_1(p)}{\alpha }_2(p)dp=⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2⟩\end{array}$$

对于某一类函数 $(e.g.S(\mathbf{R})$ 或 $L^2(\mathbf{R}))$，使得 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 的内积有意义。

虽然我们在这里首先以状态空间和算符定义了量子理论，但人们也可以从写下经典理论及其对偶相空间 ${\mathcal{H}}_1$ 开始。后者已经是一个带有厄米内积的复向量空间，因此我们处于第 26.4 节中有限维情形所描述的情况。我们需要按照那里描述的方式应用 Bargmann-Fock 量子化，引入复共轭空间 ${\overline{\mathcal{H}}}_1$ ，以及在 ${\mathcal{H}}_1\oplus {\overline{\mathcal{H}}}_1$ 上的辛结构和不定厄米内积。限制到 ${\mathcal{H}}_1$ 上时，厄米内积将是给定的那个，而辛结构将是其虚部。

如果我们用 $A(\alpha )\in {\mathcal{H}}_1$ 表示薛定谔方程的解，其初始数据的傅里叶变换由 $\alpha$ 给出，并用 $\overline{A}(\alpha )\in {\overline{\mathcal{H}}}_1$ 表示共轭薛定谔方程的共轭解，那么泊松括号关系就是

$$\{A({\alpha }_1),A({\alpha }_2)\}=\{\overline{A}({\alpha }_1),\overline{A}({\alpha }_2)\}=0,\{A({\alpha }_1),\overline{A}({\alpha }_2)\}=i⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2⟩\text{\hspace{1em}(36.16)}$$

随后进行量子化

$$A(\alpha )\to -i{a}^{†}(\alpha ),\overline{A}(\alpha )\to -ia(\alpha )$$

其中 $a^{†}(\alpha )$ 和 $a(\alpha )$ 由方程 36.12 和 36.13 给出。这给出了无限维海森堡李代数李代数关系 36.16 的一个表示。

如同湮灭算符与产生算符的情形，采用一种将状态空间形式地扩展到 ${\mathcal{H}}_1=S^{\prime }(\mathbf{R})$ 的记号，我们定义

$$A(p)=A(\delta (p^{\prime }-p)),\overline{A}(p)=\overline{A}(\delta (p^{\prime }-p))$$ $$A(\alpha )=\int \alpha (p)A(p)dp,\overline{A}(\alpha )=\int \overline{\alpha (p)}\overline{A}(p)dp$$

其中泊松括号关系写为

$$\{A(p),A(p^{\prime })\}=\{\overline{A}(p),\overline{A}(p^{\prime }\}=0,\{A(p),\overline{A}(p^{\prime })\}=i\delta (p-p^{\prime })\text{\hspace{1em}(36.17)}$$

为得到可观测量，我们希望定义算符的二次乘积，例如

$$\hat{N}={\int }_{-\infty }^{+\infty }a(p{)}^{†}a(p)dp$$

对于数算符，

$$\hat{P}={\int }_{-\infty }^{+\infty }pa(p{)}^{†}a(p)dp$$

对于动量算符，以及

$$\hat{H}={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{p^2}{2m}a(p{)}^{†}a(p)dp$$

对于哈密顿算子。使这些具有严格意义的一种方式是将它们视为算符 36.8、36.9 和 36.10 的极限。另一种方式是将其视为 $S^{\ast }({\mathcal{H}}_1)\times S^{\ast }({\mathcal{H}}_1)$ 上的双线性形式，其中 ${\mathcal{H}}_1=\mathcal{S}(\mathbf{R})$，将状态对 $|{\varphi }_1⟩,|{\varphi }_2⟩$ 映射为例如 $⟨{\varphi }_1|\hat{N}|{\varphi }_2⟩$（详见 [17] 第 5.4.2 节）。

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来源版本：2025-10-20

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