40.3 闵可夫斯基空间中的傅里叶变换

40.3 闵可夫斯基空间中的傅里叶变换

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可以就四个时空变量定义傅里叶变换，它将 $x_0,x_1,x_2,x_3$ 的函数变为傅里叶变换变量 $p_0,p_1,p_2,p_3:$ 的函数

定义（闵可夫斯基空间傅里叶变换）

闵可夫斯基空间上函数 $f$ 的傅里叶变换由下式给出

$$\begin{array}{rl}\tilde{f}(p)& =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{-ip\cdot x}f(x)d^{4}x\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{-i(-p_0{x}_0+p_1{x}_1+p_2{x}_2+p_3{x}_3)}f(x)d{x}_0{d}^3\mathbf{x}\end{array}$$

在这种情况下，傅里叶反演公式为

$$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{ip\cdot x}\tilde{f}(p)d^{4}p\text{\hspace{1em}(40.3)}$$

注意，我们的定义对关于单个变量的每个傅里叶（或傅里叶逆）变换都配有一个因子 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$。物理学家中一种常见的替代约定是将所有因子 $2\pi$ 都放在 $\mathbf{p}$ 积分中（因而放在傅里叶逆变换中），而在 $\tilde{f}(p)$（即傅里叶变换本身）的定义中一个也不放。

在这个定义的指数中，时间变量与空间变量之间出现的符号变化，是为了确保该指数具有洛伦兹不变性。由于洛伦兹变换的行列式为 1，测度 $d^{4}x$ 将是洛伦兹不变的，而函数的傅里叶变换在洛伦兹变换下的行为将与函数本身相同

$$\begin{array}{rl}\tilde{f}({\Lambda }^{-1}p)& =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{-i({\Lambda }^{-1}p)\cdot x}f(x)d^{4}x\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{-ip\cdot \Lambda x}f(x)d^{4}x\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{M^4}{e}^{-ip\cdot x}f({\Lambda }^{-1}x)d^{4}x\end{array}$$

人们之所以习惯上将哈密顿算子定义为$i\frac{\partial }{\partial t}$（其特征值为$p_0=E)$），而将动量算符$P_j$定义为$\overline{-i\frac{\partial }{\partial x_j}}$（其特征值为$p_j)$），正是由于傅里叶变换的这种洛伦兹不变选择。

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来源版本：2025-10-20

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